一類向量似變分不等式問題

張 娟，薛建明

(昆明理工大學(xué)津橋?qū)W院工學(xué)系，云南昆明650106)

近些年，凸的概念已經(jīng)從很多角度得到了推廣和延伸［1-3］。Karamardian等于1990年證明了函數(shù)的廣義凸與它們的梯度函數(shù)的單調(diào)性是等價(jià)的，并指出廣義單調(diào)在變分不等式問題中的作用與目標(biāo)函數(shù)的廣義凸性在數(shù)學(xué)規(guī)劃中的作用是相同的。

Ali Farajzadeh等［4］在可度量化的拓?fù)湎蛄靠臻g中建立了向量似變分不等式問題與向量優(yōu)化問題之間的等價(jià)性，但其中所涉及的函數(shù)都是偽-invex的。YANG X M等［5］在空間Rn中給出了函數(shù)的廣義凸與它們的梯度函數(shù)的廣義單調(diào)之間的一系列關(guān)系。

文中在可度量化的拓?fù)湎蛄靠臻g中給出了Univexity，偽 -univexity及擬 -univexity等一類比invex函數(shù)更廣的函數(shù)的概念，并在偽-univexity的假設(shè)下得到了類似文獻(xiàn)［4］中的結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是一可度量化的拓?fù)湎蛄靠臻g。記X上的度量為d，其中d滿足條件:d(x+z，y+z)=d(x，y)，d(tx，0)=td(x，0)，?x，y，z∈ X，t ＞ 0。

定義 1［4］稱函數(shù) f:X→ R在 x∈ X附近是M－Lipschitz，若存在一常數(shù) M ＞ 0，使得

|f(y)－ f(z)|≤ Md(y，z)，

其中，y，z為x的某一鄰域的任意點(diǎn)。稱函數(shù)f:X→R在X上是局部Lipschitz的，若它在X的每一點(diǎn)附近都是Lipschitz的。

定義2［4］如果函數(shù) f:X→ R在 x∈ X附近是Lipschitz的，則函數(shù)f在x∈X沿著方向v∈X的Clarke廣義導(dǎo)數(shù)定義如下:

定義3［4］函數(shù)f:X→R在x∈X的Clarke廣義梯度定義如下:

?f(x)={ξ∈ X*:〈ξ，v〉≤ f°(x;v)，?v∈ X}。因此，對?v∈X

f°(x;v)=max{〈ξ，v〉:ξ∈ ?f(x)}。這些定義和性質(zhì)可以被推廣到局部Lipschitz的向量值函數(shù)f:X→Rp。記fi(i=1，…，p)為f的分量，則f在x∈X點(diǎn)的Clarke廣義梯度是集合

?f(x)=?f1(x)× ?f2(x)× … × ?fp(x)。

下面給出文獻(xiàn)［5－8］中Univexity以及單調(diào)性的推廣。

定義4 設(shè)X0是X的一非空子集。稱X0在u關(guān)于η:X0×X0→X是invex的，若對任意x∈X及λ∈［0，1］，有 u+ λη(x，u)∈ X0。

稱X0關(guān)于η:X0×X0→X是invex的，若X0在每一點(diǎn)都是invex的。

定義5 稱非光滑函數(shù)f:X0?X→R

1)關(guān)于η，φ及k是univex的，若存在函數(shù)η:X0×X0→X，φ:R→R及k:X0×X0→R+，使得

k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］≥〈ξ，η(y，x)〉，?x，y ∈ X0，?ξ∈ ?f(x);

2)關(guān)于η，φ及k是嚴(yán)格univex的，若存在函數(shù)η:X0×X0→X，φ:R→R及k:X0×X0→R+，使得

k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］ ＞ 〈ξ，η(y，x)〉，?x，y ∈ X0，x ≠ y，?ξ∈ ?f(x);

3)關(guān)于η，φ及k是 (嚴(yán)格)偽－univex的，若存在函數(shù)η:X0×X0→X，φ:R→R及k:X0×X0→R+，使得

k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］(≤)＜ 0?〈ξ，η(y，x)〉＜ 0，?x，y∈ X0，?ξ∈ ?f(x);

4)關(guān)于η，φ及k是擬-univex的，若存在函數(shù)η:X0×X0→X，φ:R→R及k:X0×X0→R+，使得

k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］≤ 0?〈ξ，η(y，x)〉≤ 0，?x，y∈ X0，?ξ∈ ?f(x);

5)關(guān)于η，φ及k是強(qiáng)偽-univex的，若存在函數(shù)η:X0×X0→X，φ:R→R，k:X0×X0→R+及常數(shù)α ＞0，使得

〈ξ，η(y，x)〉≥0?k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］≥α‖η(y，x)‖，?x，y∈ X0，?ξ∈ ?f(x)。

例1［8］Univex函數(shù)是比invex函數(shù)更廣的一類函數(shù)，如:

設(shè) f(y)=y3，?y∈ R，φ(a)=3a，?a ∈ R，

則f是 univex的，但不是 invex的［4］。這是因?yàn)閷= － 3，x=1，f(y)－ f(x)＜ ▽f(x)η(y，x)。

例2［8］偽－Univex函數(shù)是比Univex函數(shù)更廣的一類函數(shù)，如:

則f是偽－univex的，但不是univex的。這是因?yàn)閷?/p>

▽f(x)η(y，x)＞ k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］。

條件A［7］設(shè)η:X0× X0→X，則對?x，y∈X0及 λ ∈［0，1］，

η(y，y+ λη(x，y))= － λη(x，y)，η(x，y+ λη(x，y))=(1 － λ)η(x，y)。

顯然，由條件A知，有

η(y+ λη(x，y)，y)= λη(x，y)。

定義6 設(shè)X0是X中關(guān)于η:X0×X0→X的invex集。稱集值映射F:X0→2X0在X0上關(guān)于η是(嚴(yán)格)偽 －invex單調(diào)的，若

〈F(x)，η(y，x)〉≥0?〈F(y)，η(y，x)〉(＞)≥0，

?x，y ∈ X0，x ≠ y。

定義7 設(shè)X0是X中關(guān)于η:X0×X0→X的invex集。稱集值映射 F:X0→2X0在 X0上關(guān)于 η是擬-invex單調(diào)的，若

〈F(x)，η(y，x)〉＞ 0?〈F(y)，η(y，x)〉≥0，?x，y ∈ X0，x ≠ y。

定義8 設(shè)X0是X中關(guān)于η:X0×X0→X的invex集。稱集值映射F:X0→2X0在X0上關(guān)于η是強(qiáng)偽－invex單調(diào)的，若存在一常數(shù)β＞0，使得

〈F(x)，η(y，x)〉≥ 0?〈F(y)，η(y，x)〉≥β‖η(y，x)‖，?x，y ∈ X0，x ≠ y。

2 非光滑univex函數(shù)的刻畫

將文獻(xiàn)［9］中得到的結(jié)果推廣至可度量化的拓?fù)湎蛄靠臻g中的非光滑的情形。假設(shè)X0是X中的非空invex集。定理1 假設(shè)

1)X0是X中關(guān)于η的開invex集;

2)η滿足條件A;

4)集值映射 ?f在 X0上關(guān)于 η，φ 及 k是偽－invex單調(diào)的，

則f在X0上關(guān)于η，φ及k是偽-univex的。證 設(shè) x，y∈ X0，x≠ y使得

下證 k(x，y)φ［f(x)－ f(y)］≥0。

假設(shè)上述不等式不成立，即

因?yàn)?f在X0上關(guān)于η是偽－invex單調(diào)的，由式(4)得，對某一∈(0，1)，有

這與式(1)矛盾。因此，f在 X0上關(guān)于 η，φ及是偽-univex的。定理2 假設(shè)

1)X0是X中關(guān)于η的開invex集;

2)η滿足條件A;

4)集值映射?f在X0上關(guān)于η，φ及k是嚴(yán)格偽-invex單調(diào)的，則f在X0上關(guān)于η，φ及k是嚴(yán)格偽 －univex 的。

證 結(jié)合嚴(yán)格偽－univex的定義及條件1)～4)，按照定理1的方法即可證得定理2成立。

定理3 假設(shè)

1)X0是X中關(guān)于η的開invex集;

2)η滿足條件A;

4)集值映射 ?f在 X0上關(guān)于 η，φ 及 k是擬-invex單調(diào)的，則 f在 X0上關(guān)于 η，φ及 k是擬 －univex 的。

證 假設(shè)f在X0上關(guān)于η，φ及k不是擬－univex的，則存在 x，y ∈ X0，使得

但

由條件A，有

因?yàn)榧涤成?f在X0上關(guān)于η，φ及k是擬－invex單調(diào)的，由(10)，有

這與式(7)矛盾。因此，f在 X0上關(guān)于η，φ及k是擬 －univex 的。定理4 假設(shè)

1)X0是X中關(guān)于η的開invex集;

2)η滿足條件A;

4)集值映射 ?f在 X0上關(guān)于 η，φ 及 k是強(qiáng)偽-invex單調(diào)的，則 f在 X0上關(guān)于 η，φ及k是強(qiáng)偽-univex的。

證 設(shè) x，y∈ X0，使得

由條件A及假設(shè)1)，有

由集值映射?f在X0上關(guān)于η，φ及k是強(qiáng)偽－invex單調(diào)的，存在常數(shù)β＞0，使得

再由假設(shè)3)及k(x，y)＞0，有

因此，f在X0上關(guān)于η，φ及k是強(qiáng)偽－univex的。

3 向量似變分不等式與向量優(yōu)化問題的關(guān)系

考慮如下向量優(yōu)化問題:

(NVOP)Minimize f(x)=(f1(x)，…，fp(x))Subject to x∈X0，

其中fi:X0→R，i=1，…，p為非光滑局部Lipshcitz函數(shù)。

同時(shí)，考慮下面的似變分不等式問題:(GVVLIP)非光滑向量似變分不等式問題就是找到一個(gè)點(diǎn)y∈X0，且對?ξ∈?f(y)，不存在x∈X0，使得〈ξ，η(x，y)〉≤0。(GWVVLIP)非光滑弱向量似變分不等式問題就是找到一個(gè)點(diǎn) y∈ X0，且對 ?ξ∈ ?f(y)，不存在x∈X0，使得〈ξ，η(x，y)〉＜ 0。

在非光滑univextiy的假設(shè)下，文中將推廣文獻(xiàn)［4］中的結(jié)果。定理5 假設(shè)

1)X0是X中的非空invex集;

2)f在X0上關(guān)于η，φ及k是非光滑univex的;

3)φ(a)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a≤0;

由式(12)及假設(shè)3)，有

k(y，x)φ［fi(y)－fi()］≤0，i=1，…，p。又f關(guān)于η，φ及k是非光滑univex的，因此存在y∈X0，使得

定理6 假設(shè)

1)X0是X中的非空invex集;

2)－f在X0上關(guān)于η，φ及k是嚴(yán)格-univex的;

3)φ(a)＜0，當(dāng)且僅當(dāng)a＜0;

由 －f在X0上關(guān)于η，φ及k是嚴(yán)格－univex的，有

又由式12)有

這與假設(shè)(4)矛盾。

由于(NVOP)的每一個(gè)有效解都是其弱有效解，因此由定理6有如下結(jié)論:推論1 假設(shè)

1)X0是X中的非空invex集;

2)－f在X0上關(guān)于η，φ及k是嚴(yán)格－univex的;

3)φ(a)＜0，當(dāng)且僅當(dāng)a＜0;

1)X0是X中的非空invex集;

反之，若

3)f在X0上關(guān)于η，φ及k，是嚴(yán)格偽－univex的;

4)φ(a)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a≤0;

因此，不存在y∈X0，使得

再由假設(shè)4)，有

又f=(f1，…，fp)在 X0上關(guān)于 η，φ 及 k是嚴(yán)格偽－univex的，因此存在y∈X0，使得

定理8 假設(shè)

1)X0是X中的非空invex集;

2)f在 X0上關(guān)于 η，φ及 k是非光滑嚴(yán)格偽 －univex 的;

3)φ(a)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a≤0;

定理9 假設(shè)

則所有的臨界點(diǎn)都是有效解，當(dāng)且僅當(dāng)f在X0上是嚴(yán)格偽－univex的。

因此，

又由式(13)，有

即不存在y∈X0，使得

因此，

再由式(13)知，不存在y∈X0，使得

因此，f在X0上是嚴(yán)格偽－univex的。推論2 假設(shè)

1)X0是X中的非空invex集。

2)f在X0上關(guān)于η，φ及k是嚴(yán)格偽－univex的;

3)φ(a)＜0，當(dāng)且僅當(dāng)a ＜0;φ(a)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a≥0。

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