正態(tài)模糊數(shù)型多屬性群決策方法及應用

顧翠伶,王亞子

多屬性群決策廣泛應用于社會、經濟、管理等多個領域.但由于客觀事物的復雜性及人為地不確定性,使得這些領域的決策都存在著不確定性.凡是決策者不能精確定義的參數(shù)、概念和事件等,都被處理成某種適當?shù)哪：?蘊含著一系列不同置信水平的可能選擇.近年來,關于三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)、直覺模糊數(shù)型的多屬性決策已經有了廣泛研究[1-7].但是三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)的隸屬函數(shù)是線性隸屬函數(shù)形態(tài),在亦此亦彼性的刻畫上雖然連續(xù),但出現(xiàn)突變點,這種突變不符合中介過渡性質的漸變特征.李德毅等[8]指出,對大量模糊概念,用正態(tài)隸屬函數(shù)刻畫最適合,最接近人類思維.文獻[9]針對屬性權重未知,方案屬性值、主觀偏好值為正態(tài)模糊數(shù)型的多屬性決策問題,提出一種基于相似度與規(guī)范化理想解的決策方法,將正態(tài)模糊數(shù)以及相關理論引入到多屬性決策領域,使復雜問題的解決將更加科學化、規(guī)范化.但正態(tài)模糊數(shù)運算與線性隸屬函數(shù)相比,模糊運算規(guī)則復雜,使得正態(tài)模糊數(shù)在多屬性決策中的應用還不多.因而,基于正態(tài)模糊數(shù)及相關理論的多屬性決策問題的研究有著十分重要的意義.

本文針對決策屬性值以正態(tài)模糊數(shù)型給出、屬性權重完全未知的模糊多屬性決策問題,給出一種解決方案.利用正態(tài)模糊數(shù)的期望與方差,提出一種分值函數(shù),并以此把正態(tài)模糊型專家權重轉化為精確權重.依據(jù)正態(tài)分布的“3σ原則”將正態(tài)模糊數(shù)決策值轉化為區(qū)間數(shù),按照Topsis思想求解區(qū)間型模糊多屬性決策問題.實例驗證新方法的可行性和有效性.

1 預備知識

定義1[10]論域R上的模糊集合～A滿足以下性質:

(2)?a∈[0,1],～Aa?{x∈R│～A(x)≥a}是有界閉區(qū)間;

定義2[10]若模糊數(shù)～A的隸屬函數(shù)為

則稱～A為正態(tài)模糊數(shù).容易發(fā)現(xiàn)～A是由a和σ2唯一確定,因此可以記為～A=(a,σ2).

正態(tài)模糊數(shù)的三種運算:設～A=(a,σ2a),～B=(b,σ2b),則有

(1)～A+～B=(a+b,σ2a+σ2b);

(2)λ～A=(λa,λ2σ2a);

定義3[11]模糊數(shù)～A的期望為E(～A)

定義4[11]模糊數(shù)～A的方差為D(～A)

其中ε為決策者的偏好.當～A=(a,σ2),其可信度為

定義6[12]記～A=[aL,aR]={x|aL≤x≤aR,aL,aR∈R},稱～A為一個區(qū)間數(shù).

定義7[13]區(qū)間數(shù)A=[a-,a+],B=[b-,b+],它們之間的運算關系如下:

(1)A-B=[a-,a+]-[b-,b+]=[a--b-,a+-b+];

(2)A+B=[a-,a+]+[b-,b+]=[a-+b-,b-+a+][a-+b-,a++b-];

(3)A×B=[a-,a+]×[b-,b+]=[min(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+),max(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+)],

當A,B∈I+時,A×B=[a-b-,a+b+].特別λA=[λa-,λa+].

設隨機變量X～N(μ,σ2),則

從上式可以看出:盡管正態(tài)變量的取值范圍為(-∞,∞),但它的99.73%的值落在(μ-3σ,μ+3σ)內.這個性質就是正態(tài)分布的“3σ原則”.按照該原則,可以將正態(tài)模糊數(shù)轉化為區(qū)間數(shù).由于區(qū)間數(shù)的運算相對簡單,因而在求解模糊多屬性決策問題時,將正態(tài)模糊數(shù)信息轉化為區(qū)間數(shù),可以簡化計算過程.

2 基于正態(tài)模糊型的模多屬性決策問題

假定正態(tài)模糊型多屬性決策問題的決策方案集為X={X1,X2,…,Xm},決策的屬性集為U={U1,U2,…,Un},決策群體集為D={D1,D2,…,Dl},專家的權重υ={υ1,υ2,…,υl},屬性權重ρ={ρ1,ρ2,…,ρn}.屬性權重未知的正態(tài)模糊型多屬性群決策過程可以分為以下幾個步驟:

步驟1 給定決策矩陣.第t個決策者關于屬性對決策方案的決策矩陣為

依據(jù)正態(tài)分布的“3σ原則”,我們可以將正態(tài)模糊數(shù)轉化為區(qū)間數(shù).求出相應的區(qū)間型決策矩陣為

步驟2 求決策群體中各專家的權重.由于受專家的名望、地位、所屬專業(yè)和對決策問題的熟悉程度等因素的影響,使得各個專家的權重不能表示為一個精確的數(shù)值.根據(jù)專家的資歷、經驗等事先給出專家的權重,以正態(tài)模糊數(shù)的形式給出,記為υ={υ1,υ2,…,υl},其中υt=(atυ,(σtυ)2),t=1,2,…,l.υt=(atυ,(σtυ)2)均值越大,則代表專家的能力越強,其方差越小,說明在專家進行評價時越不容易出錯.所以模糊權重υt=(atυ,(σtυ)2)的均值越高、方差越小的專家在評價方案時越可信.由此對第t個專家進行評分,利用定義5計算每個專家可信值,其中ε在評價專家權重時對待其評價值的態(tài)度,如果看中專家的期望,則取0.5＜ε＜1.利用可信值函數(shù),按公式

求得每個專家的權重.

步驟4 求決策屬性的權重值.對于屬性權重完全未知的模糊多屬性決策問題,我們必須從已知的信息中,確定屬性的權重.這里,首先找出不同屬性Uj下的基礎解.所求得的屬性權重應使得所有屬性下的基礎解的加權離差平方和達到最小.

利用Matlab求解上述最優(yōu)化模型,可以得到第j個屬性Uj的權重值ρj,j=1,2,…,n.

步驟5 求綜合決策矩陣.根據(jù)群體決策矩陣與決策屬性值,求綜合決策矩陣Z.

步驟6 求各個決策方案的綜合評價值.定義基本區(qū)間數(shù)V=[vL,vR]=[min zLi,max zRi].首先求出每個方案與基本區(qū)間數(shù)之間的左右距離dLi=|zLi-vL|,dRi=|zRi-vR|,進而計算每個方案與基本區(qū)間數(shù)之間的相對距離

其中ι代表決策者的一種態(tài)度.

方案離基本區(qū)間數(shù)的右距離越小,同時左距離越大,則方案越優(yōu).因此可以根據(jù)ψ(Xi)的大小對方案進行排序.

3 實例分析

通常一些大學采用教學(U1)、科研(U2)和服務(U3)這三個屬性作為評估的一級指標(屬性),屬性權重分別為ρ1,ρ2,ρ3,并且滿足ρ1+ρ2+ρ3=1,根據(jù)評估標準對4個學院X1,X2,X3,X4進行評估打分,各指標下的評估信息用正態(tài)模糊數(shù)給出.決策群體集D={D1,D2,D3},各專家的權重集:～ω=(～ω1,～ω2,～ω3).已知決策矩陣為

根據(jù)正態(tài)分布“3σ原則”將決策矩陣轉化為區(qū)間數(shù)矩陣.

根據(jù)專家的資歷以及對以往經驗能力的了解情況給出三位專家的模糊權重

由公式(4)可得三位專家的精確權重～ω1=0.375,～ω2=0.25,～ω3=0.375.

由區(qū)間數(shù)決策矩陣與專家的權重信息,求得群體決策矩陣

在屬性Uj下的基礎解為

求解最優(yōu)化模型(5),得到決策屬性的權重ρ1=0.287 7,ρ2=0.392 8,ρ3=0.319 5.

根據(jù)群體決策矩陣與決策屬性權重,得到綜合決策矩陣

基本區(qū)間數(shù)V=[66.682 6,93.222 9].計算每個方案與基本區(qū)間數(shù)之間的左右距離分別為:

dL1=0,dL2=0.383 8,dL3=4.514 6,dL4=3.063 3,dR1=0.041 4,dR2=1.625 8,dR3=0,dR4=0.115 5.

計算每個方案與基本區(qū)間數(shù)之間的相對距離

這里取ι=0.5,決策者持中立態(tài)度.按照ψ(Xi)的大小對方案進行排序為:

4 結論

對大量的模糊概念,用正態(tài)隸屬函數(shù)刻畫最適合,最接近人類思維.將正態(tài)模糊數(shù)以及相關理論引入到多屬性決策領域,使復雜問題的解決更加科學化、規(guī)范化.本文對正態(tài)模糊型多屬性群決策問題進行研究,利用正態(tài)模糊數(shù)的期望與方差,構造一種可信值函數(shù),并以此把正態(tài)模糊型的專家權重轉化為精確權重.按照概率統(tǒng)計的理論知識,將決策矩陣中專家的正態(tài)模糊型決策屬性值轉化為區(qū)間數(shù).然后按照區(qū)間模糊數(shù)的理論及Topsis思想求解區(qū)間型模糊多屬性決策問題.把正態(tài)模糊型多屬性群決策轉化為區(qū)間型模糊多屬性群決策,簡化了計算過程.實例驗證本文方法的可行性和有效性,豐富了模糊決策的應用.

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