攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)的動(dòng)態(tài)終端滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)①

雷虎民，張 旭，李 炯，劉 滔

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051)

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攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)的動(dòng)態(tài)終端滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)①

雷虎民，張 旭，李 炯，劉 滔

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051)

針對(duì)新型高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截問(wèn)題，提出了一種基于動(dòng)態(tài)終端滑?？刂评碚摰聂敯糁茖?dǎo)律設(shè)計(jì)方案。首先，基于動(dòng)態(tài)終端滑模控制的有限時(shí)間收斂特性，研究了一種帶補(bǔ)償因子的終端滑模切換函數(shù)；然后，將其通過(guò)微分環(huán)節(jié)構(gòu)造了非線性動(dòng)態(tài)滑模超平面；最后，設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)終端滑模制導(dǎo)律，并對(duì)其有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行了分析。該制導(dǎo)律不僅具有有限時(shí)間收斂特性，而且針對(duì)導(dǎo)彈指令加速度的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，可將滑?？刂浦芯哂械牟贿B續(xù)項(xiàng)轉(zhuǎn)移到制導(dǎo)律的一階導(dǎo)數(shù)當(dāng)中去，有效消除了抖振。仿真結(jié)果表明，該制導(dǎo)律可使導(dǎo)彈視線角速率有限時(shí)間收斂，且具有更強(qiáng)的魯棒性和更高的制導(dǎo)精度。

制導(dǎo)律；動(dòng)態(tài)終端滑模；有限時(shí)間收斂

0 引言

近年來(lái)，彈道導(dǎo)彈和臨近空間高超聲速飛行器等高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)威脅不斷涌現(xiàn)，給傳統(tǒng)的導(dǎo)彈攔截系統(tǒng)帶來(lái)了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。在導(dǎo)彈具有速度優(yōu)勢(shì)、機(jī)動(dòng)性和過(guò)載優(yōu)勢(shì)的情況下，傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)律可取得較好的作戰(zhàn)效能；但在高速攔截情況下，由于導(dǎo)彈的速度大小可能與目標(biāo)相當(dāng)，甚至小于目標(biāo)的速度，且末制導(dǎo)攔截時(shí)間極短，往往在10s以內(nèi)，比例制導(dǎo)律、最優(yōu)制導(dǎo)律等傳統(tǒng)制導(dǎo)律已經(jīng)不能適應(yīng)新情況的需求[1-2]。因此，針對(duì)此種新型攔截情形，研究使導(dǎo)彈視線角速率在有限時(shí)間內(nèi)收斂到以零為中心的鄰域內(nèi)的準(zhǔn)平行接近制導(dǎo)律，使導(dǎo)彈在攔截目標(biāo)時(shí)，能夠在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到準(zhǔn)平行接近狀態(tài)，從而提高制導(dǎo)精度，保證對(duì)目標(biāo)的直接碰撞殺傷，具有十分重要的意義。

由于滑模變結(jié)構(gòu)控制理論具有快速響應(yīng)、對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏、無(wú)需系統(tǒng)在線辨識(shí)、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，成為近年來(lái)控制與制導(dǎo)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。但傳統(tǒng)的滑?？刂埔话氵x取線性滑模面，只能使系統(tǒng)的狀態(tài)漸近收斂到滑模面上。因此，在應(yīng)用中受到了一些限制。然而，文獻(xiàn)[3]研究了一種終端滑?？刂品椒?，可使滑模面在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，從而開(kāi)辟了滑模控制研究的新領(lǐng)域，使終端滑?？刂瞥蔀榛？刂蒲芯康臒狳c(diǎn)之一[4-6]。文獻(xiàn)[7]針對(duì)速度比自己高的彈道導(dǎo)彈攔截問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種后向攔截比例制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律可有效攔截高速目標(biāo)，且比傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律具有更大的捕獲區(qū)；文獻(xiàn)[8]采用改進(jìn)極坐標(biāo)系，建立了導(dǎo)彈與目標(biāo)的三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了基于魯棒L-2增益控制理論的制導(dǎo)律，并對(duì)其捕獲區(qū)進(jìn)行了分析；但上述論文未能使導(dǎo)彈的視線角速率有限時(shí)間收斂，難以滿足高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的需求。文獻(xiàn)[2]針對(duì)動(dòng)能攔截器末制導(dǎo)攔截問(wèn)題，研究了一種改進(jìn)形式的非線性終端滑模面，推導(dǎo)了系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)到達(dá)平衡狀態(tài)的時(shí)間，設(shè)計(jì)了一種非線性終端滑模制導(dǎo)律，但在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)和仿真中，未考慮滑模變結(jié)構(gòu)控制所具有的抖振問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]針對(duì)導(dǎo)彈攔截的精確末制導(dǎo)問(wèn)題，提出了一種基于非奇異終端滑模的魯棒末制導(dǎo)設(shè)計(jì)方法，可保證彈目視線角速率在有限時(shí)間內(nèi)收斂，但僅使用飽和函數(shù)法來(lái)降低導(dǎo)彈指令加速度的高頻振蕩。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于非奇異終端滑?？刂评碚摰闹茖?dǎo)律，并對(duì)有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行了證明，但該制導(dǎo)律難以對(duì)有限收斂時(shí)間進(jìn)行調(diào)整。

本文針對(duì)以上方法的缺陷，基于動(dòng)態(tài)終端滑?？刂颇軌蚴够Ｃ嬖谟邢迺r(shí)間內(nèi)收斂的特性，研究了一種帶補(bǔ)償函數(shù)的終端滑模切換函數(shù)，將其通過(guò)微分環(huán)節(jié)構(gòu)造了非線性動(dòng)態(tài)滑模超平面，設(shè)計(jì)了基于動(dòng)態(tài)終端滑模的制導(dǎo)律，并對(duì)其有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行了分析。該制導(dǎo)律針對(duì)導(dǎo)彈指令加速度的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，可將滑模控制中特有的不連續(xù)項(xiàng)轉(zhuǎn)移到制導(dǎo)律的一階導(dǎo)數(shù)當(dāng)中去，得到了在時(shí)間上本質(zhì)連續(xù)的動(dòng)態(tài)終端滑模制導(dǎo)律，有效地消除了抖振，且與比例制導(dǎo)律和經(jīng)典滑模制導(dǎo)律相比，具有更高的制導(dǎo)精度和魯棒性。

1 導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型描述

圖1中，OXIYIZI為慣性坐標(biāo)系；OXLYLZL為視線坐標(biāo)系；OXmYmZm為導(dǎo)彈坐標(biāo)系；OXtYtZt為目標(biāo)坐標(biāo)系；Vm、Vt分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度矢量，方向分別與OXm軸和O'Xt軸正向相同；θL、φL分別為視線方向相對(duì)慣性坐標(biāo)系的高低角和方位角；θm、φm分別為導(dǎo)彈速度方向相對(duì)于視線坐標(biāo)系的高低角和方位角；θt、φt分別為目標(biāo)速度方向相對(duì)于視線坐標(biāo)系的高低角和方位角；r為導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的相對(duì)位置矢量。θL、φL、θm、φm、θt、φt的正負(fù)號(hào)按右手定則確定。為便于制導(dǎo)律研究，可將末制導(dǎo)過(guò)程解耦到縱向平面和側(cè)向平面分別進(jìn)行研究，本文主要針對(duì)導(dǎo)彈縱向平面的制導(dǎo)律展開(kāi)研究。

由圖1可知，導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系為

(1)

對(duì)式(1)兩端求導(dǎo)，可得

(2)

(3)

設(shè)amr和atr分別為導(dǎo)彈加速度和目標(biāo)加速度在視線方向上的分量；amr⊥和atr⊥分別為導(dǎo)彈加速度和目標(biāo)加速度在視線法向上的分量，則

(4)

(5)

由式(1)～式(5)，可得

(6)

(7)

其中

圖1 導(dǎo)彈目標(biāo)三維追逃幾何關(guān)系Fig.1 Relative motion geometry of interceptor and target

2 基于動(dòng)態(tài)終端滑模的魯棒制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 動(dòng)態(tài)終端滑模超平面設(shè)計(jì)

根據(jù)導(dǎo)彈末制導(dǎo)律研究的特點(diǎn)，定義跟蹤誤差：

=[x1-x1d,x2-x2d]T

(8)

然后，定義一種帶補(bǔ)償函數(shù)的非線性終端滑模切換函數(shù):

s(x,t)=CE(t)-W(t)

(9)

其中，C=[c1,c2]，c1、c2為正常數(shù)，且c2=1。

此外，W(t)的表達(dá)式為

W(t)=CP(t)

(10)

選取非線性函數(shù)p(t)：

(11)

其中，參數(shù)ajl可通過(guò)假設(shè)1中的條件獲得。

進(jìn)而可得p(t)的m階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式:

(12)

在此基礎(chǔ)上，定義動(dòng)態(tài)終端滑模面:

(13)

式中λ為正的常數(shù)。

2.2 基于動(dòng)態(tài)終端滑模的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)：

(14)

對(duì)式(9)兩邊求導(dǎo)，并由式(8)、式(10)，可得

s(x,t)=CE(t)-W(t)

=c1(x1-x1d)+c2(x2-x2d)-

(15)

(16)

由式(13)、式(15)、式(16)，可得

=λc1(x1-x1d)+λc2(x2-x2d)-

(17)

對(duì)式(17)兩邊求導(dǎo)，可得

(18)

由于期望視線角速率的變化率在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，因此可設(shè)定:

(19)

然后，對(duì)式(7)兩端求導(dǎo)，可得

(20)

其中

(λc2+c1)[a(x,t)+b(x,t)u+f(x,t)]-

=H1u+(λc2+c1)f(x,t)+

(21)

其中

(22)

(23)

(24)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定控制理論，為了滿足取V負(fù)定，動(dòng)態(tài)終端滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)如下:

H1u+H2+H3]

(25)

式中 ζ為正的常數(shù)。

將式(25)代入式(21)，可得

(26)

由式(14)可得

(27)

2.3 有限時(shí)間收斂特性分析

根據(jù)假設(shè)1，以及式(9)、式(11)可知，當(dāng)t=0時(shí):

s(x,0)=0,σ(x,0)=0

(28)

這表明在末制導(dǎo)開(kāi)始時(shí)刻，系統(tǒng)的軌跡已位于動(dòng)態(tài)終端滑模面上了，同時(shí)根據(jù)式(27)可知，系統(tǒng)狀態(tài)一旦到達(dá)滑模面，便一直位于滑模面上運(yùn)動(dòng)了，即σ(x,t)≡0，也即s(x,t)≡0；這表明動(dòng)態(tài)終端滑模消除了滑模的達(dá)到階段，確保了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和魯棒性。根據(jù)s(x,t)的表達(dá)式，可知:

s(x,t)=CE(t)-W(t)=C[E(t)-P(t)]≡0

(29)

由式(13)可知，當(dāng)t>T時(shí)，有P(t)≡0，因此可知，當(dāng)t>T時(shí)，E(t)≡0。上述推導(dǎo)可充分表明，系統(tǒng)狀態(tài)可在有限時(shí)間T內(nèi)收斂到零；從理論上看，時(shí)間常數(shù)T可設(shè)計(jì)得無(wú)限短，即可使系統(tǒng)狀態(tài)在任意有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，而在實(shí)際的導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制系統(tǒng)中，由于受到各種不確定性的影響，系統(tǒng)誤差的收斂時(shí)間也不可能無(wú)限短，但在充分利用導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制系統(tǒng)能力的前提下，可保證其在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，這樣大大地提高了導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，能夠保證視線角速率在有限時(shí)間收斂。

3 仿真方案及性能分析

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)終端滑模制導(dǎo)律性能，分別針對(duì)目標(biāo)進(jìn)行正弦機(jī)動(dòng)、無(wú)制導(dǎo)誤差情形和目標(biāo)進(jìn)行圓弧形機(jī)動(dòng)、有制導(dǎo)誤差情形下的作戰(zhàn)情況進(jìn)行深入地仿真分析，并得出相關(guān)對(duì)比分析結(jié)論。

在仿真中，將導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀用二階環(huán)節(jié)進(jìn)行描述，并將自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律(ASMG)的仿真結(jié)果與動(dòng)態(tài)終端滑模制導(dǎo)律(Dynamic Terminal Sliding Mode Guidance Law, DTSG)進(jìn)行對(duì)比分析。導(dǎo)彈的自動(dòng)駕駛儀二階動(dòng)態(tài)特性描述為

其中，u′為導(dǎo)彈的加速度。根據(jù)導(dǎo)彈的設(shè)計(jì)要求和實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)，選取導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)參數(shù)為ζ=0.90，ωn=8.0。

自適應(yīng)滑模制導(dǎo)(ASMG)律的表達(dá)式為

(30)

其中，k2=3，ε=10，δ=0.001。

導(dǎo)彈攔截目標(biāo)初始狀態(tài)參數(shù)設(shè)置：vm=1 800 m/s，vt=2 000 m/s，xt0=35 000 m，yt0=20 000 m，xm0=0 m，ym0=16 000 m，θt0=180°，θm0=20°。動(dòng)態(tài)終端滑模制導(dǎo)律的制導(dǎo)律參數(shù)取值為：λ=15，c1=5，c2=1，ζ=0.8。仿真過(guò)程中，導(dǎo)彈的可用過(guò)載為15g，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)過(guò)載為0～3g。

3.1 情形1——目標(biāo)進(jìn)行正弦機(jī)動(dòng)

目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度為at=atmaxsin(πt/12)，分別針對(duì)目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)加速度為1g、2g、3g3種情形進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2給出了在目標(biāo)1g、2g、3g機(jī)動(dòng)情況下，導(dǎo)彈分別按照DTSG和ASMG飛行時(shí)的6組彈道曲線。由圖2可知，DTSG比ASMG所飛行的彈道更加平直，顯示了其視線角速率有限時(shí)間收斂所形成的準(zhǔn)平行接近特性。由圖3～圖4可知，DTSG的視線角速率的在末制導(dǎo)開(kāi)始1.06 s后，就收斂到零附近的較小鄰域內(nèi)，而ASMG卻不能達(dá)到有限時(shí)間收斂；相應(yīng)地，DTSG的指令加速度在最初1.06 s達(dá)到飽和狀態(tài)，隨后又迅速減小至零附近，而ASMG由大變小，然后又變大，到最后2 s時(shí)值變得較大；DTSG指令加速度的這種特點(diǎn)，可使導(dǎo)彈在末制導(dǎo)初始階段充分利用其機(jī)動(dòng)性，使導(dǎo)彈的攔截達(dá)到準(zhǔn)平行接近狀態(tài)，隨后導(dǎo)彈的指令加速度變得較小，可充分節(jié)省能量，完成對(duì)目標(biāo)的高精度殺傷。

3.2 情形2——目標(biāo)進(jìn)行圓弧形機(jī)動(dòng)

分別針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度at為0、1g、2g、3g的情形進(jìn)行仿真，為全面分析2種制導(dǎo)律的制導(dǎo)特性，仿真中對(duì)2種制導(dǎo)律所共同使用的制導(dǎo)參數(shù)r(t)增加干擾噪聲，令

同時(shí)，加入視線角速率噪聲v(k)，其均值為零，方差為

R1(t)=r-1(t)χr-1(t)

其中，χ=0.005。

此外，導(dǎo)引頭初始指向誤差為13.48°。經(jīng)過(guò)200次蒙特卡羅仿真之后，得到仿真結(jié)果，如表1所示。

圖2 彈道軌跡Fig.2 Simulation trajectory

圖3 atmax=3g時(shí)的視線角速率曲線Fig.3 Line-of-sight curves at atmax=3g

圖4 atmax=3g時(shí)的導(dǎo)彈過(guò)載曲線Fig.4 Missile overload curves at atmax=3g

表1 不同目標(biāo)機(jī)動(dòng)過(guò)載下各制導(dǎo)律的飛行時(shí)間和脫靶量tTable 1 Flight time and miss distances of various guidance laws when the target has different maneuvering overloads

由表1可知，隨著目標(biāo)機(jī)動(dòng)過(guò)載的增大，導(dǎo)彈攔截時(shí)間逐漸增大，脫靶量也逐漸增大；ASMG在目標(biāo)機(jī)動(dòng)過(guò)載為2g和3g時(shí)出現(xiàn)了脫靶，不能達(dá)到直接碰撞的要求，而DTSG在不同的目標(biāo)機(jī)動(dòng)過(guò)載下，脫靶量均能夠達(dá)到較小水平，且比ASMG的成功攔截時(shí)間要小。

綜上所述，論文所設(shè)計(jì)的DTSG性能優(yōu)于ASMG；DTSG可在各種目標(biāo)機(jī)動(dòng)過(guò)載下，以相對(duì)更少的時(shí)間，完成對(duì)目標(biāo)的直接碰撞殺傷，顯示出其更高的制導(dǎo)精度和魯棒性。

4 結(jié)論

(1) 利用其可使滑模面在有限時(shí)間內(nèi)收斂的特性，設(shè)計(jì)了非線性動(dòng)態(tài)滑模超平面，從而保證導(dǎo)彈的視線角速率在有限時(shí)間內(nèi)收斂，即使導(dǎo)彈在末制導(dǎo)攔截階段，可在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到準(zhǔn)平行接近狀態(tài)，確保了直接碰撞殺傷。

(2) 通過(guò)對(duì)導(dǎo)彈指令加速度的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，可將滑?？刂浦刑赜械牟贿B續(xù)項(xiàng)轉(zhuǎn)移到制導(dǎo)律的一階導(dǎo)數(shù)當(dāng)中去，得到了在時(shí)間上本質(zhì)連續(xù)的動(dòng)態(tài)終端滑模制導(dǎo)律，有效地消除了抖振。

(3) 與比例制導(dǎo)律和經(jīng)典滑模制導(dǎo)律相比，所設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)終端滑模制導(dǎo)律具有更高的魯棒性和制導(dǎo)精度。

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(編輯：呂耀輝)

Guidance law based on dynamic terminal sliding mode for high speed and maneuvering target

LEI Hu-min, ZHANG Xu, LI Jiong, LIU Tao

(Air and Missile Defense College, Air Force Engineering University,Xi'an 710051,China)

A design scheme of robust guidance law based on dynamic terminal sliding mode control was proposed for the interception of new high speed and maneuvering targets. Firstly, based on the characteristics of finite time convergence of the dynamic terminal sling mode control, a terminal sliding mode switching function with compensating factor was studied,by which a non-linear sliding mode super-surface was proposed through differentiation element then. Finally, the guidance law based on dynamic terminal sliding mode was designed,and its characteristics of finite time convergence were analyzed.The new guidance law not only has the character of finite time convergence,but also is designed based on the derivative of the command acceleration,which could transfer the discrete term that is common in sliding mode control into the first-order derivatives of the guidance law,and remove the chattering problems. Simulation results show that the proposed guidance law could guarantee the missile's line-of-sight finite time convergence and has better robustness and guidance precision.

guidance law;dynamic terminal sliding mode;finite time convergence

2014-04-23；

：2014-05-28。

航空科學(xué)基金(20130196004)。

雷虎民(1960—)，男，教授，研究方向?yàn)榭仗旆烙鶖r截彈制導(dǎo)控制與仿真。E-mail: hmleinet@126.com

張旭(1988—)，男，博士生，研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)與控制技術(shù)。E-mail: dragonhorse12345@163.com

V448

A

1006-2793(2015)02-0160-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.02.003