求解隨機線性互補問題的光滑牛頓投影算法

單錫泉

（山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266590）

0 引言

線性互補問題（LCP）[1]定義為：尋求x∈Rn，滿足

其中M∈Rn×n是一個n×n實矩陣，q∈Rn是一個n維矢量。

當(dāng)我們研究實際問題時，總會受到許多不確定因素的影響，使得線性互補問題包含了不確定的數(shù)據(jù)，這就是隨機線性互補問題（SLCP）[2-9]。本文研究一類特殊的隨機線性互補問題，即樣本空間Ω只包含有限個不確定因素ω。假設(shè)Ω=｛ω1，ω2，…，ωm｝，該問題描述為：尋求x∈Rn，滿足

其中。于是求解問題(1)等價于求解下列問題

下面我們引入幾個概念。

如果κ不依賴于x，則稱Hμ（·）為H的一致光滑逼近函數(shù)。

定義1.2 設(shè)M∈Rn×n，若M的所有主子式皆為非負(fù)，則稱M為P0矩陣。

定義1.3 函數(shù)φ∶R2→R稱為NCP函數(shù)，如果它滿足

懲罰FB函數(shù)[10]

其中對任意的標(biāo)量c，c+=max｛0，c｝是一類常見的NCP函數(shù)。下面我們構(gòu)造懲罰FB函數(shù)的光滑逼近函數(shù)

其中

因此，若問題(1)有解，問題(1)等價于問題(3)。

令w=（μ，z），系統(tǒng)(4)的價值函數(shù)可以定義為

若問題(1)有解，求解系統(tǒng)(3)等價于尋求下列優(yōu)化問題的全局解

其中γ＞0是一個與w有關(guān)的常數(shù)，則問題(5)的一個穩(wěn)定點可以用來衡量[11]?，F(xiàn)在基于問題(5)，給出其相應(yīng)的算法。

1 光滑投影牛頓算法

該算法通過運用一些擾動技術(shù)和選擇恰當(dāng)?shù)乃阉鞣较虿呗?，保證了在相應(yīng)最優(yōu)化問題的任何非穩(wěn)定點處光滑化變量嚴(yán)格為正這一關(guān)鍵點。對于μ＞0，算法通過使用一個擾動策略，可以保證在迭代中μ＞0。令α∈（0，1）為一常數(shù)，。對k=1，2，…，定義序列｛βk｝為

算法2.1

步1：令

步2：(計算擾動方向)

如果線性系統(tǒng)

有解并且有

步3：(線搜索)

記滿足下式的最小非負(fù)整數(shù)m為mk：

其中對任意的λ∈（0,1］，

參考文[11]，可得

其中

值得注意的是，因為W=R×Z，這暗示了算法中式(13)的投影計算只作用于任何點w=（μ，z）的分量z。

2 算法分析

引理3.1[12]對任意的凸集，投影算子滿足

(i)對任意的w∈W，

(ii)

是不增的。

下面的性質(zhì)顯然成立。

性質(zhì)3.2[13]由式(7)定義的序列｛βk｝有如下性質(zhì)：

(i)序列｛βk｝是不增的；

(ii)對所有的k，βk滿足

以下結(jié)果表明算法在迭代過程中能保持μ＞0。

證明：該性質(zhì)可以通過歸納法來證。

對k=0,由算法2.1和β0的選擇可知

假設(shè)式(16)對k成立，接下來證明在k+l處結(jié)論依然成立。

注意到，算法中的擾動搜索方向可以看成是由兩部分組成的：

其中λk是在第k次迭代中可接受的步長?，F(xiàn)在考慮方向針對變量μ的部分。從式(4)和(13)中，有

其中Gk表示G（wk）。根據(jù)搜索方向d（λk）的計算，即有

其中不等式是由γk的定義(8)得到的。從而有

其中第二個不等式是由性質(zhì)3.2中βk的單調(diào)性決定的，最后一個不等式則來自于前一點wk處的假設(shè)。因而，可以得到

另外，如果wk和wk+1不是問題的穩(wěn)定點，則由性質(zhì)知βk≥βk+1＞0.因此，式(16)在點wk+1處也成立，即證。

令｛wk｝是由算法2.1產(chǎn)生的迭代序列。該性質(zhì)表明如果算法不在有限步內(nèi)停止于一個穩(wěn)定點，則對任意的k，有μk＞0。這個結(jié)果暗示了由算法產(chǎn)生的迭代值H（w）和ψ（w）在任何點處是連續(xù)可微的。

3 算法的收斂性

定理4.1 對于算法2.1，下面的結(jié)果成立：

(i)令｛wk｝?W是由算法2.1產(chǎn)生的迭代序列，則｛wk｝的任意聚點是問題(5)的穩(wěn)定點；

(ii)設(shè)w*是｛wk｝的一個聚點，若期望矩陣是P0矩陣，則由算法2.1得到的序列｛wk｝超線性收斂到w*。

證明：(i)反證法。設(shè)w˙∈W是序列｛wk｝的聚點，但不是問題(5)的穩(wěn)定點。不妨仍以｛wk｝表示收斂的子列，即有，對于J acobian矩陣H′（wk），存在一常數(shù)κ2＞0，使得對所有的k≥0，都有κ2。而由式子(7)和性質(zhì)3.2可知，對所有的k≥0，||βk||≤α。

因此，從算法2.1的步2可得

利用式(14)，有

因為｛wk｝和對τ，λ是有界的，且在任何緊集上是一致連續(xù)的，則對任意給定的ε＞0，存在一個常數(shù)，使得對所有的k≥0和λ∈［0，λ］，有下列式子成立：

因此，從式(18)可以進一步得到，對所有的k≥0和λ∈［0，λ］，

對任意的wk和λ∈（0，1］,有

因為w˙不是問題(5)的穩(wěn)定點，則存在一個常數(shù)κ4＞0，使得

令

由式(17)，(19)和(20)的關(guān)系以及事實γk≤1可知，對所有的k≥0和λ∈［0，λ′］，有

因此，由上式及算法2.1中步3所選取的線搜索可知，對所有的k≥0，有。而由不等式(11)和(20)可得，當(dāng)k→∞時，有

這里

其中

及

其中

因此，對角矩陣Di（x）是正定的。另一方面，是p0矩陣，即有的所有主子式均為非負(fù)數(shù)，所以所有主子式非負(fù)，從而是正定的，因而是非奇異的。而非奇異的矩陣是BD-正則的，進而可通過文獻[14]中的定理4.2相同的方法證之。

4 結(jié)束語

本文考慮了一類特殊的隨機線性互補問題，通過使用光滑化的懲罰FB函數(shù)和松弛變量，將問題轉(zhuǎn)化為帶有非負(fù)約束的方程組，然后提出了求解這類問題的光滑投影牛頓算法，并證明了算法的全局收斂性。下一步我們將通過數(shù)值算例驗證算法的有效性，并且要與已有的算法進行比較。

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