金融投資

宗 晨 佘文翀 徐 元

（河海大學(xué)，江蘇 南京210098）

對(duì)于要求一，我們建立了正態(tài)分布模型（模型一）和蒙特卡羅模擬模型（模型二）。對(duì)于模型一，用正態(tài)分布法進(jìn)行分析；對(duì)于模型二，我們用蒙特卡羅法進(jìn)行分析。

對(duì)于要求二，我們由正態(tài)分布的可加性知：Z=X1+X2～N(14.9726,194.1238),再用要求一的解法，求得下一個(gè)周期內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬(wàn)元的可能性為3.65%，以95%的置信度保證損失的數(shù)額的最大值為7.95萬(wàn)元，以及要求在一個(gè)周期內(nèi)的損失超過10萬(wàn)元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為1257.86萬(wàn)元。

1 問題分析

要求概率，首先我們需要先確定所給的樣本服從何種分布，于是先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化分析。作出頻數(shù)直方圖，然后對(duì)其進(jìn)行擬合。由于大部分隨機(jī)變量都是服從正態(tài)分布的，故我們可以建立模型觀察它是否近似服從正態(tài)分布，再進(jìn)行非參數(shù)檢驗(yàn)即可，得到隨機(jī)變量的分布函數(shù)后，我們就可以用概率論的相關(guān)知識(shí)求解有關(guān)問題了。

2 模型假設(shè)

（1）所給的數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，可以反映該公司在過去一年內(nèi)的收益額總體情況；（2）假設(shè)每年影響收益額分環(huán)境因素是穩(wěn)定的；（3）假設(shè)每個(gè)周期內(nèi)的收益額獨(dú)立同分布；（4）假設(shè)收益率為定值，即投資額與收益額之間呈線性關(guān)系。

2.1 符號(hào)系統(tǒng)

T:周期數(shù)；1-α:置信度；μi：i個(gè)周期時(shí)的樣本均值；σi：i個(gè)周期時(shí)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差；K：最大損失額；M0:初始投資額。

2.2 模型建立

2.3 一周期情況下的兩種模型

2.3.1 模型一：正態(tài)分布法

由于大部分隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布，故我們考慮這255個(gè)交易日的日收益額是否服從正態(tài)分布，我們首先畫出其頻率直方圖，發(fā)現(xiàn)它確實(shí)近似服從正態(tài)分布，再用皮爾遜χ2擬合檢驗(yàn)法[1]驗(yàn)證其是服從正態(tài)分布；接著求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，最后利用概率論知識(shí)求解。

1）我們利用matlab軟件畫出了頻數(shù)直方圖，并對(duì)該圖進(jìn)行擬合，得到擬合圖，發(fā)現(xiàn)其近似服從正態(tài)分布。

2）我們?cè)倮胢atlab軟件[2]進(jìn)行皮爾遜擬合檢驗(yàn)

[h,p,stats]=chi2gof(x);運(yùn)行后得到h=0，即接受原假設(shè)，也就是x服從正態(tài)分布；

3）由255個(gè)交易日的日收益額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我們用Excel求得正態(tài)分布的參數(shù)μ=7.4863，σ=9.8520。

20世紀(jì)初分層教學(xué)之所以興起，是由于當(dāng)時(shí)美國(guó)面臨大量移民兒童的涌入，學(xué)生背景各異，水平差距大，給統(tǒng)一教學(xué)帶來(lái)了困難。而在當(dāng)今社會(huì)，人口流動(dòng)與免試就近入學(xué)政策的實(shí)行使我們看到了當(dāng)時(shí)美國(guó)教學(xué)困境的縮影。

第一問：(1)求下一個(gè)周期內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬(wàn)元的可能性，即求p{X-10}，其中X～N（7.4863，9.8522）,我們利用matlab軟件輸入命令[3]：normspec([-inf-10]，7.4863,9.852)，得 到 運(yùn) 行 結(jié) 果ans=0.037957，即p{X-10}=0.037957≈3.80%;(2)求解以95%的置信度保證損失的數(shù)額的最大值。要求以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過多少，設(shè)最大損失額為K，則即求P{X-K}=0.95時(shí)的X值。要使P{X-K}=0.95，即等價(jià)于使P{X-K}=1-0.95=0.05，由此可得 K=1.645*σ-μ=1.645*9.852-7.4863=8.72萬(wàn)元。

第二問：設(shè)初始投資額為M0，由假設(shè)4得到，M0/1000=10/8.72，解得M0=1149.43萬(wàn)元，故如果要求在一個(gè)周期內(nèi)的損失超過10萬(wàn)元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為1146.79萬(wàn)元。

2.3.2 模型二：蒙特卡羅法[4]

題中已經(jīng)給了255個(gè)數(shù)據(jù)，我們可以利用蒙特卡羅法，先對(duì)這255個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行理論分析，得到了這些數(shù)據(jù)的均值為7.4863，標(biāo)準(zhǔn)差為9.852，再通過模擬，將255個(gè)數(shù)據(jù)按一定的法則擴(kuò)展成100000個(gè)數(shù)據(jù)，最后進(jìn)行相關(guān)問題的求解。

第一問:（1）求下一個(gè)周期內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬(wàn)元的可能性，即求p{X-10}

我們將根據(jù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差，將255個(gè)數(shù)據(jù)擴(kuò)展為100000個(gè)，再求這100000個(gè)隨機(jī)數(shù)據(jù)中數(shù)額超過10萬(wàn)元的概率，我們用matlab軟件（程序見附錄1）得到p{X-10}=0.0391=3.91%

由于第一問中我們得到損失數(shù)額超過10萬(wàn)元的概率小于0.05，故要求以95%的置信度保證損失的數(shù)額的最大值，其值必然小于10萬(wàn)元，我們?nèi)∷冢?10，10），以0.01為步長(zhǎng)，找到概率為0.05的那個(gè)值，即為要求的最大值，我們用matlab軟件解得ans=-8.89，即損失數(shù)額的最大值為8.89萬(wàn)元

第二問：由假設(shè)4，我們知初始投資額與日收益額之間為線性關(guān)系，故M0/1000=10/8.72，所以M0=10000/8.89=1124.86萬(wàn)元

2.3.3 兩種模型的比較

首先比較兩組模型的結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)果是近似相等的，這說(shuō)明兩組模型均有一定準(zhǔn)確度。對(duì)于模型一，我們由經(jīng)驗(yàn)猜測(cè)其服從正態(tài)分布，并用理論證明了我們的猜想，在得到其服從正態(tài)分布后，我們運(yùn)用概率論的相關(guān)知識(shí)以及matlab軟件中的一些基本命令進(jìn)行求解，得到了較為準(zhǔn)確的結(jié)果；對(duì)于模型二，我們用蒙特卡洛法進(jìn)行計(jì)算機(jī)隨機(jī)數(shù)模擬，利用模擬的過程得到相應(yīng)要求的概率或損失最大額。

由于計(jì)算機(jī)模擬產(chǎn)生的是隨機(jī)數(shù)，其運(yùn)算的結(jié)果必然不會(huì)每次相同，而有一定的范圍，要使運(yùn)算結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確，就需要產(chǎn)生更多的隨機(jī)數(shù)，即拓展的數(shù)據(jù)越大，得到的結(jié)果更準(zhǔn)確，這樣必然就增大了計(jì)算量，增加運(yùn)算時(shí)間，所以我們認(rèn)為模型一相對(duì)更好。

2.4 二周期情況

第一問：(1)求周期內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬(wàn)元的可能性，即求p{X1+X2-10}：我們利用matlab軟件輸入命令：normspec([-inf-10]，14.9726,13.9328)，得到運(yùn)行結(jié)果ans=0.0365，即p{X-10}=0.0365=3.65%;(2)同第一種情形的解法，得損失數(shù)額的最大值K=1.645*σ2-μ2=1.645*13.9328-14.9726=7.95萬(wàn)元；第二問：同第一種情形的解法：M0/1000=10/7.95，所以M0=1257.86萬(wàn)元.

3 模型評(píng)價(jià)與推廣

3.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）模型一通過經(jīng)驗(yàn)初步估計(jì)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，再根據(jù)數(shù)據(jù)的頻數(shù)直方圖以及擬合圖發(fā)現(xiàn)255個(gè)交易日的日收益額確實(shí)近似服從正態(tài)分布，最后通過理論驗(yàn)證證實(shí)其確實(shí)服從正態(tài)分布，模型建立考慮周全，較嚴(yán)謹(jǐn)；

（2）模型二通過取大量的隨機(jī)數(shù)，得到相關(guān)的結(jié)果，結(jié)果較準(zhǔn)確；

3.2 模型的改進(jìn)

由于題中對(duì)初始投資額和日收益額之間的關(guān)系沒有給出，所以我們假設(shè)其呈線性關(guān)系，但在實(shí)際問題中未必如此。在實(shí)際問題中，我們應(yīng)當(dāng)查閱大量的不同初始投資額與每年的日收益額，分析數(shù)據(jù)得到初始投資額與日收益額的關(guān)系。