二階切觸有理插值算子的構造方法

馬 錦 錦

(安徽建筑大學數(shù)理學院， 合肥 230601)

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二階切觸有理插值算子的構造方法

馬 錦 錦

(安徽建筑大學數(shù)理學院， 合肥 230601)

通過引入二階插值算子，給出了一種較為簡便的構造切觸有理插值的新方法和一種新型的切觸有理插值公式。如果用該方法所得插值函數(shù)次數(shù)較高，還可以通過引入多個參數(shù)的方法，對所構造的有理插值函數(shù)進行降次。該方法比常用的連分式方法更為簡便易行，具有較強的實用價值。

二階插值算子； 切觸有理插值； 降次； 參數(shù)； 連分式

已有的切觸有理插值研究方法大多是基于連分式的方法[1-3]，這些方法運算量較大，并且運算也會受到特定條件的限制，不便于實際操作。本次研究引入二階插值算子，給出一種較為簡便的構造切觸有理插值的新方法。

首先討論切觸有理插值問題。

(k=0,1,…,m)

切觸有理插值理論與應用是有理逼近領域的核心構成部分，是計算數(shù)學學科中最引人關注的課題。切觸有理插值是對一般有理插值的推廣[4]，類似的有多項式插值中的Hermite插值[5]。盡管切觸有理插值比一般有理插值形式復雜，但其應用性更強，在量子力學、量子場論、原子和分子物理、控制論和數(shù)值分析等科學領域都有非常廣泛的應用。

1 構造切觸有理插值算子

傳統(tǒng)方法構造的切觸有理插值比一般有理插值形式復雜，在應用過程中帶來很多不便，比如結構繁瑣、計算量大。為克服這些缺點，利用多項式插值構造插值基函數(shù)，引入一種新型的二階插值算子，用于構造切觸有理插值函數(shù)。如果構造的切觸有理插值次數(shù)較高，可以通過引入?yún)?shù)的方法，將所構造切觸有理插值函數(shù)的分子分母同時降低次數(shù)，給出形式較為簡潔的低次切觸有理插值，因而在實際應用中可以極大地減少計算量。

步驟一：給出用于構造插值基函數(shù)的多項式插值。

構造多項式插值如下：

對于給定的x0

wk(x)=(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xm)

(1)

以上構造的多項式插值wk(x)滿足：

這種多項式插值的特性有助于插值基函數(shù)的構造。

步驟二：構造插值基函數(shù)。

(2)

其中，

(3)

以上構造的插值基函數(shù)αk(x)滿足：

通過這種方法給出的插值基函數(shù)形式簡潔，規(guī)律性強，便于構造切觸有理插值。

步驟三：引入二階插值算子，構造切觸有理插值函數(shù)。

給定x0

pk(x)=f(xk)+f′(xk)(x-xk)+f″(xk)(x-xk)2

(k=0,1,2,…,m)

(6)

則式(6)滿足：

(7)

用以上構造的二階插值算子式(6)，給出插值公式：

(8)

即為利用二階插值算子所構造的插值公式。經(jīng)過驗證：

R(l)(xs)=f(l)(xs) (l=0,1,2)

(9)

式(8)中所構造的切觸有理插值函數(shù)結構簡單，且其應用無條件制約。傳統(tǒng)的連分式方法計算必須先假定計算中每一步的可行性，即分母是零的情況不會出現(xiàn)，而實際計算前根本無法判定。新型切觸有理插值構造法可以很好地避免連分式方法的這一缺點。

例1 給出節(jié)點以及相應的函數(shù)值、導數(shù)值如下：

x0=1f(x0)=0f′(x0)=1f″(x0)=2

x1=0f(x1)=1f′(x1)=2f″(x1)=3

x2=2f(x2)=2f′(x2)=0f″(x2)=1

解：由式 (6) 可求二階插值算子：

p0(x)=0+(x-1)+2(x-1)2

p1(x)=1+2(x-0)+3(x-0)2

p2(x)=2+0(x-2)+1(x-2)2

由式(1) — (3)知：

通過式(7)可求出：

(10)

經(jīng)過驗證：

R(l)(xs)=f(l)(xs) (l=0,1,2;s=0,1,2)

式(10)中的切觸有理插值函數(shù)R(x)是通過引入二階插值算子得到的有理插值函數(shù)。從上述實例中可以看出，新型切觸有理插值構造方法思路簡單清晰，構造的切觸有理插值函數(shù)形式較為簡潔，且其應用并無連分式方法的約束條件，因此其應用范圍廣，具有較強的應用價值。

也可以對所構造的切觸有理插值函數(shù)進行降階，給出普遍適用的降階方法，用這種降階方法可以靈活地引入?yún)?shù)，降低所構造的切觸有理插值函數(shù)分子分母的次數(shù)，也可以通過該降階方法，連續(xù)多次地對插值函數(shù)進行降階，得到次數(shù)符合應用需求的切觸有理插值函數(shù)。

步驟四：引入?yún)?shù)，給出降低切觸有理插值函數(shù)分子分母次數(shù)的一般方法。

給定節(jié)點x0

(11)

滿足插值條件：

R(l)(xs)=f(l)(xs) (l=0,1,2)

例2 對例1中用二階插值算子構造的有理分式函數(shù)R(x)進行降次。

由式(11)知：

令2β0+3β1+β2=0，將有理分式進行降次，則β0=-2,β1=1,β2=1，故：

(12)

式(12)中分子次數(shù)為5次、分母次數(shù)為2次，而式(10)中所構造原始插值函數(shù)的分子次數(shù)為6次、分母次數(shù)為4次，通過該方法實現(xiàn)了降次。由于該方法可以靈活地降低切觸有理插值函數(shù)的次數(shù)，可用于模糊控制和估計復雜系統(tǒng)的可靠性中，建立新型插值控制，具有廣泛的應用范圍。這種算法下的控制器具有設計簡單，不需要選擇具體的隸屬函數(shù)，不需要過多的專家經(jīng)驗等好處，其控制效果較好，在實際生產(chǎn)中具有更大的靈活性和應用價值。

2 結 語

實例證明通過引入?yún)?shù)實現(xiàn)對有理函數(shù)分子、分母進行降次的方法是十分有效、實用的，而且操作方便，計算量不大。

通過引入二階插值算子，給出的構造切觸有理插值函數(shù)方法比常用的連分式方法更為簡便易行，給出的插值公式也較為實用?？梢詫⑦@種思想方法繼續(xù)推廣，給出高階的插值算子，用于解決更為復雜的切觸有理插值問題。本次研究所給出的切觸有理插值構造的新方法由于結構簡潔，降階規(guī)律性強，需要的計算量較小，因此在模糊控制論、圖像壓縮與重建、有理曲線和曲面生成、以及復雜系統(tǒng)性能評估等領域都有較強的應用價值。

[1] 王仁宏，朱功勤.有理函數(shù)逼近及其應用[M].北京：科學出版社，2004:13-25.

[2] Mainar E，Pena P M. A Basis of C-Bezier Splines with Optimal Properties[J]. Computer Aided Geometric Design，2012，19(4):291-295.

[3] Wang G Z，Chen Q Y，Zhou M H. NUATB-spline Curves[J].Computer Aided Geometric Design，2004，21(2):193-205.

[4] 朱功勤,馬錦錦.構造切觸有理插值的一種方法[J].合肥工業(yè)大學學報(自然科學版)，2006，29(10):1320-1326.

[5] 陳之兵.Salzer定理的二元向量形式[J].數(shù)學研究評論，2003，23(2):233-236.

A Method of Constructing Bivariate Osculatory Rational Interpolating Operator

MAJinjin

(College of Mathematics & Physics, Anhui University of Architecture, Hefei 230601, China)

In this paper, osculatory rational interpolating function was constructed by a new method of introducing bivariate interpolating operator. For osculatory rational interpolating function that we had constructed, we could reduce its number of times by choosing parameters. This new method in this paper was fairly simple and had immense application foreground.

bivariate interpolating operator; osculatory rational interpolation; deflation; parameter; continued fractions

2015-07-17

安徽省教育廳自然科學重點研究項目“幾何計算中的曲線曲面的融合技術研究及其應用”(KJ2015A328)；安徽省教育廳自然科學一般研究項目“曲線曲面構造的新方法及其在工程設計中的應用”(KJ2015JD16)；安徽省高等學校省級自然科學研究項目“流密碼密鑰流序列的復雜性分析與研究”(KJ2015JD18)

馬錦錦(1981 — )，女，安徽臨泉縣人，碩士，講師，研究方向為應用數(shù)值逼近。

O241.3

A

1673-1980(2015)05-0101-03