基于灰色馬爾科夫鏈模型的交通事故預測

艾克熱木·艾合買提，阿肯江·托呼提，王立曉

（新疆大學 建筑工程學院，新疆 烏魯木齊830047）

道路交通系統(tǒng)是一個基于人、車、路的動態(tài)系統(tǒng)，影響交通安全的因素很多，作用機理復雜，因此道路交通事故的發(fā)生具有很大的隨機性和偶然性。交通事故根據(jù)傳統(tǒng)的回歸預測法、時間序列法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡法進行預測時，由于各模型均存在一定的局限性，因此預測結(jié)果往往出現(xiàn)較大偏差。回歸預測法具有回歸系數(shù)較難確定，所需樣本量較大等缺陷；時間序列法由于考慮的因素較少，不能反映隨機的外部環(huán)境影響，預測結(jié)果的準確性、實用性較差；BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測法則需要輸入較為全面的數(shù)據(jù)，而且收斂速度慢，程序復雜。

1 灰色馬爾科夫鏈GM（1，1）模型

1.1 灰色GM（1，1）模型

灰色GM（1，1）模型首先通過對原始數(shù)據(jù)進行累加，建立均值生成序列和矩陣B與Y，然后通過最小二乘回歸和微分等數(shù)學方法建立模型，最后通過模型得到的值經(jīng)過還原數(shù)據(jù)，得到預測結(jié)果。它的建模過程為

1）根據(jù)模型在各個時刻的值，建立如式（1）所示的原始數(shù)據(jù)序列

2）對原始數(shù)據(jù)序列進行累加（作1－AGO），得

3）對1－AGO序列作均值，生成序列

4）利用式（1）與式（3），建立矩陣Y與B，得

5）對參數(shù)進行最小二乘估計，得出a與b的值

6）確定模型形式，并還原得到的灰色預測值，如式（6）、式（7）所示

1.2 馬爾科夫鏈模型

馬爾科夫鏈是根據(jù)所觀察的離散狀態(tài)，以經(jīng)驗為主的估計轉(zhuǎn)移概率參數(shù)化的隨機過程。它是對原始數(shù)據(jù)進行狀態(tài)劃分，求出轉(zhuǎn)移概率矩陣，得出未來的預測值。以灰色馬爾科夫鏈模型為例，其一般步驟如下:

1.2.1 狀態(tài)劃分

根據(jù)灰色模型預測值與實際值間的相對誤差，把相對誤差分成r類狀態(tài)。狀態(tài)劃分數(shù)量并無嚴格規(guī)定，是綜合考量樣本數(shù)量、擬合的誤差范圍等相關(guān)因素而確定，一般分成3～5類比較合適。

1.2.2 建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

假設(shè)P（m）ij是狀態(tài)i到j的m步轉(zhuǎn)移概率，M（m）ij是狀態(tài)i到狀態(tài)j的m步轉(zhuǎn)移次數(shù)，Mi屬于i個狀態(tài)的數(shù)量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣如式（8）所示

1.2.3 計算預測值

假設(shè)時間序列在（k）時刻處于狀態(tài)j，根據(jù)狀態(tài)j的殘差區(qū)間［ωj－，ωj＋］的中值，與灰色預測值（0）（k），可以得出灰色馬爾科夫鏈模型的預測值為（k＋1），如式（9）所示

1.3 對模型精度的檢驗

灰色預測模型建立以后，對模型的實用性以及模型的精度進行驗證。GM（1，1）模型通過計算殘差、平均相對誤差、均方差比值、小誤差概率等指標后，查找灰色預測模型精度檢驗等級表（見表1），從而可以判斷模型的精度等級。計算過程和算式如下:

1）分別計算出原始數(shù)據(jù)序列的殘差ε（k），相對誤差Δ（k）與平均相對誤差

2）分別算出原始數(shù)據(jù)與殘差的標準差S1，S2。根據(jù)S1，S2分別算出均方差比值C和小誤差概率P

表1 灰色模型的精度檢驗表

2 案例分析

利用馬爾科夫鏈對灰色GM（1，1）模型的預測誤差進行修正，以烏魯木齊市2007～2013年的傷亡人數(shù)為基礎(chǔ)，對烏魯木齊市2014～2016年的交通事故傷亡人數(shù)進行預測。

2.1 建立GM（1，1）預測模型

灰色GM（1，1）模型的建立過程如下:

1）原始數(shù)據(jù)序列為:x（0）＝｛1 047，1 068，872，902，876，846，895｝；

2）對數(shù)據(jù)進行累加得:x（0）＝｛1 047，2 115，2 987，3 889，4 765，5 611，6 506｝；

3）建立均值生成序列z（1）（k），z（1）（k）＝｛1 581，2 551，3 438，4 327，5 188，6 058.5｝，矩陣Y與B為

4）對參數(shù)進行最小二乘估計，得出a與b的值

5）將a和b的值帶入式（6），得出模型如式（17）所示

根據(jù)式（17），并根據(jù)式（6）還原數(shù)據(jù)，得出烏魯木齊市2007～2013年的傷亡人數(shù)灰色預測值，結(jié)果如表2所示。預測結(jié)果顯示，模型的預測值是單調(diào)遞減的，2008年和2009年的模型相對誤差較大，分別為7.96%和－9.29%。最后可得到2014～2016年傷亡人數(shù)灰色預測值分別為813人、788人、763人。

表2 烏魯木齊市交通事故實際傷亡人數(shù)與灰色模型預測值的對比

6）對GM（1，1）模型進行精度檢驗。利用式（10）～式（16）可以算出，平均相對誤差為4.32%，后驗差比值為61.34%，小誤差概率為0.714 3。查找表1，可知該模型的精度為3級，說明可以用于交通事故預測，但精度較低，需要進一步優(yōu)化來提高模型的精度。

2.2 建立馬爾科夫鏈模型

2.2.1 狀態(tài)劃分

因為本研究樣本數(shù)量較少，按照均值劃分，誤差可分為三個狀態(tài)，分別用E1、E2、E3表示，如表3所示。

表3 死亡人數(shù)狀態(tài)劃分表

根據(jù)表3中的狀態(tài)劃分情況，可以把2007～2013年交通事故傷亡人數(shù)進行狀態(tài)劃分，結(jié)果如表4所示。

表4 烏魯木齊市2007～2013年交通事故實際傷亡人數(shù)狀態(tài)劃分情況

2.2.2 構(gòu)建轉(zhuǎn)移概率矩陣

由式（8）計算出一步，兩步，三步轉(zhuǎn)移概率矩陣

2.2.3 計算預測值

利用式（9）對2007～2013年烏魯木齊市傷亡人數(shù)進行擬合。例如2008年的灰色預測值為983，處于狀態(tài)E3，＝983× ［1＋0.5× （2.21% ＋7.96%）］，可以得出2008年的灰色馬爾科夫鏈預測值為1 033人。同理，可以得出其余年份的預測值，兩種模型的殘差和誤差情況如表5所示?？芍?，2008年和2009年的灰色GM（1，1）預測值相對誤差為7.96%和－9.29%，而灰色馬爾科夫鏈GM（1，1）預測值和相對誤差降到3.28%和－2.29%。從圖1可知，灰色GM（1，1）模型的預測值呈一條平滑遞減曲線，而灰色馬爾科夫鏈GM（1，1）模型的預測值具有一定的波動性，接近傷亡人數(shù)的實際值，預測結(jié)果更加可靠。

根據(jù)表4可知，2013年傷亡人數(shù)預測值處于狀態(tài)E3，初始行向量為V0＝（0，0，1）。因此，R（1）·V0＝（1，0，0），說明2014年處于狀態(tài)E1，再利用式（9）預測出2014的傷亡人數(shù)為761人。同理，可以預測2015年、2016年傷亡人數(shù)年所處的狀態(tài)及預測值，結(jié)果如表6所示。

表5 灰色GM（1，1）模型與灰色馬爾科夫鏈GM（1，1）模型預測結(jié)果

圖1 兩種模型的預測結(jié)果對比

表6 GM（1，1）模型與灰色馬爾科夫鏈預測模型對2014～2016年傷亡人數(shù)預測值

2.2.4 對灰色馬爾科夫鏈 GM（1，1）模型進行精度檢驗

利用馬爾科夫鏈對灰色模型進行誤差修正后，平均相對誤差（越小越好）從4.32%降到1.67%，降低了2.65%；后驗差比（越小越好）從61.34%降到22.04%，降低了39.3%；小誤差概率（越大越好）從0.714 3提高到1，提高了0.285 7。查找表1，可知該模型的精度變?yōu)橐患墸ê茫?，說明灰色馬爾科夫鏈GM（1，1）模型的預測精度比單一的灰色 GM（1，1）模型高，因此，交通事故預測值更加可靠。

3 結(jié) 論

1）首先建立了灰色GM（1，1）模型，以烏魯木齊市2007～2013年交通事故傷亡人數(shù)為基礎(chǔ)，對2014～2016年烏魯木齊市交通事故傷亡人數(shù)進行了預測。模型的預測精度較低，平均相對誤差較高（4.32%），精度等級僅為三級，模型預測精度仍可提高。

2）利用馬爾科夫鏈，建立灰色馬爾科夫鏈模型，通過均值狀態(tài)劃分、建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，對灰色GM（1，1）模型的預測誤差進行了修正，模型的預測精度有了明顯提高，平均相對誤差降到1.67%，降低了2.65%，模型的精度等級提高到了一級。說明灰色馬爾科夫鏈模型比單一的灰色模型更加可靠，預測結(jié)果更接近實際。

3）通過對烏魯木齊市未來交通事故傷亡人數(shù)的預測，可為今后烏魯木齊市交通事故的預防提供有力的理論依據(jù)。

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