具有飽和執(zhí)行器的不確定離散時滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定

李 靜, 景 麗

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

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具有飽和執(zhí)行器的不確定離散時滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定

李 靜, 景 麗

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

執(zhí)行器的動態(tài)特征常常會引入某些非線性特性,其中常見的就是飽和。針對控制系統(tǒng)中廣泛存在的飽和問題,討論了具有飽和執(zhí)行器的離散常時滯不確定系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題。首先,由于飽和執(zhí)行器的非線性特性會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有較大影響,所以利用扇形區(qū)域法對飽和非線性項進行處理。其次,利用李雅普諾夫函數(shù)方法,結(jié)合矩陣不等式性質(zhì),給出了無記憶狀態(tài)反饋控制律存在的充分條件,并且在閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件下,將所得的非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式,該充分條件不僅消除了不確定項對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,而且得到了與時滯無關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù)。最后,給出一個數(shù)值仿真算例,驗證了所得結(jié)果的有效性和可行性。

離散系統(tǒng); 執(zhí)行器飽和; 時滯; 不確定

0 引 言

在實際控制工程中,如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、最優(yōu)控制以及機器人等工程,不確定和時滯是難以避免的,飽和現(xiàn)象也廣泛存在于各種系統(tǒng)中,因此研究時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性一直是控制界的熱點問題之一。近年來關(guān)于時滯問題的研究取得了眾多成果。文獻[1]研究了不確定非線性時滯系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題,其中非線性不確定項滿足增益有界的條件,運用線性矩陣不等式方法得出魯棒鎮(zhèn)定律的存在條件以及鎮(zhèn)定律的設(shè)計方法。文獻[2-3]研究了不確定離散多時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,定義新的李雅普諾夫函數(shù),提出時滯相關(guān)穩(wěn)定判據(jù),并將Oliveira的參數(shù)依賴思想引入該判據(jù),得到了參數(shù)依賴型時滯相關(guān)穩(wěn)定性條件。文獻[4]研究不確定非線性離散系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題,把不確定非線性離散系統(tǒng)的魯棒問題轉(zhuǎn)化為嚴格的線性矩陣不等式,給出了無記憶狀態(tài)反饋控制律存在的充分條件。針對帶有飽和執(zhí)行器的系統(tǒng),文獻[5]研究了一類具有非線性飽和執(zhí)行器的不確定時滯系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題。文獻[6]主要討論了具有執(zhí)行器飽和的連續(xù)線性常時滯不確定系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。文獻[7]利用自由權(quán)矩陣方法討論了具有輸入飽和的時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)的鎮(zhèn)定問題。文獻[8]討論了具有控制約束的多輸入連續(xù)線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性問題。文獻[9]研究了時變時滯在給定區(qū)間內(nèi)的線性時滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題,為引入一些與時變時滯相關(guān)的狀態(tài)變量,構(gòu)建了新的李雅普諾夫函數(shù),分別得出了以線性矩陣不等式形式表示的關(guān)于標稱系統(tǒng)以及帶范數(shù)有界不確定性系統(tǒng)的保守性更小的結(jié)論。文獻[10]對具有時變時滯的一類不確定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進行了研究,通過引入無記憶狀態(tài)反饋控制器得出時滯相關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻[11-12]對帶有時變時滯的不確定系統(tǒng)運用李雅普諾夫方法給出新的時滯相關(guān)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)。文獻[13]依據(jù)Finsler’s引理,得出具有飽和執(zhí)行器的離散線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件,并且利用迭代算法進行了吸引域估計。文獻[14]研究帶有飽和執(zhí)行器的線性系統(tǒng)的吸引域估計問題,引入了輔助矩陣H來處理飽和非線性項,將穩(wěn)定條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式。

本文根據(jù)文獻[1]和文獻[6],研究了一類同時具有狀態(tài)時滯、輸入時滯和帶有飽和執(zhí)行器的離散不確定系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)方法,結(jié)合線性矩陣不等式性質(zhì),給出無記憶狀態(tài)反饋控制律存在的充分條件。最后,給出一個數(shù)值仿真算例。

1 問題描述

考慮如下不確定時滯的執(zhí)行器飽和離散系統(tǒng):

其中:x(k)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量,h為常時滯;u(k)∈Rm是輸入向量;A、A1、B、B1為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣;ΔA、ΔA1、ΔB、ΔB1為不確定實數(shù)矩陣,且滿足

考慮無記憶狀態(tài)反饋控制器

且設(shè)η(k)=sat(u(k))-Fx(k)=sat(2Fx(k))-Fx(k),η(k)Tη(k)≤x(k)TFTFx(k),則有sat(u(k))=η(k)+Fx(k);同理有sat(u(k-h))=η(k-h)+Fx(k-h),η(k-h)Tη(k-h)≤x(k-h)TFTFx(k-h)。

系統(tǒng)(1)在無記憶狀態(tài)反饋控制器(2)作用下,閉環(huán)系統(tǒng)為:

1) S<0;

引理2[10]對任意適當(dāng)維數(shù)的實矩陣D、F(k)、E和標量ε>0,其中FT(k)F(k)≤I,下面不等式成立:

DF(k)E+ETFT(k)DT≤ε-1DDT+εETE

公路橋梁下部構(gòu)造對于工程荷載能力的增強和工程穩(wěn)定性具有重要作用。一般情況下，擴大基礎(chǔ)加固法、基礎(chǔ)加樁法等都是其常用的加固方式。在擴大基礎(chǔ)加固法應(yīng)用過程中，工程建設(shè)人員首先應(yīng)對加固的材質(zhì)進行嚴格規(guī)范，然后確保基礎(chǔ)水平與公路橋梁水平的協(xié)調(diào)，同時還應(yīng)在防排水方面進行嚴格規(guī)范；而在加樁法應(yīng)用過程中，樁體埋深、樁間距、樁材料等都是其把控的重點所在。只有確保這些基礎(chǔ)加固方式應(yīng)用的合理，才能實現(xiàn)公路橋梁應(yīng)用質(zhì)量的有效提升。

2 穩(wěn)定性分析

定理 考慮不確定離散時滯系統(tǒng)(1),給定狀態(tài)反饋增益矩陣F,如果存在對稱正定矩陣P和Q,以及標量ε>0,λ>0使得下面的矩陣不等式成立:

則閉環(huán)系統(tǒng)(1)在給定狀態(tài)反饋控制器(2)下是漸近穩(wěn)定的。

證明 取李雅普諾夫函數(shù)為:

則ΔV(x(k))=V(x(k+1))-V(x(k))

其中

為此,只需證明M<0即可得到ΔV<0,即系統(tǒng)在(2)下漸近穩(wěn)定。

M<0可寫成下面的形式:

上式等價于

式(5)等價于

根據(jù)引理2可知存在ε>0,使得:

式(6)可寫成:

3 仿真算例

例 考慮控制系統(tǒng)(1),具有如下參數(shù):

利用Matlab的LMI工具箱求解矩陣不等式(3)得:

4 結(jié) 語

本文研究了含有飽和執(zhí)行器的不確定離散時滯系統(tǒng),用矩陣不等式的形式給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,以及無記憶狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法。最后,通過數(shù)值算例驗證了該方法的有效性和可行性。

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Stabilization of uncertain discrete time-delay systems with actuator saturation

LIJing,JINGLi

(School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Dynamic characteristics of the actuator will often introduce some non-linear characteristics, the common one is saturation. This paper discusses the robust stabilization problem of discrete time-delay uncertain system with actuator saturation. First of all, since the nonlinear characteristics of saturated actuator will have great influence on the stability of the system, the paper deals with saturated nonlinear item by using fan zone method. Secondly, using Lyapunov function method, combined with matrix inequality properties, the paper proposes an existence condition of memory-less state feedback controller, and under the stability conditions of the closed-loop system, the nonlinear matrix inequality was transformed into linear matrix inequality. The sufficient condition not only eliminates the influence of uncertainties on the stability of the system, but also reaches the time-delay independent stability criterion. Finally, a numerical example illustrates the feasibility and effectiveness of the results.

discrete system; actuator saturation; time-delay; uncertain

2015-06-02。

遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項目(L2014435)。

李 靜(1990-),女,山西朔州人,沈陽師范大學(xué)碩士研究生; 通信作者: 景 麗(1967-),女,沈陽人,沈陽師范大學(xué)副教授,博士,碩士研究生導(dǎo)師。

1673-5862(2015)03-0346-05

O231

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2015.03.007