最小勢能法與極限平衡法的對比分析

胡小兵 羅 惠

(寧波市房屋建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司，浙江 寧波 315040)

最小勢能法與極限平衡法的對比分析

胡小兵 羅 惠

(寧波市房屋建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司，浙江 寧波 315040)

針對圓弧滑裂面最小勢能法與傳統(tǒng)的極限平衡法進(jìn)行了對比，對比表明：在求解滑裂面上的法向應(yīng)力方法不一樣，但求得的安全系數(shù)基本一致，并通過算例進(jìn)行了驗(yàn)證，指出最小勢能法整個(gè)求解過程無需劃分條塊，計(jì)算過程方便簡潔，是一種比較合理和可行的計(jì)算方法。

穩(wěn)定性分析，最小勢能，極限平衡法

0 引言

邊坡穩(wěn)定性分析一直是巖土工程的一個(gè)重要研究課題，也是巖土工程領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問題。目前邊坡穩(wěn)定性分析方法主要有：極限平衡法、塑性極限分析法、有限元強(qiáng)度折減法、矢量和法、最小勢能法等[1-6]，其中極限平衡法是邊坡穩(wěn)定性分析的傳統(tǒng)方法，在實(shí)際邊坡工程中被廣泛應(yīng)用。該方法的特點(diǎn)是考慮土體的靜力平衡以及摩爾庫侖準(zhǔn)則，通過力或力矩在極限狀態(tài)下的平衡進(jìn)行安全系數(shù)的求解，由于該方法概念明確，且在計(jì)算方法上形成了大量的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)和計(jì)算模型，因而成為目前邊坡穩(wěn)定性分析的主要分析方法。最小勢能法是由Mauldon和Ureta[7]針對一種特殊形狀的巖質(zhì)棱柱體，基于最小勢能原理，提出的一種邊坡穩(wěn)定性分析的新方法，該方法通過分析邊坡整體勢能的變化進(jìn)行求解，安全系數(shù)可以直接求出，整個(gè)過程不需要?jiǎng)澐謼l塊，不需要迭代，計(jì)算過程簡便。

本文針對圓弧滑裂面將最小勢能法與極限平衡法進(jìn)行對比分析，通過對兩者的求解過程對比分析，有助于了解最小勢能法求解安全系數(shù)的簡便性，最后本文也編輯了一個(gè)最小勢能法的界面計(jì)算程序，便于利用最小勢能法進(jìn)行安全系數(shù)的計(jì)算。

1 分析方法對比

Bishop法是極限平衡法中計(jì)算模型較為成熟的一種分析方法，在邊坡實(shí)際工程中被廣泛應(yīng)用，該方法是1952年由畢肖普針對圓弧滑動(dòng)面提出的，其基本計(jì)算過程如下。

如圖1所示邊坡，設(shè)可能的滑動(dòng)面是一圓弧AC，其圓心為O,半徑為R,將滑動(dòng)土體ABC分成若干豎向土條，取其中的任意一條(第i條)分析其受力情況。如圖1b)所示，作用在土條上的力有：土條的自重Wi，滑動(dòng)面上的法向反力Ni及剪應(yīng)力Ti，還有土條兩側(cè)的法向力Ei，Ei+1及豎向剪切力xi，xi+1。土條在這些力的作用下處于平衡狀態(tài)，則由y方向力的平衡得：

Wi+ΔXi-Tisinαi-Nicosαi=0

(1)

其中，ΔXi為作用在土條兩側(cè)的剪應(yīng)力差；αi為條塊i的法向力與y軸的夾角。

由于土體在尚未破壞時(shí)，土條滑動(dòng)面上的抗剪強(qiáng)度只發(fā)揮了其中的一部分，此時(shí)，將滑裂面上的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)按同一比例降低為c/FS以及tanφ/FS，進(jìn)而使得滑動(dòng)面上的抗剪強(qiáng)度全部發(fā)揮，并且沿著此滑裂面處達(dá)到極限平衡狀態(tài)，即有：

(2)

其中，ci,φi分別為土條i的粘聚力和內(nèi)摩擦角。

把式(2)代入式(1)中可得：

(3)

通過對整個(gè)滑裂面取圓心O的力矩平衡，此時(shí)作用在土條兩側(cè)的法向力的力矩將相互抵消，而各土條滑裂面上的法向應(yīng)力均通過圓心，則:

(4)

由式(3)，式(4)得：

(5)

式(5)就是Bishop法求解邊坡安全系數(shù)的普遍公式，Bishop證明，若忽略土條兩側(cè)的剪切力，所產(chǎn)生的誤差僅為1%。

最小勢能法是一種從能量的角度分析邊坡穩(wěn)定性的新型分析方法，該方法求解安全系數(shù)的基本思路如下。

(6)

則整個(gè)邊坡系統(tǒng)勢能為：

(7)

其中，積分域L代表整個(gè)圓弧AD。

(8)

把式(7)代入式(8)得：

(9)

Ni=m(n1d1+n2d2)dl

(10)

由摩爾庫侖準(zhǔn)則可得每一微段dl的極限剪應(yīng)力Ti為：

Ti=cidl+Nitanφi

(11)

其中，ci，φi分別為土體的粘聚力和內(nèi)摩擦角。

則當(dāng)邊坡處于極限平衡狀態(tài)時(shí)，整個(gè)滑裂面的極限剪應(yīng)力為：

(12)

此時(shí)，定義安全系數(shù)FS為滑裂面上的極限剪應(yīng)力與實(shí)際剪應(yīng)力的比值，通過對圓心O取力矩平衡得：

(13)

其中，l1為合外力的水平分力R1到圓心O的力臂；l2為合外力的豎向分力R2到圓心O的力臂。

當(dāng)作用的合外力只有重力W時(shí)，式(13)變?yōu)椋?/p>

(14)

其中，l為重力到圓心的力臂。

分析綜述：通過上面極限平衡法安全系數(shù)的求解式(5)以及最小勢能法安全系數(shù)的求解式(14)可以看出,兩者的分母都是整個(gè)滑體的重力對圓心O的力矩，而分子都是整個(gè)滑裂面的極限剪應(yīng)力對圓心O的力矩，進(jìn)而可以看出兩者求解安全系數(shù)的區(qū)別在于求解滑裂面上的法向力方法不一樣，極限平衡法是通過劃分條塊，由力的平衡求得，且法向力包含未知數(shù)需要不斷迭代，而最小勢能法無需劃分條塊，通過勢能原理求得滑體的虛位移，利用力與位移的關(guān)系求得法向力，整個(gè)過程無需迭代，計(jì)算簡便。

2 界面程序

通過上面理論公式的推導(dǎo)過程可以看出，在求解安全系數(shù)的過程中需要大量的計(jì)算，因此為了方便采用最小勢能法計(jì)算以及將其很好的應(yīng)用于實(shí)踐，本文通過MATLAB將上述公式進(jìn)行編輯，將編輯后的程序嵌入到界面計(jì)算模塊，進(jìn)而形成一個(gè)簡便的界面計(jì)算程序。如圖3所示，在進(jìn)行使用時(shí)用戶只要在“輸入”列中輸入相應(yīng)的參數(shù)，點(diǎn)擊計(jì)算，就能在安全系數(shù)輸出框里輸出相應(yīng)的安全系數(shù)，整個(gè)過程簡潔、方便，便于用戶的使用。

3 算例

通過下面一個(gè)算例將最小勢能法與極限平衡法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析，該算例被很多學(xué)者拿來驗(yàn)證計(jì)算方法的合理性。

如圖4所示，該邊坡滑裂面為一橢圓滑裂面，橢圓滑裂面的圓心坐標(biāo)Y(6.1,21.3)，邊坡坡率0.5，坡高h(yuǎn)=12.2 m，土體的物理參數(shù)為：容重r=19.2 kN/m3、粘聚力c=29.3 kN/m3、內(nèi)摩擦角φ=20°，橢圓的長軸a=24.4 m、短軸b=24.4 m，極限平衡法與最小勢能法的計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 不同方法的計(jì)算結(jié)果[8]

最小勢能法簡化Bishop法簡化Janbu法Spencer法2.1302.1261.9602.117

從表1中可以看出，最小勢能法與極限平衡法的計(jì)算結(jié)果非常接近，且與簡化Bishop法最接近，這也驗(yàn)證了上面的理論分析，同時(shí)也表明最小勢能法是合理且可行的。

4 結(jié)語

最小勢能法是一種基于勢能原理求解安全系數(shù)的新型邊坡穩(wěn)定性分析方法，相對于極限平衡法，在求解滑裂面上的法向應(yīng)力時(shí)不用劃分條塊，整個(gè)求解過程也無需迭代，計(jì)算過程簡單，通過算例對比表明：最小勢能法與極限平衡法的計(jì)算結(jié)果非常接近，是一種比較可行和合理的計(jì)算方法，本文開發(fā)了一個(gè)最小勢能界面計(jì)算程序，便于用戶使用最小勢能法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析。

[1] 陳昌富,朱劍鋒.基于 Morgenstern-Price法邊坡三維穩(wěn)定性分析[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2010,29(7):1473-1480.

[2] 袁 恒,羅先啟,張振華.邊坡穩(wěn)定分析三維極限平衡條柱間力的討論[J].巖土力學(xué),2011,32(8):2453-2458.

[3] 趙尚毅，鄭穎人，時(shí)衛(wèi)民，等.用有限元強(qiáng)度折減法求邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)[J].巖土工程學(xué)報(bào)，2002，24(3):343-346.

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[5] 羅先啟,袁 恒.求解邊坡矢量和安全系數(shù)的三維條分法[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2011,30(S1):2865-2870.

[6] 李小強(qiáng),白世偉,李 鈾.最小勢能方法在二維邊坡穩(wěn)定分析中的應(yīng)用[J].巖土力學(xué)，2004，2(6):909-912.

[7] Mauldon M,Ureta J.Stability of rock wedges with multiple sliding surface[J].Candian Geotechnital Journal,1999,14(1):51-66.

[8] 張常亮.邊坡穩(wěn)定性三維極限平衡法研究[D].西安：長安大學(xué)，2008.

Comparative analysis of minimum potential energy method with limit equilibrium method

Hu Xiaobing Luo Hui

(NingboHousingDesign&ResearchInstituteCo.,Ltd,Ningbo315040,China)

The paper compares minimum potential energy method with limit equilibrium method at arc slide face, proves by the comparison that it differs with the method to solve the slide face, indicates it shares some similarity in solving the safety coefficient by the calculation cases, and points out the minimum potential energy method needn’t item compartmentalization in the whole solution process, so it has simple calculation process as a reasonable and feasible calculation method.

stability analysis, minimum energy, limit equilibrium method

1009-6825(2015)32-0072-03

2015-09-05

胡小兵(1979- )，男，高級(jí)工程師，一級(jí)注冊結(jié)構(gòu)工程師； 羅 惠(1989- )，男，助理工程師

TU311

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