天然氣非線性復(fù)合滲流數(shù)學(xué)模型

張笑洋, 王曉冬, 董文秀, 王家航, 王 磊

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 能源學(xué)院，北京 100083；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 非常規(guī)天然氣地質(zhì)評(píng)價(jià)及開(kāi)發(fā)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083 )

?

天然氣非線性復(fù)合滲流數(shù)學(xué)模型

張笑洋1,2, 王曉冬1, 董文秀1, 王家航1, 王 磊1

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 能源學(xué)院，北京 100083；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 非常規(guī)天然氣地質(zhì)評(píng)價(jià)及開(kāi)發(fā)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083 )

在對(duì)油氣井進(jìn)行水力壓裂后產(chǎn)生的有限導(dǎo)流垂直裂縫進(jìn)行研究時(shí)，特別是對(duì)于泄流面積比較狹長(zhǎng)的儲(chǔ)層，可采用復(fù)合流動(dòng)模型求解得到接近于實(shí)際的近似結(jié)果.利用演繹一維流動(dòng)數(shù)學(xué)模型，考察天然氣滲流的非線性影響，并定義擬時(shí)間因子化簡(jiǎn)控制方程，利用Laplace變換求得無(wú)量綱解析解式，聯(lián)立物質(zhì)平衡方程后分析擬時(shí)間因子的變化規(guī)律及其對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的影響.進(jìn)而利用復(fù)合滲流模型分析垂直裂縫氣井在定流量和定流壓生產(chǎn)的2種典型制度下的動(dòng)態(tài)表現(xiàn)特征，繪制相應(yīng)的不穩(wěn)態(tài)壓力及產(chǎn)量曲線，并采用商業(yè)模擬器(Eclipse)對(duì)該解析解進(jìn)行模型的對(duì)比驗(yàn)證.結(jié)果表明：天然氣非線性滲流特點(diǎn)對(duì)擬穩(wěn)態(tài)時(shí)期的產(chǎn)量及壓力特征有較大影響.該研究結(jié)果有利于提高對(duì)天然氣滲流規(guī)律的認(rèn)識(shí)，為壓裂氣井的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析提供一定的理論參考.

非線性； 天然氣； 復(fù)合流動(dòng)模型； 滲流規(guī)律

0 引言

對(duì)油氣井進(jìn)行水力壓裂產(chǎn)生有限導(dǎo)流垂直裂縫，已成為一種常態(tài)的增產(chǎn)措施.然而，有限導(dǎo)流垂直裂縫所引起的不穩(wěn)態(tài)滲流問(wèn)題有些復(fù)雜，通常需要求解地層流動(dòng)和裂縫流動(dòng)耦合的積分方程.在某些情況下，采用分區(qū)簡(jiǎn)化的復(fù)合流動(dòng)模型能夠避免積分方程的出現(xiàn)，得到一種近似結(jié)果，特別對(duì)于泄流面積比較狹長(zhǎng)的儲(chǔ)層，該模型更接近于實(shí)際.在復(fù)合流動(dòng)模型方面，F(xiàn)raim M L和Wattenbavger R A等[1-2]認(rèn)為致密氣藏中的生產(chǎn)井經(jīng)過(guò)水力壓裂后，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)儲(chǔ)層中以一維流動(dòng)為主，并采用一維流動(dòng)模型對(duì)氣井進(jìn)行產(chǎn)量遞減分析.Cinco L H等[3-4]提出雙線性復(fù)合模型，用以分析垂直裂縫井的早期流動(dòng)特征.Lee W J, Lee S T, Azari M等[5-8]提出三線性流模型.Brown M等[9]利用三線性流模型對(duì)致密氣及頁(yè)巖氣的多級(jí)壓裂水平井進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，但忽略系統(tǒng)壓力對(duì)氣體壓縮因子及黏度的影響.Meyer B R等[10]根據(jù)Lee W J等提出的三線性流模型解析解，結(jié)合擬穩(wěn)態(tài)電阻率模型,對(duì)頁(yè)巖氣進(jìn)行多級(jí)壓裂水平井裂縫優(yōu)化.Brohi I等[11]針對(duì)致密氣藏和頁(yè)巖氣藏建立壓裂水平井雙孔復(fù)合三線性流數(shù)學(xué)模型.Stalgorova E等[12-13]建立多級(jí)壓裂水平井三線性滲流模型，并應(yīng)用于對(duì)非常規(guī)油氣藏的研究，該模型也未考慮系統(tǒng)壓力對(duì)氣藏參數(shù)的影響及其引起的求解結(jié)果的誤差.我國(guó)對(duì)線性復(fù)合模型的研究有一定發(fā)展，將線性復(fù)合模型應(yīng)用于對(duì)有限導(dǎo)流垂直裂縫直井或多級(jí)壓裂水平井的研究[14-24]，但均未充分考慮天然氣非線性滲流特征，其結(jié)果必然產(chǎn)生一定偏差.

首先，筆者演繹一維流動(dòng)數(shù)學(xué)模型，在考察天然氣滲流的非線性影響，通過(guò)定義擬時(shí)間因子化簡(jiǎn)控制方程，并利用Laplace變換求得無(wú)量綱解析解式，聯(lián)立物質(zhì)平衡方程分析擬時(shí)間因子的變化規(guī)律及其對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的影響.其次，根據(jù)一維流動(dòng)模型的研究結(jié)果，利用復(fù)合滲流模型分析垂直裂縫氣井在定流量和定流壓生產(chǎn)的2種典型制度下的動(dòng)態(tài)表現(xiàn)特征，繪制相應(yīng)的不穩(wěn)態(tài)壓力及產(chǎn)量曲線.最后,利用商業(yè)模擬器(Eclipse)對(duì)該解析解進(jìn)行模型的對(duì)比驗(yàn)證.

1 一維非線性不穩(wěn)態(tài)滲流控制方程及其化簡(jiǎn)

在常規(guī)砂巖儲(chǔ)層中，一般情形下天然氣的等溫壓縮因子比孔隙介質(zhì)的等溫壓縮因子大一個(gè)數(shù)量級(jí)以上.因此，在等溫條件下，忽略孔隙介質(zhì)彈性，聯(lián)立質(zhì)量守恒方程和運(yùn)動(dòng)方程，得到天然氣的一維不穩(wěn)態(tài)滲流方程為

(1)

式中：Kg為介質(zhì)滲透率；p為壓力；μg為天然氣黏度；Z為偏差因子；t為延續(xù)時(shí)間；x為橫坐標(biāo)；φ為孔隙度；Swi為束縛水飽和度；αt為單位換算因數(shù)(αt=3.6×24×10-3).

顯然，由于天然氣的黏度μg(p)和偏差因子Z(p)是系統(tǒng)壓力p的非線性函數(shù)，因此式(1)是非線性的.若定義擬壓力函數(shù)：

(2)

式中：μgi與Zi分別為初始條件下的天然氣黏度和偏差因子；pP與pi分別為擬壓力和原始地層壓力.其中μgi=μg(pi)，Zi=Z(pi)，則式(1)化簡(jiǎn)為

(3)

式中：cg為天然氣壓縮因子.

在式(3)中，由于右端μg(p)cg(p)是系統(tǒng)壓力p的非線性函數(shù)，因此式(3)還是非線性方程.若將μg(p)cg(p)強(qiáng)行近似為某一常數(shù)，則式(3)與對(duì)應(yīng)的微可壓縮液體流動(dòng)具有相同的形式——“液體滲流模式”，是一種比較勉強(qiáng)的近似.若定義β(t)為擬時(shí)間因子[25]，即

(4)

式中：cgi為初始條件下的天然氣壓縮因子，cgi=cg(pi)，則式(1)簡(jiǎn)化為

(5)

式(5)與“液體滲流模式”形式相同，雖然右端微分中多了擬時(shí)間因子β(t)，但已能進(jìn)行解析求解.這里式(5)是式(1)的近似簡(jiǎn)化結(jié)果[5].

2 一維流動(dòng)產(chǎn)量遞減分析

為考察擬時(shí)間因子β(t)的變化規(guī)律及其對(duì)產(chǎn)量遞減規(guī)律的影響，采用Wattenbarger R A一維流動(dòng)產(chǎn)量遞減解析模型進(jìn)行計(jì)算和分析.Wattenbarger R A等[2]認(rèn)為，許多致密氣藏中的生產(chǎn)井，經(jīng)過(guò)水力壓裂后，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)儲(chǔ)層中以一維流動(dòng)為主，可以采用一維流動(dòng)模型進(jìn)行生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析.

一維滲流物理模型見(jiàn)圖1.其中，在厚度為h、長(zhǎng)度為ye、寬為xe的封閉地層中，其中心存在貫穿的、半長(zhǎng)為xf的均勻流量垂直裂縫，即裂縫長(zhǎng)度等于地層寬度(2xf=xe).當(dāng)垂直裂縫以常流壓pwf生產(chǎn)時(shí)，引發(fā)儲(chǔ)層產(chǎn)生等溫不穩(wěn)定滲流過(guò)程.定義無(wú)量綱量，即

圖1 一維滲流物理模型Fig.1 The physical model of one-dimensional flow

式中：qg為標(biāo)準(zhǔn)狀況下井的產(chǎn)量；Bgi=(pscZiTi)/(piZscTsc)(其中，psc為標(biāo)準(zhǔn)狀況壓力(0.101 325 MPa)；Tsc為標(biāo)準(zhǔn)狀況溫度(293.15 K)；Zsc為標(biāo)準(zhǔn)狀況偏差因子；Ti為儲(chǔ)層溫度)；y為縱坐標(biāo)；ye為縱向泄流邊界；xf為垂直裂縫半長(zhǎng)；αp、αt為單位換算因數(shù)(αp=2π×3.6×24×10-7,αt=3.6×24×10-7).

一維不穩(wěn)態(tài)滲流控制方程為

(6)

定解條件為

(7)

利用Laplace變換求解得

(8)

分析式(8)表明，在晚期階段，有

(9)

在早期階段，有

(10)

雖然得到無(wú)量綱解式(8-10)，但進(jìn)行實(shí)際產(chǎn)量計(jì)算時(shí)，需要確定擬時(shí)間因子β(t)的變化規(guī)律.參考Fraim M L等[1]的方法，對(duì)于β(t)取近似式為

(11)

式中：pavg為儲(chǔ)層平均壓力.

式(11)能夠獲得較高的準(zhǔn)確性，但在不穩(wěn)定滲流過(guò)程中，儲(chǔ)層平均壓力pavg是隨時(shí)間變化的，可通過(guò)聯(lián)立物質(zhì)平衡方程得到.常規(guī)氣藏的物質(zhì)平衡方程為

(12)

式中：Gp為天然氣累計(jì)產(chǎn)量，可通過(guò)數(shù)值積分得到；Gsc為天然氣地質(zhì)儲(chǔ)量.

對(duì)于生產(chǎn)過(guò)程有0<β(t)≤1，若記β(t)中的被積函數(shù)為λ(t)，即

(13)

則λ(t)與β(t)之間的關(guān)系為

t.

(14)

根據(jù)兩者的定義，聯(lián)立式(11)和式(12)，計(jì)算得到λ(t)和β(t)的變化曲線(見(jiàn)圖2).

圖2表明，在初始階段可以忽略儲(chǔ)層平均壓力遞減，λ(t)≈1.0，β(t)≈1.0，氣體滲流行為近似于微可壓縮液體的滲流行為；當(dāng)滲流進(jìn)入晚期擬穩(wěn)態(tài)階段時(shí)，pavg快速遞減，氣體滲流行為將逐漸偏離微可壓縮液體的滲流行為.

計(jì)算式(8)得到一維流動(dòng)模型產(chǎn)量遞減曲線(見(jiàn)圖3).圖3表明，在后期滲流狀態(tài)達(dá)到擬穩(wěn)態(tài)階段時(shí)，氣體與微可壓縮液體的產(chǎn)量q遞減趨勢(shì)將出現(xiàn)較大差別.當(dāng)泄流邊界大小相同時(shí)，隨著儲(chǔ)層平均壓力pavg的遞減，同一時(shí)間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的氣體產(chǎn)量高于相同條件下微可壓縮液體產(chǎn)量.

3 垂直裂縫氣井產(chǎn)量遞減分析

對(duì)于中高滲砂巖儲(chǔ)層，如果儲(chǔ)層有效泄流區(qū)域比較狹長(zhǎng)，采用線性復(fù)合滲流模型描述不穩(wěn)定滲流過(guò)程較為合適，可避免數(shù)值求解地層與裂縫耦合所形成的積分方程.

圖2 參數(shù)λ(t)與β(t)的變化曲線Fig.2 Curves of λ(t) and β(t) values

圖3 一維流動(dòng)模型產(chǎn)量遞減曲線Fig.3 Production decline curve of one-dimensional flow model

3.1 非線性復(fù)合流動(dòng)數(shù)學(xué)模型

圖4 垂直裂縫井線性復(fù)合流動(dòng)模型Fig.4 The linear compound flow model for vertical fractured wells

在均質(zhì)矩形封閉氣藏中心存在一口帶有對(duì)稱雙翼的有限導(dǎo)流垂直裂縫井，裂縫垂向完全穿透儲(chǔ)層，即裂縫高度等于儲(chǔ)層厚度；常規(guī)天然氣由儲(chǔ)層流入裂縫，再經(jīng)裂縫流入井筒；井以常流壓生產(chǎn)，誘發(fā)儲(chǔ)層產(chǎn)生等溫滲流過(guò)程.坐標(biāo)原點(diǎn)位于儲(chǔ)層左下角(見(jiàn)圖4).

根據(jù)關(guān)于擬時(shí)間因子β(t)的定義，地層滲流過(guò)程的無(wú)量綱控制方程為

(15)

定解條件為

pD(xD,yD,0)=0;

(16)

(17)

(18)

按照?qǐng)D4的分區(qū)方法，在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中，分別記pD=pⅠD和pD=pⅡD，式(15)可以按分區(qū)簡(jiǎn)化為一維方程.

(1)在區(qū)域Ⅰ中，地層只發(fā)生平行于裂縫壁面(y方向)的線性流動(dòng)，式(15)簡(jiǎn)化為

(19)

初始條件為

pⅠD(xD,yD,0)=0.

(20)

邊界條件為

(21)

分區(qū)界面條件為

(22)

(23)

(2)在區(qū)域Ⅱ中，由于地層主要發(fā)生垂直于裂縫壁面的線性流動(dòng)，即x方向流動(dòng)占優(yōu)，對(duì)式(15)實(shí)施積分平均，將其簡(jiǎn)化為垂直于裂縫壁面的線性滲流，即

利用式(22)和式(23)得到

(24)

初始條件為

pⅡD(xD,yD,0)=0.

(25)

邊界條件為

(26)

分區(qū)界面條件為

(27)

(28)

(3)在裂縫中，流體發(fā)生穩(wěn)態(tài)滲流且具有對(duì)稱性，其無(wú)量綱控制方程為

(29)

邊界條件為

(30)

(31)

(32)

(33)

式(32)中:cfD為無(wú)量綱裂縫導(dǎo)流能力.

考慮到與井的整個(gè)有效泄流面積相比，裂縫寬度比較小，可以在裂縫內(nèi)沿x方向?qū)Ψ匠倘》e分平均(積分后壓力函數(shù)仍記為pfD)，即

再利用式(31)和式(28)，式(29)簡(jiǎn)化為

(34)

外邊界條件為

(35)

內(nèi)邊界條件分別為定流量或定流壓，為

(36)

(37)

3.2 模型求解及計(jì)算分析

在對(duì)式(19-37)進(jìn)行求解時(shí)，利用Laplace變換，求解井底定流量條件下裂縫中壓力分布及定流壓條件下的井底流量，分別為

(38)

(39)

(40)

定流壓條件下的井底流量為

(41)

根據(jù)式(11)及定容氣藏物質(zhì)平衡方程式(12)，分別在定產(chǎn)量和定流壓條件下確定每個(gè)時(shí)間步驟的pavg和β，進(jìn)行Stehfest數(shù)值反演后，繪制利用三線性流模型求解的該氣藏壓力及產(chǎn)量隨時(shí)間變化的曲線.若不考慮天然氣非線性滲流特點(diǎn)，即忽略擴(kuò)散系數(shù)隨時(shí)間變化時(shí)，β=1，可以得到液體模式的控制方程，對(duì)它進(jìn)行Laplace變換后得到相應(yīng)的液體模式解.

為了說(shuō)明天然氣非線性擴(kuò)散的影響，分別在定流量及定流壓條件下繪制流壓及產(chǎn)量特征曲線(見(jiàn)圖5和圖6)，并將液體模式解與氣體解析解進(jìn)行對(duì)比，參數(shù)見(jiàn)表1.

表1 氣藏基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of the gas reservoir

由圖5和圖6可知，在氣藏生產(chǎn)中早期氣體解析解與液體模式解的特征曲線重合，氣體滲流行為近似于微可壓縮液體的滲流行為.這是由于對(duì)于液體λ=β=1，而在早期不穩(wěn)態(tài)滲流條件下，對(duì)于氣體也存在λ≈β≈1.在早期儲(chǔ)層壓力遞減未波及至邊界前，液體模式解與氣體解析解曲線擬合較好，儲(chǔ)層壓力遞減較少，不對(duì)天然氣壓縮因子及黏度產(chǎn)生太大影響.在后期壓力降觸及邊界后，即當(dāng)滲流進(jìn)入晚期擬穩(wěn)態(tài)階段時(shí)，兩者產(chǎn)生較大的差別，氣體滲流行為將逐漸偏離微可壓縮液體的滲流行為.此時(shí)，隨著氣藏壓力遞減幅度的上升，天然氣性質(zhì)發(fā)生較大變化(λ<β<1),而微可壓縮液體在擬穩(wěn)態(tài)階段仍保持固有性質(zhì)(λ=β=1).對(duì)于考慮天然氣非線性特征的氣體解析解(見(jiàn)圖7)，在擬穩(wěn)態(tài)時(shí)期的壓力下降及產(chǎn)量遞減出現(xiàn)滯后于液體模式解的現(xiàn)象，即當(dāng)泄流邊界大小相同時(shí)，同一時(shí)間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的氣體解的壓降要低于液體模式解的，其產(chǎn)量相反.

為了驗(yàn)證對(duì)天然氣非線性控制方程線性化處理的正確性，將文中所得氣體解析解與數(shù)值模擬(Eclipse)所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比(見(jiàn)圖8).圖8表明，解析解與數(shù)值解擬合良好，可見(jiàn)文中所求考慮天然氣非線性擴(kuò)散的解析解可以較為嚴(yán)格地應(yīng)用于氣藏動(dòng)態(tài)分析.

圖5 壓力降落曲線Fig.5 Comparison of pressure drawdown curves

圖6 產(chǎn)量遞減曲線Fig.6 Comparison of production decline curves

圖7 壓力降落解析結(jié)果與數(shù)值解Fig.7 Comparison of analytical and numerical solutions to pressure drawdown

圖8 產(chǎn)量遞減解析結(jié)果與數(shù)值解Fig.8 Comparison of analytical and numerical solutions to production decline

4 結(jié)論

(1)通過(guò)演繹一維流動(dòng)數(shù)學(xué)模型，考察天然氣滲流的非線性影響，并聯(lián)立物質(zhì)平衡方程，計(jì)算及分析擬時(shí)間因子的變化規(guī)律及其對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的影響.

(2)在考慮氣體滲流過(guò)程中，由于天然氣的等溫壓縮因子及黏度等參數(shù)為壓力的函數(shù)，在對(duì)氣藏進(jìn)行開(kāi)采過(guò)程中，系統(tǒng)壓力不斷遞減，天然氣物性參數(shù)不斷發(fā)生變化.通過(guò)定義擬壓力及擬時(shí)間因子，化簡(jiǎn)天然氣滲流控制方程，從而得到可將其進(jìn)行線性解析求解所需形式.

(3)將一維流動(dòng)模型的研究結(jié)果擴(kuò)展至對(duì)有限導(dǎo)流垂直裂縫井的研究方面，利用復(fù)合滲流模型，分析垂直裂縫氣井在定流量和定流壓生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)表現(xiàn)特征，繪制不穩(wěn)態(tài)壓力及產(chǎn)量曲線，并利用數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)該解析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證.在考慮天然氣非線性滲流特點(diǎn)時(shí)，尤其對(duì)具有封閉邊界的氣藏，在系統(tǒng)達(dá)到擬穩(wěn)態(tài)階段后，不可忽略天然氣滲流的非線性特征對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的影響.

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2015-06-05；編輯：關(guān)開(kāi)澄

國(guó)家科技重大專項(xiàng)(2011ZX05009-004)

張笑洋(1991-)，女，博士研究生，主要從事油氣田開(kāi)發(fā)方面的研究.

TE348

A

2095-4107(2015)04-0079-09

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2015.04.010