依賴隨機參考點的網(wǎng)絡(luò)均衡配流模型

張 璽，劉海旭，陳玲娟，楊 達(dá)*，蒲 云0

(1.西南交通大學(xué)a.經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,b.交通運輸與物流學(xué)院，成都610031；2.武漢科技大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，武漢430081)

依賴隨機參考點的網(wǎng)絡(luò)均衡配流模型

張 璽1a，劉海旭1b，陳玲娟2，楊 達(dá)*1b，蒲 云1b0

(1.西南交通大學(xué)a.經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,b.交通運輸與物流學(xué)院，成都610031；2.武漢科技大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，武漢430081)

所建立模型明確考慮了隨機參考點作為累積前景理論(CPT)描述出行者有限理性路徑選擇行為的補充，將其定義為隨機最短行程時間和可接受系數(shù)的乘積.假設(shè)出行者遵循路徑累積前景最大化原則進(jìn)行路徑選擇，建立相應(yīng)的隨機均衡條件及等價的不動點模型.然后，給出基于Probit加載和相繼平均法(MSA)的啟發(fā)式算法，并在小型網(wǎng)絡(luò)上驗證所提出的模型和算法.算例結(jié)果表明，依賴隨機參考點的交通流模式能夠較為真實地再現(xiàn)出行者在路徑選擇時，同時考慮行程時間均值及隨機波動的有限理性行為.對參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，基于CPT得到的路網(wǎng)均衡狀態(tài)基本上不受行程時間隨機波動程度變化的影響，當(dāng)出行者調(diào)整出行時間預(yù)算時，均衡狀態(tài)將隨之發(fā)生改變.

城市交通；均衡配流模型；累積前景理論；隨機參考點；有限理性

1 引 言

在交通事故、惡劣天氣、大型活動、自然災(zāi)害等各種不確定因素影響下，出行者不大可能準(zhǔn)確地獲悉各路段的實際交通狀況，其交通出行選擇行為將表現(xiàn)出隨機性.出行者可以被認(rèn)為是具備完全理性的決策者，并遵循隨機用戶均衡(Stochastic User Equilibrium,SUE)原則進(jìn)行交通出行選擇[1,2].然而，Avineri等[3]通過意向問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)實際的交通選擇行為并不符合完全理性的假設(shè)，出行者的決策會受到習(xí)慣、偏好及風(fēng)險態(tài)度等因素影響[4].

累積前景理論(Cumulative Prospect Theory, CPT)[5,6]是描述具有不同風(fēng)險態(tài)度的決策者在不確定環(huán)境下進(jìn)行決策的理論.在大量實際調(diào)查和心理學(xué)實驗數(shù)據(jù)支持下，CPT能比較真實地體現(xiàn)決策者的有限理性行為.目前，不少交通領(lǐng)域的學(xué)者已將其應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)均衡配流建模中.Avineri[7]在隨機網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下提出了基于CPT的用戶均衡模型，并在一個包含兩條路徑簡單網(wǎng)絡(luò)上將CPT均衡配流結(jié)果和EUT均衡配流結(jié)果進(jìn)行了對比. Connors等[8]考慮了不確定行程時間對出行者路徑選擇行為的影響，提出了CPT-UE條件和與之等價的網(wǎng)絡(luò)均衡配流模型.劉玉印等[9]考慮了多用戶類在交通信息影響下的有限理性決策行為，提出了CPT混合策略網(wǎng)絡(luò)均衡模型，他們發(fā)現(xiàn)有限理性決策框架下的網(wǎng)絡(luò)均衡交通流與實際交通流更吻合.徐紅利等[10]則提出了彈性需求下CPT網(wǎng)絡(luò)均衡配流模型，并對模型參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析.

上述研究基于CPT所建立的網(wǎng)絡(luò)均衡配流模型均具有參考點依賴特性.不同參考點設(shè)置會得到不同網(wǎng)絡(luò)均衡狀態(tài).因此，關(guān)于參考點獲取是建立有限理性出行選擇模型必須明確考慮的重要問題之一.在實際出行中，參考點應(yīng)該是變化的，文獻(xiàn)[11]對此進(jìn)行了評述并提出了一種基于數(shù)學(xué)規(guī)劃的內(nèi)生參考點獲取方法.然而，參考點獲取與出行者在面臨出行環(huán)境、可用信息及自身風(fēng)險態(tài)度時如何估計預(yù)期收益和預(yù)期損失的一系列復(fù)雜心理過程有關(guān)，在不同時間、決策環(huán)境下，同一出行者的參考點也很可能發(fā)生突變.因此，參考點的獲取很可能會表現(xiàn)出隨機性.本文明確考慮了參考點獲取的隨機性，將路徑前景轉(zhuǎn)變?yōu)橐蕾囯S機參考點的路徑前景，據(jù)此建立了CPT-SUE均衡條件，給出了等價的不動點模型，使用Probit加載模型和相繼平均算法(Method of Successive Averages, MSA)對模型求解，并在一個算例網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行驗證.

2 符號與假設(shè)

G(N,A)——一個交通網(wǎng)絡(luò)；

N——路網(wǎng)的節(jié)點集合；

A——路段集合；

W——OD對集合；

dw——OD對∈W的交通需求；

Rw——OD對w之間的路徑集合；

|Rw|——集合元素個數(shù)；

δar——0-1變量，表示路段a∈A和路徑r∈Rw的關(guān)聯(lián)關(guān)系，若路段a是路徑r的一部分，則δar=1，否則δar=0；

Dw——相應(yīng)的|A|×|Rw|矩陣；

fr——路徑r的交通流量；

fw——|Rw|×1向量；

xa——路段a的交通流量；

x——|A|×1向量.

網(wǎng)絡(luò)流量守恒關(guān)系為

受隨機交通事件的影響，路段行程時間是不確定的.設(shè)路段行程時間Ta服從正態(tài)分布，記為Ta～N(ta,bta)，其中ta為均值，b為方差系數(shù).根據(jù)路段—路徑關(guān)聯(lián)關(guān)系，路徑行程時間可表示為關(guān)聯(lián)路段行程時間之和，路徑行程時間隨機變量Hr同樣服從正態(tài)分布，記為Hr～N(∑a∈Aδarta,∑a∈Aδarbta).

3 隨機參考點

決策者選取參考點是一個復(fù)雜的心理活動，會受到各種信息(顯式信息、隱式信息、甚至不相關(guān)信息等)的影響[7].參考點可以由出行者根據(jù)道路網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)預(yù)先設(shè)定[7,8,12]，也可以由出行者根據(jù)重復(fù)出行所積累的經(jīng)驗內(nèi)生形成[11].

然而，通過對人們參與博彩、保險及股票交易等行為進(jìn)行研究可以發(fā)現(xiàn)參考點并不一定是確定的[13].在實際的道路網(wǎng)絡(luò)出行環(huán)境中，路段行程時間的隨機波動導(dǎo)致路徑行程時間隨機波動，OD間的最短路徑行程時間也是隨機變化的.在重復(fù)出行過程中，出行者依賴參考點所選擇的路徑很可能恰好是實際的最短路徑，也很可能不是，這體現(xiàn)了由行程時間隨機波動所導(dǎo)致的不確定性.那么，出行者很可能會適應(yīng)性地調(diào)整參考點，可以認(rèn)為出行者參考點的選擇具有隨機性.另外，出于規(guī)避風(fēng)險考慮，出行者可能會選擇波動程度不大的路徑出行，這些路徑的行程時間通常要比實際的最短路徑行程時間長.本文認(rèn)為隨機參考點可以定義為OD最短路徑行程時間與一個可接受系數(shù)η≥1的乘積，表示如下

根據(jù)概率論可知，隨機參考點實際上是路徑行程時間向量的函數(shù)，服從一個最小值分布.當(dāng)路徑數(shù)非常小時，可以給出隨機參考點概率分布函數(shù)的解析式.例如，當(dāng)OD路徑數(shù)為3時，設(shè)g表示隨機變量組(H1,H2,H3)的聯(lián)合密度函數(shù)，由最小值分布的定義，3路徑情形下隨機參考點的概率分布函數(shù)為

當(dāng)?shù)缆肪W(wǎng)絡(luò)OD對之間的路徑數(shù)量變得較多時，就難以給出解析式，采用Monte Carlo模擬描述隨機參考點的統(tǒng)計特征可能是比較經(jīng)濟(jì)的方法.

4 累積路徑前景

根據(jù)CPT的原理，出行者根據(jù)參考點對所選擇路徑的效用做出收益或損失的價值判斷.以路徑行程時間為決策變量的路徑價值函數(shù)為[6]

式中 a，β——分別表示出行者面對收益和損失的風(fēng)險態(tài)度；

λ——出行者對損失的厭惡程度.

CPT另一個重要觀點是決策者對客觀概率的主觀化.根據(jù)文獻(xiàn)[14]基于行為公理提出的函數(shù)形式，路徑行程時間客觀概率的權(quán)重為

式中 γ——參數(shù)，一般在左開右閉區(qū)間(0,1]取值，反映了客觀概率的主觀化程度；

qr——Hr的概率.

概率權(quán)重函數(shù)描述了決策者可能會高估小概率、低估中大概率的現(xiàn)象.

實際路徑行程時間不可能低于自由流時間，也不會無限大，其取值應(yīng)該在一定范圍內(nèi).令h+和h-分別表示路徑行程時間的上下界.使用連續(xù)形式的累積前景計算公式[8]，出行者路徑前景值為

式中 Ur——累積前景價值；

GH(ω)——隨機變量Hr的分布函數(shù).

5 基于CPT-SUE的不動點模型

引入隨機參考點Z后，式(7)所定義的路徑前景值變換為隨機變量.類似于傳統(tǒng)的SUE路徑選擇行為，本文假設(shè)出行者是最大路徑前景的追求者，對任意個體出行者而言，選擇路徑r的概率Pr為

當(dāng)交通需求量較大時，概率Pr可近似表示為出行者群體中選擇路徑r的人群所占的比例，基于路徑前景的隨機用戶均衡條件為

式中 Pw——路徑選擇概率向量.

根據(jù)前面的分析可知，路徑前景實際上是Hr的函數(shù)，Hr的概率分布是由Ta概率分布聯(lián)合決定，Ta的概率分布又和xa相關(guān)，而根據(jù)守恒關(guān)系

式(2)可知x由 fw確定.因此，均衡條件(9)等價于式（10）不動點模型

根據(jù)文獻(xiàn)[8]的分析，路徑時間分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).由式(3)可知隨機參考點的分布也是連續(xù)函數(shù).路徑價值函數(shù)、概率權(quán)重函數(shù)和累積價值函數(shù)均滿足連續(xù)單調(diào)，由不動點定理可知不動點式(10)至少存在一個不動點.

一般而言道路網(wǎng)絡(luò)中路徑規(guī)模都比較大，難以給出路徑前景分布函數(shù)的閉合解析式.為此，本文采用Probit加載算法和MSA的啟發(fā)式算法來求解不動點模型.具體步驟如下：

步驟1 初始化.

設(shè)定外層迭代次數(shù)K、內(nèi)層迭代次數(shù)M、可接受系數(shù)η、路段行程時間方差系數(shù)β、路段自由流時間向量ta0，采用截尾抽樣從分布N(ta0,bta0)隨機生成Ta0，然后根據(jù)式(3)采用最短路徑法確定參考點Z，根據(jù)式(7)確定路徑前景Ur，使用全有全無分配得到初始路段流量向量x1，置外層迭代計數(shù)器k=1.

步驟2 更新路段行程時間分布.

將xk帶入路段阻抗函數(shù)得到tk，分布更新為N(tk,btk).

步驟3.1 內(nèi)層迭代初始化.

置內(nèi)層迭代計數(shù)器m=1.

步驟3.2 抽樣.

采用截尾抽樣從分布N(tk,btk)隨機生成向量Tk，根據(jù)式(3)和式(7)得到路徑前景向量Uw，用全有全無分配得到輔助路段流量ym.

步驟3.3 流量平均.

當(dāng)m≥2時，令ym=ym-1+(ym-ym-1)/m.

步驟3.4 檢查內(nèi)層停止條件.

當(dāng)m=M時，停止內(nèi)層迭代，令yk=ym；否則，置m=m+1，返回步驟3.2.

步驟4 更新路段流量.

xk+1=xk+(yk-xk)/k.

步驟5 檢查停止條件.

當(dāng)k=K時，停止算法；否則，置k=k+1，返回步驟2.

需要說明的是，在隨機抽樣中，路段行程時間樣本值不會小于自由流時間，傳統(tǒng)的截負(fù)值區(qū)間抽樣并不適合.在本文算法的截尾抽樣中，以路段自由流時間為界，截去其左部取值范圍，那么實際的抽樣區(qū)間為[ta0,+∞].

6 算例分析

算例網(wǎng)絡(luò)包含9個節(jié)點，24條路段和一個OD對A-B，如圖1所示.OD對A-B交通需求為1 500 veh.路段阻抗函數(shù)采用BPR(Bureau of Public Roads)函數(shù)：ta=ta0[1+0.15(xa/ca)4]，其中ta0表示路段自由流行程時間；ca為路段容量.設(shè)所有路段容量均為400(veh?h-1).13號路段自由流時間為0.3 h，其他路段均為0.1 h.可接受系數(shù)η=1.5，方差系數(shù)b=0.3.采用文獻(xiàn)[15]通過實證分析得到的CPT相關(guān)參數(shù)估計值，參數(shù)α=0.37，β=0.59，λ=1.51，γ=0.74，外層迭代數(shù)K=2 000，內(nèi)層迭代數(shù)M=2.

圖1 算例網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Test network

OD對A-B間共有10條無環(huán)路徑.當(dāng)路網(wǎng)系統(tǒng)趨于隨機均衡狀態(tài)時，隨機參考點的均值為1.423 6 h，標(biāo)準(zhǔn)差為0.320 7.表1給出了這10條路徑的的平均流量、平均行程時間、行程時間標(biāo)準(zhǔn)差及平均前景.其中6條路徑(2、3、4、6、7、10)的選擇概率較大，剩余路徑的選擇概率非常小，幾乎沒有出行者選擇.

表1 CPT隨機均衡下的路徑狀態(tài)指標(biāo)Table 1 Route state indices of CPT stochastic equilibrium

從表1可以看到路徑2、3、4、6、7、10的前景值較大，約為3.34，表明路網(wǎng)系統(tǒng)達(dá)到CPT框架下的隨機均衡狀態(tài).通過觀察這6條路徑平均行程時間的差異可知，CPT隨機均衡狀態(tài)與傳統(tǒng)的SUE狀態(tài)不同.另外，路徑2、3、4使用了遠(yuǎn)離終點的節(jié)點1、節(jié)點2和節(jié)點3，這3條路徑并非傳統(tǒng)意義的有效路徑(如Dial定義的有效路徑)，理論上應(yīng)該沒有出行者會選擇這3條路徑.但在CPT框架下，出行者在路徑選擇決策中不僅考慮絕對行程時間長短，還會考慮行程時間波動，CPT隨機均衡狀態(tài)下，出行者會選擇非有效路徑出行，這和實際中出行者會選擇行程時間較長但波動較小的路徑的決策行為相符.因此，CPT隨機均衡模型可以較為準(zhǔn)確地描述實際路徑選擇行為.

方差系數(shù)b決定了路段行程時間隨機波動的程度.保持其他參數(shù)不變，圖2給出了路徑前景隨方差系數(shù)變化的情況.方差系數(shù)變動基本上不會改變路網(wǎng)系統(tǒng)的隨機均衡模式.無論方差系數(shù)如何取值，在所有路徑中，路徑2、3、4、6、7、10都處于較高且相近的前景水平，表明這6條路徑仍是CPT隨機均衡狀態(tài)下出行者選擇的路徑.路徑前景值和方差系數(shù)之間不具有單調(diào)相關(guān)關(guān)系，這可能是由于路徑前景與路徑行程時間分布函數(shù)的非線性關(guān)系所致.圖3給出了參考點均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨b增加的變化情況，參考點均值及其標(biāo)準(zhǔn)差均隨方差系數(shù)增加而增加，這說明當(dāng)路網(wǎng)系統(tǒng)不確定程度加劇時，出行者會相應(yīng)地調(diào)高參考點預(yù)期.

圖2 路徑前景隨方差系數(shù)變化Fig.2 Route prospects of varied variance coefficient

圖3 參考點均值及標(biāo)準(zhǔn)差隨方差系數(shù)變化Fig.3 Reference point’s mean and standard deviation of varied variance coefficient

可接受系數(shù)η描述了出行者面臨隨機出行環(huán)境時預(yù)留時間的冗余水平，η越大表明出行者預(yù)留出行時間越多.保持其他參數(shù)不變，圖4給出了路徑前景值隨η的變化.從圖中可以看出，隨著η的增加，各條路徑的前景值也相應(yīng)增加，并且呈現(xiàn)逐漸趨同現(xiàn)象，表明路徑前景值的絕對差異逐步減小，其結(jié)果是路網(wǎng)系統(tǒng)的隨機均衡狀態(tài)將發(fā)生變化.圖5給出了路徑1、5、8、9在隨機均衡狀態(tài)下流量隨參數(shù)η的變化.當(dāng)η＞1.9，隨機均衡狀態(tài)發(fā)生變化，出行者開始選擇上述4條路徑出行.隨著η增加，越來越多的出行者將轉(zhuǎn)換到這4條路徑出行，因此，路網(wǎng)隨機均衡狀態(tài)將發(fā)生改變.

圖4 路徑前景隨η的變化Fig.4 Route prospect of variedη

圖5 路徑1、5、8、9流量隨η的變化Fig.5 Route flow of variedηfor route 1,5,8,9

7 研究結(jié)論

CPT描述了人們在不確定環(huán)境下決策的風(fēng)險態(tài)度及主觀參考依據(jù)，反映了現(xiàn)實中人們在決策時所表現(xiàn)的有限理性，因而能夠解釋傳統(tǒng)效用理論無法解釋的行為現(xiàn)象.將CPT應(yīng)用到交通出行選擇建模和網(wǎng)絡(luò)均衡配流建模中無疑使所建立的模型更加符合實際，更能反映道路系統(tǒng)真實的交通流模式.本文在隨機道路網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，假設(shè)出行者的參考點具有隨機性，建立了基于路徑前景最大行為原則的網(wǎng)絡(luò)不動點模型，采用Probit加載算法和MSA求解模型，并在一個算例網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行了驗證.數(shù)值結(jié)果表明，基于CPT建立的隨機均衡配流模型能夠獲得與實際情況相符的均衡交通流模式，較為真實地反映出行者有限理性的路徑選擇行為.通過參數(shù)靈敏度分析發(fā)現(xiàn)，CPT隨機均衡狀態(tài)受隨機波動程度變化的影響很?。划?dāng)出行者設(shè)定較大的時間預(yù)算時，CPT隨機均衡狀態(tài)將發(fā)生改變.

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Network Equilibrium Assignment Model Depended on Stochastic Reference Point

ZHANG Xi1a,LIU Hai-xu1b,CHEN Ling-juan2,YANG Da1b,PU Yun1b
(a.School of Economics and Management,b.School of Transportation and Logistics,Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031,China;2.School ofAutomobile and Traffic Engineering,Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081,China)

As a complement for describing travelers’boundedly rational route choice behavior by cumulative prospect theory,the stochastic reference point is explicitly considered.It is defined as a product of stochastic shortest travel time and acceptable coefficient.By assuming that travelers follow the rule of maximizing route cumulative prospect to choose the route,corresponding stochastic equilibrium condition and equivalent fixed point model are established.Then,a heuristic algorithm is given based on Probit loading and method of successive averages.The proposed model and algorithm are testified on a small network. Numerical results show that the traffic flow pattern depending on stochastic reference point can virtually represent travelers’boundedly rational behavior through average travel time and fluctuation.Due to the sensitivity analysis of parameters,the network equilibrium state from CPT remains unchanged with different travel time fluctuations,but varies when travelers adjust their travel time budgets.

urban traffic;equilibrium assignment model;cumulative prospect theory;stochastic reference point;bounded rationality

1009-6744（2015）01-0100-06

：U491

：A

2014-08-11

：2014-10-28錄用日期：2014-11-13

國家自然科學(xué)基金資助項目（51278429,51308425）.

張璽（1982-），男，重慶人，博士. ＊

：yangd8@gmail.com