一類不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)自適應同步與參數(shù)辨識

趙小山，孔德富，郭永峰

（1.天津職業(yè)技術師范大學理學院，天津 300222；2.天津工業(yè)大學理學院，天津 300387）

一類不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)自適應同步與參數(shù)辨識

趙小山1，孔德富1，郭永峰2

（1.天津職業(yè)技術師范大學理學院，天津 300222；2.天津工業(yè)大學理學院，天津 300387）

針對一個參數(shù)不確定的分數(shù)階混沌系統(tǒng)，首先給出不同相平面上的混沌吸引子圖，然后基于分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，設計了一種自適應同步控制方法，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)該系統(tǒng)的混沌同步，同時能夠完成響應系統(tǒng)的參數(shù)辨識，并根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論給予嚴格證明，最后通過數(shù)值仿真，驗證了該方法的有效性和正確性.

分數(shù)階混沌系統(tǒng)；混沌同步；參數(shù)辨識；自適應同步；控制器

分數(shù)階微積分理論盡管有300多年的歷史，但是因為其長時間沒有實際應用背景而發(fā)展緩慢[1].但近幾十年來，由于Mandelbort[2]提出自然界乃至很多科學領域都存在分數(shù)維的事實，分數(shù)階微積分得到了迅猛的發(fā)展.在混沌系統(tǒng)的同步中，參數(shù)具有極其重要的作用，當系統(tǒng)中某些參數(shù)未知時，混沌系統(tǒng)的敏感性將造成系統(tǒng)狀態(tài)極大的差異.目前很多研究者已經(jīng)對整數(shù)階的參數(shù)問題進行了大量的研究[3-4]，但對分數(shù)階混沌系統(tǒng)的參數(shù)識別問題研究相對較少.在很多實際應用中，分數(shù)階系統(tǒng)又能更準確地反映其數(shù)學特性，因而逐漸成為混沌研究的熱點.自1990年，Pecora和Corroll首次提出混沌同步的概念以來，人們從不同的角度實現(xiàn)了不同類型的混沌同步，有完全同步、廣義同步、投影同步等[5-7].本文針對一個不確定的分數(shù)階混沌系統(tǒng)，設計自適應控制器并進行參數(shù)識別，最后通過數(shù)值模擬驗證該方法的有效性和正確性.

1 分數(shù)階微積分的定義及算法

分數(shù)階微積分存在著多種定義，大多采用的是Caputo定義和Riemann-Liouville（R-L）定義，本文采用的是Caputo定義[8]：

式中：m=[α]；Jθ為θ階Riemann-Liouville積分算子，它被定義為：

其中Γ（·）為Gamma函數(shù).

預估-校正算法是典型的求解一階微分方程組Adams-Bashforth-Moulton[9]法的推廣，基于Caputo分數(shù)階微分定義，將其應用到分數(shù)階系統(tǒng)的數(shù)值計算.

考慮下面的初值問題

在文獻[10]中，Diethelm等證明了如果方程f是連續(xù)的，那么（3）式的初值問題等價于如下的Volterra積分方程

令h=T/N，tn=nh，n=0，1…，N∈Z+，首先進行Adams-Bashforth預估，得到如下公式

其相應的預估矯正算法誤差為maxj=0，1，…N|x（tj）-xh（tj）|=O（hp），其中p=min（2，1+α）.

2 混沌行為

超混沌Lorenz-Stenflo（LS）系統(tǒng)是Stenflo在研究低頻率短波長的重力波方程式提出來的，其形式如下：

式中：x、y、z、w為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a、b、c、d為系統(tǒng)參數(shù)，當a=1，b=7，c=26，d=1.5時，系統(tǒng)存在混沌吸引子.

本文研究的是系統(tǒng)（8）分數(shù)階的形式.其分數(shù)階形式為：

式中：q為分數(shù)階系統(tǒng)的階數(shù)，q=0.98，分數(shù)階系統(tǒng)的參數(shù)依然取a=1，b=7，c=26，d=1.5.采用Caputo定義設計算法，利用Matlab數(shù)值仿真，得出系統(tǒng)（9）的混沌吸引子圖如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)（9）混沌吸引子圖Fig.1 Chaotic attractor of system（9）

通過這個在二維平面上的相圖更加可以清晰的看出該系統(tǒng)的混沌軌道是雙漩渦結構.

3 參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)自適應同步與參數(shù)辨識

文獻[11]給出了分數(shù)階穩(wěn)定性理論.

定理1 考慮線性分階系統(tǒng)

式中，0＜q＜1，x∈Rn（n∈N），A∈Rn×n.當且僅當矩陣A的任意特征值λ，滿足|arg（λ）|＞qπ/2時，系統(tǒng)（10）漸近穩(wěn)定.

由定理1的證明過程可以得出如下定理2.

定理2 對于非線性分數(shù)階系統(tǒng)

式中，0＜q＜1，x=（x1，x2…，xn）T，A（x）∈Rn×n為狀態(tài)向量，是系數(shù)矩陣.當含有狀態(tài)變量的系數(shù)矩陣A（x）的所有特征值λi（i=1，2，…，n）實部都不大于零，即|arg（λi）|＞qπ/2時，系統(tǒng)（11）是漸近穩(wěn)定的.

根據(jù)分數(shù)階穩(wěn)定性理論，設計如下自適應同步同步控制方法，并進行參數(shù)辨識.

本文設驅(qū)動系統(tǒng)為：

假設所有參數(shù)均為未知，采用自適應同步方法，設計如下響應系統(tǒng)：

同步誤差變量設為：e1=y1-x1，e2=y2-x2，e3=y3-x3，e4=y4-x4，未知參數(shù)估計誤差設為：

定理3 若設計的系統(tǒng)同步控制器為

則t→∞時，誤差動力系統(tǒng)（16）趨于穩(wěn)定，即驅(qū)動系統(tǒng)（12）和響應系統(tǒng)（13）達到同步.

證明 針對誤差動力系統(tǒng)（16），構造如下的Lyapunov函數(shù)：

4 數(shù)值模擬

由預估-校正算法，結合Matlab進行數(shù)值仿真，參數(shù)a，b，c，d的真實值分別為（a，b，c，d）=（1，0.7，26，1.5）；驅(qū)動系統(tǒng)（12）的初始值為（x1（0），x2（0），x3（0），x4（0））=（0.1，0.2，0.2，-0.2）；響應系統(tǒng)（13）的初始值為（y1（0），y2（0），y3（0），y4（0））=（15，20，10，40）；誤差系統(tǒng)（16）的初始值為（e1（0），e2（0），e3（0），e4（0））=（14.9，19.8，9.8，40.2）；參數(shù)估計值分別為=（10，-5，0，10），得到誤差系統(tǒng)變化曲線和參數(shù)辨識效果.圖2為誤差系統(tǒng)（16）的誤差變化曲線.

圖2 誤差系統(tǒng)（16）時間歷程圖Fig.2 Synchronization errors of systems（16）

由圖2可以看到，隨著時間t的增加，系統(tǒng)同步誤差逐漸為0，也就是驅(qū)動系統(tǒng)（12）和響應系統(tǒng)（13）達到同步.圖3為未知參數(shù)辨識圖，其中（a）、（b）、（c）、（d）是參數(shù)a、b、c、d的辨識曲線.

圖3 未知參數(shù)辨識圖Fig.3 State trajectories of unknown parameters

由圖3可以看出，當參數(shù)a、b、c、d分別從估計值10、-5、0、10快速的趨近于真實值1、0.7、26、1.5，也就是說，所設計的辨識規(guī)則是正確的.

5 結束語

本文針對參數(shù)不確定的分數(shù)階超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)，給出了其在不同相平面上的混沌吸引子圖；基于分數(shù)階穩(wěn)定性理論，設計了合適的自適應同步控制器，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，推導出未知參數(shù)的辨識規(guī)則，通過利用預估-校正算法，進行數(shù)值模擬，驗證了該方法的有效性和正確性.該方法也可以推廣到其他分數(shù)階混沌系統(tǒng)中，同時分數(shù)階混沌系統(tǒng)異結構同步與參數(shù)辨識，甚至分數(shù)階混沌系統(tǒng)異結構投影同步與參數(shù)辨識，將在接下來的工作中進一步研究.

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[12]HAHN W.The Stability of Motion[M].New York：Springer Press，1967.

Adaptive synchronization and parameter identification of one class of uncertain fractional-order chaotic system

ZHAO Xiao-shan1，KONG De-fu1，GUO Yong-feng2
（1.School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China；2.School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

In view of one parameter uncertain fractional-order chaotic system，firstly，the chaotic attractors of different phase plane are given.Then，based on the fractional-order stability theory，suitable adaptive synchronization controllers are designed.The method not only achieves the chaos synchronization of the system，but also identifies unknown parameters of the respond system.At last based on the Lyapunov stability theory，strict mathematic proof is given，numerical simulation demonstrates the effectiveness and correctness of the method.

fractional-order chaotic system；chaos synchronization；parameter identification；adaptive synchronization；controller

O231.2

A

1671－024X（2015）03－0085－04

10.3969/j.issn.1671-024x.2015.03.018

2015-01-23

國家自然科學基金資助項目（11302158，11302148）；天津職業(yè)技術師范大學研究生創(chuàng)新基金資助項目（YC14-14）

趙小山（1967—），男，副教授，研究方向為非線性動力系統(tǒng)分析.E-mail：xszhao678@126.com