同質(zhì)企業(yè)研發(fā)競爭行為的動力學(xué)性態(tài)分析

黃東衛(wèi)，付玉霞，于沈新

（天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300387）

同質(zhì)企業(yè)研發(fā)競爭行為的動力學(xué)性態(tài)分析

黃東衛(wèi)，付玉霞，于沈新

（天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300387）

應(yīng)用非線性動力系統(tǒng)中的分岔和混沌理論及相關(guān)的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，建立了同質(zhì)三寡頭R&D（研究與開發(fā)）競爭在有限理性預(yù)期下的動力學(xué)模型，分析了該系統(tǒng)的均衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，并以投入調(diào)整速度及技術(shù)溢出水平為控制參數(shù)，分析了系統(tǒng)產(chǎn)生分岔及混沌狀態(tài)的條件，進(jìn)一步得到了寡頭間博弈引起的利潤變化性態(tài)；結(jié)合Mathematics對不同參數(shù)條件下的系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)當(dāng)企業(yè)的R&D投入調(diào)整速度過大時，系統(tǒng)由穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入倍周期分岔進(jìn)而進(jìn)入混沌狀態(tài)；隨著企業(yè)的技術(shù)溢出水平增大，其自身的利潤下降，競爭對手的利潤上升.模擬結(jié)果表明企業(yè)的利潤在穩(wěn)定狀態(tài)下是穩(wěn)定變化的，在混沌狀態(tài)下則是連續(xù)波動的；當(dāng)企業(yè)的投入調(diào)整速度過大時，其自身的平均利潤呈下降趨勢，競爭對手的平均利潤呈上升趨勢.

同質(zhì)企業(yè)；競爭行為；動力學(xué)性態(tài)分析；研究與開發(fā)；有限理性；分岔；均衡點(diǎn)；Lyapunov指數(shù)；技術(shù)溢出

研究和開發(fā)（R&D）已經(jīng)成為企業(yè)發(fā)展的主力，是企業(yè)核心競爭力和科技提升的重要科技手段.企業(yè)開展R&D活動可以獲取更低的生產(chǎn)成本，更高的生產(chǎn)效率，從而獲取更大的利潤.然而，企業(yè)的R&D成果具有公共產(chǎn)品的部分屬性，這就意味著在進(jìn)行R&D活動的過程中，一定存在著技術(shù)溢出.技術(shù)溢出效應(yīng)是經(jīng)濟(jì)市場中不可避免的現(xiàn)象，所以，這個因素也是不可忽略的.中外學(xué)者對此做了很多研究.J.A.Schum Peter創(chuàng)新的技術(shù)理論推動了R&D的相關(guān)研究的發(fā)展.Dssgupta根據(jù)創(chuàng)新收益的不同結(jié)構(gòu)，把R&D分為競爭和非競爭兩種類型.D’Aspremont和Jac-quemin最早研究了R&D合作問題，提出了R&D兩階段理論[1]. Ziss（1944）和Bischi（2002）建立了具有技術(shù)溢出水平的R&D博弈模型[2].Trshler[3]和Luckraz[4]從外生溢出的角度討論了R&D的競爭和合作.國內(nèi)不少學(xué)者對R&D的決策問題也做了一些研究.霍沛軍等[5]研究了雙寡頭R&D合作與非合作時最優(yōu)溢出問題.盛昭瀚等[6]運(yùn)用非線性動力系統(tǒng)理論對R&D投入動態(tài)競爭系統(tǒng)進(jìn)行了復(fù)雜性分析.胡榮等[7]對異質(zhì)產(chǎn)品雙寡頭企業(yè)R&D最佳技術(shù)含量的博弈進(jìn)行了分析.然而，多數(shù)文獻(xiàn)主要研究了雙寡頭R&D的決策問題，對于三維、四維等更高維寡頭之間的競爭卻研究較少.而真實(shí)的市場中往往都是多于兩個寡頭的競爭.本文對不同溢出水平下有限理性同質(zhì)三寡頭的兩階段動態(tài)競爭模型作了復(fù)雜性分析，并用數(shù)值模擬分析了投入速度、技術(shù)溢出水平對企業(yè)利潤及平均利潤的影響.

1 模型的建立

假設(shè)市場上競爭的三寡頭企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品是同質(zhì)的，競爭中存在技術(shù)溢出.由 D’Aspremont和Jacquemin的經(jīng)典R&D兩個階段研究：R&D活動分為R&D投入和產(chǎn)量決策兩個階段.同時，假設(shè)三企業(yè)的R&D投入都是有限理性的，即企業(yè)第二階段的決策是根據(jù)邊際利潤效應(yīng)做出判斷的.

設(shè)第i家企業(yè)（i=1，2，3）在t時期的價格為pi（t），qi（t）表示企業(yè)i（i=1，2，3）在t時期生產(chǎn)的產(chǎn)品產(chǎn)量，市場的總產(chǎn)出Q（t）=q1（t）+q2（t）+q3（t）.設(shè)三企業(yè)在t時期的逆需求函數(shù)為pi（t）=a-bQ（a，b＞0）.其中：a為市場最高價；b為市場需求彈性.設(shè)第i家企業(yè)（i=1，2，3）在t時期的第一階段的研究投入量為xi（t）（≥0）.博弈過程中存在著技術(shù)溢出，為了討論方便，設(shè)企業(yè)i對企業(yè)j和企業(yè)k的技術(shù)溢出水平都為αi（0≤α≤1；i，j，k=1，2，3；i≠j≠k），則企業(yè)i通過企業(yè)j和企業(yè)k的技術(shù)溢出使本企業(yè)的投入增加量為αixj（t）+αkxk（t）.設(shè)未進(jìn)行R&D活動時的三企業(yè)的單位產(chǎn)品成本均為c，開展R&D活動后企業(yè)i單位產(chǎn)品的成本減少量為εijk（t）=β（xi（t）+αjxj（t）+αkxk（t））（β≥0），則成本變?yōu)镃i（t）=c-εijk（t）.本文假設(shè)企業(yè)i的研究投入的成本是非線性的：

于是三企業(yè)在t時期第二階段的利潤函數(shù)為

把（2）代入（1）得在t時期第一階段企業(yè)i選擇投入量為xi（t）（i=1，2，3）時利潤最大，為

又知3個企業(yè)都采用有限理性預(yù)期，企業(yè)的研究投入不是通過精確計(jì)算得出的使利潤最大化的決策，而是根據(jù)邊際利潤做出判斷，邊際利潤大于零時，企業(yè)進(jìn)行投入，邊際利潤小于零時，企業(yè)不投入，于是企業(yè)在t+1期的投入量為

式中：γi＞0（i=1，2，3）為企業(yè)i在博弈過程中R&D投入調(diào)整速度.由式（1）—式（4）得到同質(zhì)三寡頭R&D博弈動態(tài)模型為：

2 不動點(diǎn)及局部穩(wěn)定性分析

為了研究系統(tǒng)的不動點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，首先計(jì)算系統(tǒng)（5）的雅克比矩陣

令xi（t+1）=xi（t），求得系統(tǒng)的解析解比較繁瑣，為了簡便，給某些參數(shù)賦值.取α1=0.3，α2=0.2，α3=0.25，β=1.2，λ1=2，λ2=2.3，λ3=2.2，a=30，b=2，c=4得到系統(tǒng)的8個不動點(diǎn)E1（0，0，0）E2（0，0，2.977 1）E3（0，2.997 2，0）E4（0，2.807 3，2.745 7）E5（3.158 6，0，0）E6（2.910 7，2.836 1，0）E7（2.953 8，0，2.814 8）E8（2.735 6，2.665 5，2.607 0）.顯然，這些不動點(diǎn)和γi（i=1，2，3）無關(guān)；其中Ei（i=1，2，3，4，5，6，7） 稱有界均衡點(diǎn)，E8是唯一的Nash均衡點(diǎn)[8-9].

定理 有界均衡點(diǎn)Ei（i=1，2，3，4，5，6，7）是不穩(wěn)定均衡點(diǎn).

證明 將E1（0，0，0）代入雅克比矩陣得

則它的特征值分別是1+4.68γ1，1+5.07γ2，1+4.875γ3，又因?yàn)閰?shù)γi＞0（i=1，2，3），所以這3個特征值的模都是大于1的，所以該不動點(diǎn)是不穩(wěn)定的.

同理，將Ei（i=1，2，3，4，5，6，7）分別代入雅克比矩陣計(jì)算出它們各自的特征值（不再一一列舉出來），結(jié)果發(fā)現(xiàn)特征值的模都至少有一個大于1[10]，即Ei（i=1，2，3，4，5，6，7）是不穩(wěn)定的.

下面討論Nash均衡點(diǎn)E8的穩(wěn)定性情況，將E8代入雅克比矩陣得

它的特征方程為f（λ）=λ3+Aλ3+Bλ+C，其中

根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)，系統(tǒng)在E8漸近穩(wěn)定的充要條件是特征方程的所有零點(diǎn)落在復(fù)平面的單位圓內(nèi)，必須滿足以下4點(diǎn)[11]

根據(jù)式（7）解出來的γi（i=1，2，3）就是系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域.穩(wěn)定的Nash均衡點(diǎn)表明：盡管三寡頭初始的R&D投入量不同，但是經(jīng)過重復(fù)博弈，企業(yè)每次對初始投入量的調(diào)整最終將穩(wěn)定在Nash均衡點(diǎn)處的穩(wěn)定的投入量水平，一旦企業(yè)的調(diào)整速度超出了穩(wěn)定區(qū)域，系統(tǒng)就會進(jìn)入倍周期分岔甚至混沌狀態(tài).

3 數(shù)值模擬及模型的復(fù)雜動力學(xué)特性分析

為了更好地了解系統(tǒng)（5）的動態(tài)演化過程，識別系統(tǒng)的混沌行為[12-13]，本文采用數(shù)值模擬來分析.給出部分參數(shù)的值，作出R&D投入量的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜.取數(shù)值模擬的初始參數(shù)值為α1=0.3，α2=0.2，α3=0.25，β=1.2，λ1=2，λ2=2.3，λ3=2.2，a=30，b=2，c=4，γ2=0.3，γ3=0.4，3個寡頭的初始R&D投入量分別是x1=1.7，x2=2，x3=2.1.

3.1 R&D投入調(diào)整速度對系統(tǒng)狀態(tài)的影響

為了研究企業(yè)R&D的調(diào)整速度對系統(tǒng)（5）的狀態(tài)影響，本文選取企業(yè)1的R&D調(diào)整速度作為研究對象，企業(yè)2和企業(yè)3的R&D的調(diào)整速度對系統(tǒng)（5）的影響可以用同樣的方法做.企業(yè)1的R&D投入量的分岔圖如圖1所示.

圖1 R&D投入量的分岔圖Fig.1 R&D input bifurcation diagram

觀察圖1可知，系統(tǒng)（5）隨著企業(yè)1的R&D投入調(diào)整速度γ1的連續(xù)變化呈現(xiàn)穩(wěn)定、倍周期分岔、混沌狀態(tài).γ1較小時，系統(tǒng)穩(wěn)定；γ1較大時，系統(tǒng)出現(xiàn)分岔進(jìn)而出現(xiàn)混沌狀態(tài).同時也可以用系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜（圖2）進(jìn)一步闡述該過程的變化趨勢.Lyapunov指數(shù)是用來表征相軌道間分離快慢的指標(biāo)，如果Lyapunov指數(shù)為正，則系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，如果Lyapunov指數(shù)為負(fù)，則系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài).

圖2 系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)譜Fig.2 Maximal Lyapunov exponent of system

從圖2可以看到，企業(yè)1的R&D投入調(diào)整速度γ1較小時，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)小于零，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；γ1=0.49時，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)等于零，系統(tǒng)進(jìn)入倍周期分岔狀態(tài)；當(dāng)γ1增大到0.62時，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)開始大于零，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài).這與圖1觀察到的結(jié)果是一致的.

3.2 R&D投入調(diào)整速度對企業(yè)利潤的影響

仍然以企業(yè)1的R&D投入調(diào)整速度為研究對象，模擬三寡頭企業(yè)的利潤在不同的γ1取值下，隨博弈周期變化趨勢圖如圖3所示.選取博弈周期T=100，分別取γ1=0.32和γ1=0.66，作出企業(yè)利潤在這兩個取值下的變化趨勢圖.由圖1和圖2知，γ1=0.32對應(yīng)系統(tǒng)（5）的穩(wěn)定狀態(tài)，γ1=0.66對應(yīng)系統(tǒng)（5）的混沌狀態(tài).

圖3 三企業(yè)的利潤變化趨勢圖及相圖Fig.3 Changing profit of three enterprises and phase diagram

由圖3（a）可知，γ1=0.32即系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，三企業(yè)的利潤隨博弈周期穩(wěn)定變化；由圖3（b）可知，γ1=0.32系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，三企業(yè)的利潤連續(xù)波動.圖3（c）和圖3（d）是對應(yīng)的三企業(yè)的利潤的相圖，γ1=0.32時相圖基本是一條直線，說明利潤穩(wěn)定變化，γ1=0.32時相圖是混沌吸引子，說明利潤是波動的，這和圖3（a）、圖3（b）的結(jié)論的是一致的.

為了進(jìn)一步說明企業(yè)1的R&D投入調(diào)整速度γ1、γ2和γ3對企業(yè)利潤的影響，模擬企業(yè)平均利潤在100個博弈周期內(nèi)隨著γ1、γ2和γ3的變化趨勢圖，如圖4所示.

圖4 平均利潤隨γ1、γ2、γ3時變化趨勢圖Fig.4 Average profit with change of γ1，γ2，γ3

從圖4（a）可知，企業(yè)1 R&D投入調(diào)整速度γ1較小時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，三企業(yè)的平均利潤穩(wěn)定變化；隨著γ1的增大，系統(tǒng)進(jìn)入倍周期分岔甚至混沌狀態(tài)，企業(yè)1的平均利潤呈下降趨勢，但企業(yè)2與企業(yè)3的平均利潤呈上升趨勢.這說明企業(yè)的投入調(diào)整速度過大時對企業(yè)自身是不利的，對競爭對手是有利的，圖4（b）與圖4（c）也說明了這個結(jié)果.

3.3 技術(shù)溢出水平對企業(yè)平均利潤的影響

以企業(yè)1的技術(shù)溢出水平α1為研究對象，分別選取α2=0.2和α2=0.6，α3=0.25和，α3=0.7，模擬三企業(yè)的平均利潤隨著α1的變化趨勢圖，其他參數(shù)不變，選擇博弈周期T=100，見圖5.

圖5 三企業(yè)的平均利潤隨α1的變化趨勢圖Fig.5 Average profit of three enterprises with change of α1

比較圖5（a）和圖5（b）可以看出，當(dāng)企業(yè)3的技術(shù)溢出水平固定為α3=0.25，企業(yè)2的技術(shù)溢出水平分別為α2=0.2和α2=0.6時，企業(yè)1的平均利潤隨著它自身的技術(shù)溢出水平α1的增加呈下降趨勢；企業(yè)2和企業(yè)3的平均利潤呈上升趨勢；圖5（b）中三企業(yè)的大體趨勢和圖5（a）是一樣的，但是企業(yè)1和企業(yè)3的平均利潤整體上高于圖5（a）中企業(yè)1和企業(yè)3的平均利潤，企業(yè)2的平均利潤整體上則相對降低，同時企業(yè)2與企業(yè)3之間的平均利潤差距變大.這說明，企業(yè)的技術(shù)溢出使自身利潤下降，則對競爭對手是有利的.反過來，如果企業(yè)降低自己的技術(shù)溢出水平，對手的利潤就會降低，由于競爭者同樣的心理，對手也會降低自身的技術(shù)溢出水平來降低對方的利潤，最終各企業(yè)將在技術(shù)溢出水平相等時達(dá)到博弈均衡.比較圖5（a）和圖5（c），圖5（b）和圖5（d）亦能得到同樣的結(jié)論.

由此可見，企業(yè)之間是相互影響又相互依存的，只有企業(yè)間相互合作，達(dá)到知識共享，資源共享，技術(shù)共享，優(yōu)勢互補(bǔ)，才能共贏，才能為社會創(chuàng)造更多的財(cái)富和價值.

4 結(jié)束語

本文建立了不同溢出水平下同質(zhì)三寡頭在有限理性預(yù)期下R&D競爭模型，對此模型作了復(fù)雜的動力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)企業(yè)的R&D投入調(diào)整速度過大時，系統(tǒng)由穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入倍周期分岔進(jìn)而進(jìn)入混沌狀態(tài)；隨著企業(yè)的技術(shù)溢出水平增大，它自身的利潤下降，對手的利潤上升，對手的技術(shù)溢出水平變大時，它的利潤也會相對變大.同時用數(shù)值模擬分析了企業(yè)的R&D投入調(diào)整速度及技術(shù)溢出水平對企業(yè)利潤和平均利潤等的影響.結(jié)果表明：企業(yè)的利潤在穩(wěn)定狀態(tài)下是穩(wěn)定變化的，在混沌狀態(tài)下則是連續(xù)波動的；企業(yè)的平均利潤與自身的調(diào)整速度密切相關(guān)，當(dāng)某個企業(yè)調(diào)整速度過大時，自身的平均利潤呈下降趨勢，競爭對手呈上升趨勢.企業(yè)在競爭的過程中，企業(yè)的技術(shù)溢出水平對自身和對對手的影響都是利大于弊的.企業(yè)間只有合作，形成資源共享，知識共享，技術(shù)共享才能共贏.本文僅就同質(zhì)三寡頭R&D之間的競爭做了一些分析，對于產(chǎn)品有差異性企業(yè)間的競爭，不同預(yù)期條件下企業(yè)間的競爭及更高維寡頭之間的競爭沒有作分析，這些問題還需要進(jìn)一步的研究.

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Dynamics analysis of state of homogenous corporate R&D competition

HUANG Dong-wei，F(xiàn)U Yu-xia，YU Shen-xin
（School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

We apply the theory of bifurcation and chaos of nonlinear dynamical systems and related theory of economics，and then establish a R&D competition dynamic model under the limited rational expectations of three homogeneous oligarchs and analyze this system′s equilibriums and their stability.We also take adjusting speed of R&D input and technical spillovers level as the control parameter and analyze the condition of the system bifurcation and chaos，then we get the changing behavior of profit as competition among oligarchs；Under the condition of different parameters we simulate the system by Mathematics and illustrate the result.We find that when the adjusting speed of R&D input of the enterprise is too large，then the system becomes from stable state into period-doubling bifurcation and chaotic state.As the technical spillovers level of the enterprise increases，its profit falls and the opponent′s profit rises.In addition，the results of simulation show that enterprise′s profits changes steadyly under the stable state and changes valatily，under the chaotic state.When the adjusting speed of input of the enterprise is too large，its average profit falls and the opponents′rises.

homogenous corporate；competition；dynamics analysis；research and development（R&D）；bounded rationality；bifurcation；equilibriums；Lyapunov index；technical spillovers

F274；F224

A

1671-024X（2015）03-0073-05

10.3969/j.issn.1671-024x.2015.03.016

2014-12-11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11102132）

黃東衛(wèi)（1966—），男，教授，博士，研究方向?yàn)殡S機(jī)動力系統(tǒng)理論及應(yīng)用.E-mail：tjhuangdw@163.com