主動(dòng)吸振器最優(yōu)反饋控制技術(shù)研究＊

陳振東 鄧開(kāi)勇 閆政濤 朱石堅(jiān)

（海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院1） 武漢 430033） （92692部隊(duì)裝備部2） 湛江 524064）

0 引 言

傳統(tǒng)被動(dòng)式吸振器的控制線譜單一，當(dāng)被控設(shè)備外界激勵(lì)發(fā)生變化時(shí)，并不能跟蹤振動(dòng)頻譜的變化，起不到有效的減振作用［1］.主動(dòng)式吸振器在被動(dòng)式吸振器的基礎(chǔ)上并聯(lián)了作動(dòng)器，通過(guò)被控點(diǎn)采集到的振動(dòng)信號(hào)以及適當(dāng)?shù)目刂扑惴梢詼?zhǔn)確控制主動(dòng)吸振器輸出合適的力來(lái)減弱或消除被控點(diǎn)的擾動(dòng).主動(dòng)式吸振器彌補(bǔ)了被動(dòng)式吸振器的上述缺陷，可以自動(dòng)跟蹤外界激勵(lì)頻率的變化，能在多根線譜上取得控制效果，減振效果明顯增強(qiáng).因此，主動(dòng)吸振技術(shù)在振動(dòng)線譜控制領(lǐng)域內(nèi)具有廣闊的應(yīng)用前景.

國(guó)外發(fā)達(dá)國(guó)家在主動(dòng)吸振技術(shù)上取得了多項(xiàng)成果.英國(guó)開(kāi)展了浮閥上的主動(dòng)吸振技術(shù)研究，通過(guò)了掃雷艇上的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證［2］.澳大利亞海軍在柯林斯級(jí)潛艇雙層隔振裝置的6個(gè)自由度上都采取了主動(dòng)吸振技術(shù)，有效的降低了低頻振動(dòng)［3］；南安普頓大學(xué)振動(dòng)與噪聲研究所研發(fā)的柴油機(jī)主動(dòng)隔振系統(tǒng)中，通過(guò)自適應(yīng)控制算法進(jìn)行了反饋控制，也獲得了較好的減振效果［4］.國(guó)內(nèi)技術(shù)人員也做了大量的理論和試驗(yàn)研究.李玩幽等［5］較早針對(duì)船舶管道、內(nèi)燃機(jī)的主動(dòng)吸振技術(shù)開(kāi)展了理論研究；舒歌群等［6］研究了內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力式主動(dòng)吸振器，有效地抑制了一臺(tái)四缸柴油機(jī)的振動(dòng)；王永等［7］建立了4個(gè)主動(dòng)吸振器的模擬浮閥振動(dòng)主動(dòng)控制物理試驗(yàn)系統(tǒng)，在10～30Hz頻段內(nèi)的實(shí)驗(yàn)頻率點(diǎn)處的減振效果達(dá)到10dB以上.總的來(lái)說(shuō)，國(guó)內(nèi)在主動(dòng)吸振技術(shù)取得了一定成就，但起步較晚，相對(duì)國(guó)外發(fā)達(dá)國(guó)家存在著一定的差距.

本文針對(duì)動(dòng)力設(shè)備振動(dòng)線譜的綜合控制，建立主動(dòng)吸振器動(dòng)力學(xué)模型，研究了最優(yōu)控制下外界激勵(lì)到被控設(shè)備振動(dòng)特性的傳遞函數(shù)特性，找出了影響控制效果的影響因素，總結(jié)出最優(yōu)控制加權(quán)系數(shù)選取的基本原則，并開(kāi)展了反饋控制仿真研究.

1 主動(dòng)吸振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

主動(dòng)吸振器與通常的被動(dòng)吸振器的區(qū)別就是在主動(dòng)吸振器被動(dòng)吸振器彈簧元件與阻尼元件的基礎(chǔ)上并列了作動(dòng)器部分.如圖1所示，M，C，K分別為被控設(shè)備的質(zhì)量、阻尼及彈簧剛度.m，c，k為主動(dòng)吸振器的質(zhì)量、阻尼及彈簧剛度.X與x為被控設(shè)備與動(dòng)力吸振器相對(duì)基礎(chǔ)的位移，f和u分別為作用在被控設(shè)備的外界激勵(lì)力與主動(dòng)吸振器內(nèi)部產(chǎn)生的電磁力.

為了方便控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，定義：

為描述方便，可將式（2）及（3）采用狀態(tài)空間描述方法表述.?。?/p>

式中：fu為控制輸出力；v為外界干擾力.

定義了以下量綱一的量參數(shù).

此外，Kc與Kv為變換系數(shù)，并由以下方程定義：u＝Kcfu，f＝Kvv.

2 最優(yōu)反饋控制系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

在最優(yōu)反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)之前，為了使整個(gè)設(shè)計(jì)工作更加通用，將系統(tǒng)狀態(tài)表達(dá)式（5）進(jìn)行量綱一的量化.做出以下調(diào)整.

經(jīng)過(guò)變換，可得到作動(dòng)器線性動(dòng)力學(xué)方程狀態(tài)空間表達(dá)式.

式中：Q為半正定對(duì)稱矩陣；R為正定對(duì)稱矩陣.其中

這里采取單作動(dòng)器進(jìn)行振動(dòng)控制，所以u(píng)′＝u，R＝r.此時(shí)，式（16）可以表述為

根據(jù)分離定理，由式（11）與（12）組成的最優(yōu)控制問(wèn)題，隨機(jī)最優(yōu)控制律為

首先按照最優(yōu)控制理論確定性控制問(wèn)題，可以得到反饋增益矩陣K為

式中：P可以通過(guò)求解以下控制器的Riccati代數(shù)方程得到

不難理解，Q為被控對(duì)象的加權(quán)系數(shù)，Q的大小代表對(duì)被控對(duì)象振動(dòng)進(jìn)行控制的重視程度，R為作動(dòng)器輸出的加權(quán)系數(shù)，代表對(duì)能量消耗的重視程度.此時(shí)，將重點(diǎn)修改控制器中q1，q3，r，分別對(duì)應(yīng)被控對(duì)象振動(dòng)速度、振動(dòng)位移以及作動(dòng)器輸出控制力.此時(shí)控制目標(biāo)可以表示為

為了分析反饋控制后，在不同頻率外界擾動(dòng)情況下振動(dòng)控制效果，可以將式（19）代入式（11）（12），可得到系統(tǒng)最優(yōu)反饋控制下的狀態(tài)方程

即取作動(dòng)器輸出作為最優(yōu)反饋控制系統(tǒng)輸出的一部分，以供后續(xù)分析使用.則系統(tǒng)在外界擾動(dòng)情況下，系統(tǒng)輸出與激勵(lì)的傳遞函數(shù)可以表示為

式（25）是狀態(tài)方程（23）的傳遞函數(shù)表達(dá)式，Hfy1、Hfy3和Hfy4分別代表外界激勵(lì)力與被控設(shè)備的振動(dòng)速度、被控設(shè)備運(yùn)動(dòng)位移、控制輸出力之間的傳遞函數(shù).通過(guò)分析該函數(shù)特性，可以進(jìn)一步指導(dǎo)主動(dòng)吸振最優(yōu)反饋控制算法參數(shù)的選取.

3 最優(yōu)反饋控制器加權(quán)系數(shù)影響分析

分析最優(yōu)反饋控制器加權(quán)系數(shù)Q及R的選取對(duì)控制性能的影響，能使最優(yōu)反饋控制的設(shè)計(jì)更具針對(duì)性.

1）被控設(shè)備振動(dòng)加權(quán)系數(shù)Q對(duì)控制效果的影響 Q 定義為Q＝diag（［q1q2q3q4］），q1為被控設(shè)備振動(dòng)速度加權(quán)系數(shù)；q3為被控設(shè)備位移加權(quán)系數(shù)，圖2為R＝［1］并保持不變，q1，q3分別取1，10，100，1 000時(shí)，被控設(shè)備振動(dòng)速度和振動(dòng)位移控制情況.

可得到如下結(jié)論：與減小控制輸出加權(quán)系數(shù)相對(duì)應(yīng)，增大被控設(shè)備振動(dòng)加權(quán)系數(shù)，能夠提高相應(yīng)的控制效果以及有效控制帶寬，尤其針對(duì)被控設(shè)備振動(dòng)速度的控制，適當(dāng)提高q1能夠在更寬的頻帶內(nèi)取得更好的控制效果.

這說(shuō)明，減小控制輸出加權(quán)系數(shù)與增大被控設(shè)備加權(quán)系數(shù)可以取得相同的控制效果，兩者是此消彼長(zhǎng)的關(guān)系.

圖2 被控設(shè)備加權(quán)系數(shù)對(duì)控制效果的影響

同時(shí)這里沒(méi)有對(duì)q2，q4對(duì)控制效果的影響進(jìn)行討論，這2個(gè)參數(shù)主要用于控制主動(dòng)吸振器本身質(zhì)量的振動(dòng)響應(yīng)，如果增大q2，q4也相當(dāng)于減小q1、q3，在抑制主動(dòng)吸振器本身質(zhì)量運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，會(huì)降低振動(dòng)主動(dòng)控制效果.

2）R對(duì)控制效果的影響 控制輸出加權(quán)系數(shù)R代表對(duì)控制輸出力的重視程度，在另一方面也表現(xiàn)為對(duì)能耗大小的重視程度.改變R的大小，最優(yōu)反饋控制系統(tǒng)控制效果會(huì)發(fā)生一定的變化，見(jiàn)圖3.

可以得到以下結(jié)論.

（1）減小控制輸出增益系數(shù)R，不僅可以提高主動(dòng)控制效果，而且能增加主動(dòng)控制頻率帶寬；

（2）在對(duì)設(shè)備振動(dòng)速度控制時(shí)，減小控制輸出增益R，共振峰值有往低頻移動(dòng)的趨勢(shì)，可以提高對(duì)高頻的控制效果，使控制有效帶寬向更高頻帶偏移，利用此特性，可以在某些需要重點(diǎn)控制高頻振動(dòng)的場(chǎng)合得到實(shí)際應(yīng)用；

（3）在對(duì)設(shè)備振動(dòng)位移進(jìn)行控制時(shí)，減小控制輸出增益R，在提高控制效果的同時(shí)，擴(kuò)寬了有效控制頻率帶寬.

3）不同加權(quán)系數(shù)對(duì)控制收斂特性的影響這里將分別研究固定Q值改變R值及固定R值改變Q值時(shí)，系統(tǒng)對(duì)外界沖擊激勵(lì)下的控制收斂特性曲線.圖4a），b）為R不變情況下，改變q1，q3時(shí)被控設(shè)備振動(dòng)速度和振動(dòng)位移收斂情況.圖4c），d）為R不變情況下，僅改變Q時(shí)被控設(shè)備振動(dòng)速度和振動(dòng)位移收斂情況.

不難看出，增大被控設(shè)備振動(dòng)控制相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)，將提高收斂速度，并且，在同樣的參數(shù)情況下，相比振動(dòng)速度的控制，對(duì)振動(dòng)位移控制能取得更快的收斂速度.但針對(duì)設(shè)備位移進(jìn)行控制時(shí)，初期響應(yīng)抑制效果較好，這在控制隨機(jī)激勵(lì)引起結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)比較有用.

圖3 控制輸出加權(quán)系數(shù)對(duì)控制效果的影響

圖4 不同加權(quán)系數(shù)對(duì)控制收斂特性的影響

4 最優(yōu)反饋控制仿真分析

針對(duì)圖1的模型，設(shè)計(jì)最優(yōu)控制算法，性能指標(biāo)函數(shù)可以表述為：

最優(yōu)控制的目標(biāo)可以總結(jié)為如下形式.

在假設(shè)主動(dòng)吸振器傳遞函數(shù)為1的前提下，根據(jù)分離定理，最優(yōu)控制律可表示為

首先按照最優(yōu)控制理論確定性控制問(wèn)題，可以得到反饋增益矩陣K為

式中：P可以通過(guò)求解以下控制器的Riccati代數(shù)方程得到

可得到主動(dòng)吸振系統(tǒng)最優(yōu)反饋控制狀態(tài)方程：

對(duì)式（31）兩邊進(jìn)行拉氏變換，則被控設(shè)備外界擾動(dòng)情況下，外界擾動(dòng)力與設(shè)備向基礎(chǔ)傳遞的作用力傳遞函數(shù)可以表示為：

Hfy＝ （C－DK）［sI－ （A－B2K）－1］B1（32）

最優(yōu)反饋控制仿真參數(shù)設(shè)置如表1.

表1 梁主動(dòng)吸振系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

對(duì)加權(quán)系數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化選取，其中Q＝1，R＝0.001.可得最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣.

如圖5所示，為最優(yōu)反饋控制輸入輸出閉環(huán)傳遞函數(shù)，可以看到最優(yōu)控制有效控制頻帶為［1.39rad／s 1 110rad／s］，在該頻率范圍內(nèi)，控制性能穩(wěn)定，振動(dòng)消減幅值最高達(dá)38dB.設(shè)外界激勵(lì)為多頻激勵(lì)，頻率分別為30，68，100，150 Hz，幅值為10N，即

圖5 最優(yōu)反饋控制輸入輸出傳遞函數(shù)

根據(jù)上述結(jié)果，編寫了MATLAB與SIMULINK仿真程序，仿真結(jié)果見(jiàn)圖6～7.

圖6為最優(yōu)反饋控制系統(tǒng)開(kāi)啟前后，被控設(shè)備向柔性基礎(chǔ)傳遞的作用力時(shí)域歷程圖.未進(jìn)行控制時(shí)，被控設(shè)備向柔性基礎(chǔ)傳遞的力幅值在1 N，最優(yōu)反饋控制開(kāi)啟后，力幅值下降到0.08N.

圖6 控制前后被控設(shè)備向柔性基礎(chǔ)傳遞的作用力

圖7 分別顯示了有無(wú)最優(yōu)反饋控制時(shí)，被控設(shè)備向柔性傳遞的作用力頻域圖.為了更直觀表現(xiàn)基于柔性梁的系統(tǒng)頻率振動(dòng)特性，頻譜圖縱坐標(biāo)采用分貝形式表示，參考值為1N，即0dB代表該頻率處力幅值為1N.可以看出通過(guò)最優(yōu)反饋控制，30Hz頻率處線譜降低約32dB，68Hz處線譜降低約15dB，100Hz處線譜降低10dB，150Hz降低約3dB.可見(jiàn)最優(yōu)反饋控制控制效果隨著頻率升高，控制效果逐漸下降.可以看出，本節(jié)所設(shè)計(jì)的最優(yōu)反饋控制算法，可以有效降低外界激勵(lì)線譜，在整個(gè)有效控制頻帶內(nèi)可實(shí)現(xiàn)寬頻振動(dòng)控制.

圖7 控制前后被控設(shè)備向基礎(chǔ)傳遞的作用力

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以簡(jiǎn)支梁為基礎(chǔ)研究了主動(dòng)吸振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，詳細(xì)推導(dǎo)了以簡(jiǎn)支梁代替柔性基礎(chǔ)的主動(dòng)吸振系統(tǒng)振動(dòng)方程，具體分析了最優(yōu)控制參數(shù)中控制輸入加權(quán)系數(shù)與被控設(shè)備振動(dòng)加權(quán)系數(shù)對(duì)控制效果的影響，以指導(dǎo)最優(yōu)控制算法的設(shè)計(jì).仿真結(jié)果表明：最優(yōu)反饋控制系統(tǒng)在一定頻譜范圍內(nèi)具有較好的控制效果.

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