基于折射定律對透鏡成像的理論計(jì)算及近似處理

趙清鋒

(武漢市卓刀泉中學(xué)建和分校，湖北 武漢 430065)

透鏡成像是幾何光學(xué)的重要內(nèi)容，在照相機(jī)、投影儀、顯微鏡、望遠(yuǎn)鏡等相關(guān)光學(xué)系統(tǒng)的研究中也是基礎(chǔ)，在《光學(xué)》教材中通常結(jié)合費(fèi)馬原理對透鏡成像關(guān)系進(jìn)行計(jì)算給出對應(yīng)公式的高斯形式.[1-3]這種理想模型只能初略地分析簡單的光學(xué)系統(tǒng)和確定成像的大致位置，對于生活中的光學(xué)系統(tǒng)需要準(zhǔn)確的計(jì)算并加以修改設(shè)計(jì)從而達(dá)到更好的應(yīng)用價值.在相關(guān)幾何光學(xué)書籍中多以單個折射面進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算.[4,5]基于折射定律，首先對透鏡成像中二維模型進(jìn)行理論計(jì)算，得出了準(zhǔn)確的物像關(guān)系公式，并與近似計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，同時作圖分析了球面透鏡像差的特點(diǎn)；然后根據(jù)準(zhǔn)確物像關(guān)系，在忽略微小量的近似處理?xiàng)l件下得到透鏡物像關(guān)系近似公式，比高斯形式要簡單，而且適用于任意介質(zhì)；在薄透鏡中認(rèn)為hA=hB，給出近軸條件下薄透鏡的物像關(guān)系公式，與薄透鏡的高斯公式完全一致.

1 透鏡物像關(guān)系公式的準(zhǔn)確形式

透鏡的兩個曲率半徑分別為r1和r2的折射球面組成，透鏡的厚度為d，透鏡左側(cè)和右側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n1、n2，透鏡的折射率為n.若在主軸上有一點(diǎn)光源P，發(fā)出的一條光線PA經(jīng)透鏡折射后，交于主軸P′點(diǎn)，與透鏡左側(cè)右側(cè)的交點(diǎn)分別為A和B，初始條件已知θ2(或hA)、θ(或者-l1)，其余對應(yīng)符號如圖1所示.

圖1 透鏡成像的幾何關(guān)系

由以上條件根據(jù)幾何關(guān)系可得

(1)

上式根據(jù)和差化積化簡約分并利用幾何關(guān)系α+γ=θ1+θ2，可得

sinγ=sin(θ1+θ2-α)=

(2)

像所在的位置

(3)

同理可得物所在的位置

(4)

聯(lián)立(3)、(4)兩式即可到準(zhǔn)確的物像關(guān)系公式如下

(5)

此式給出的單個透鏡的準(zhǔn)確物像關(guān)系，而一般書籍中給出的均由單個折射面對成像系統(tǒng)分析，[4，5]借助數(shù)值模擬作圖在分析幾何相差直觀形像，以《光學(xué)教程》第199頁關(guān)于厚透鏡像所在位置的例題為例，[1]根據(jù)(5)式得到的像方截距與高斯公式得到像方截距如圖2所示.

圖2 像方截距l(xiāng)2隨入射高度h的奕化關(guān)系

其中r1=60 mm，r2=40 mm，d=20 mm，l1=80 mm，n1=n2=1.5，n=1.曲線(a)為本文關(guān)系式(5)所得像方截距l(xiāng)2隨入射光線離軸距離h的變化關(guān)系，在離軸距離為-5 mm～5 mm之間，像方截距在116 mm～122 mm之間，并不在確定的某一點(diǎn)；直線(b)為高斯物像關(guān)系公式所得結(jié)果為120 mm.從圖2中可以看出本文計(jì)算結(jié)果存在球差，離軸越近與書本理論計(jì)算結(jié)果越接近，離開透鏡后的光線如圖3所示.

圖3

從圖3可以看出光線經(jīng)過透鏡后會聚于某一點(diǎn)附近，在粗略分析透鏡成像問題可用(5)式數(shù)值計(jì)算；但將橫坐標(biāo)縮小到116 mm～122 mm之間光線并不完全會聚一點(diǎn)(如圖4)，根據(jù)彌散斑的概念應(yīng)取118 mm，這對初學(xué)光學(xué)設(shè)計(jì)的學(xué)生可以進(jìn)行數(shù)值分析直觀有效.

圖4

2 近軸條件下透鏡物像關(guān)系的近似處理

在近軸條件下的薄透鏡可以認(rèn)為sinx≈x；xA、xB?-l1、l2、-r2、r1；-l1θ≈r1θ2≈hA；-r2θ1≈hB，利用以上近似處理(5)式化簡為

l2·(φ-θ1)=hB.

(6)

(7)

將-l1θ≈r1θ2≈hA，-r2θ1≈hB代入上式化簡可得

(8)

由幾何關(guān)系近似可得

(9)

(10)

將(10)式代入(8)式即可得到近軸條件下的透鏡物像關(guān)系

(11)

(11)式所描述的透鏡物像關(guān)系公式對薄透鏡和厚透鏡均能使用，對于薄透鏡計(jì)算結(jié)果更精確，而且適用于任意介質(zhì).當(dāng)n1=n2=1時，上式可簡化為空氣中厚透鏡物像關(guān)系公式，經(jīng)過一定的轉(zhuǎn)換，可以得到與厚透鏡物像關(guān)系高斯公式的原始形式一致，[1]但本文中所提出的公式明顯更簡潔適用，而且對任意介質(zhì)均能使用.

若為薄透鏡，可以認(rèn)為hA=hB，則(8)式可以化簡為近軸條件薄透鏡物像關(guān)系公式，與高斯公式一致.

(12)

在相關(guān)文獻(xiàn)和書籍中，薄透鏡的物像關(guān)系多以費(fèi)馬原理推導(dǎo).[2，3]本文借助折射定律中幾何關(guān)系推導(dǎo)結(jié)果與費(fèi)馬原理推導(dǎo)的結(jié)果一致，可為初學(xué)者提供更多的思路.