李志軍，張 偉

(福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350108)

軸向運(yùn)動(dòng)弦線橫向振動(dòng)狀態(tài)反饋的H∞控制

李志軍，張 偉

(福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350108)

首先運(yùn)用魯棒控制理論中狀態(tài)反饋的H∞控制，對(duì)輪帶系統(tǒng)作動(dòng)器的角位移和角速度進(jìn)行調(diào)控，實(shí)現(xiàn)了對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)的位移和角速度的控制。然后運(yùn)用MATLAB進(jìn)行仿真，對(duì)該控制方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，該方法解決了軸向運(yùn)動(dòng)弦線橫向振動(dòng)系統(tǒng)的不確定系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)難題，保證了控制器的有效性、可靠性和實(shí)用性。

輪帶系統(tǒng)；軸向運(yùn)動(dòng)皮帶；H∞控制；狀態(tài)反饋；橫向振動(dòng)；數(shù)值仿真

輪帶系統(tǒng)在工業(yè)中有著廣泛的運(yùn)用，對(duì)其進(jìn)行振動(dòng)分析與控制也愈發(fā)成為必不可少的環(huán)節(jié)。典型的輪帶系統(tǒng)中包含一個(gè)作動(dòng)器(由張緊輪和張緊臂組成)，由于皮帶的抗彎剛度極小，所以其模型可以簡(jiǎn)化為軸向運(yùn)動(dòng)弦線模型。輪帶系統(tǒng)中，皮帶的橫向振動(dòng)與作動(dòng)器的振動(dòng)是相耦合的。20世紀(jì)90年代后期，振動(dòng)耦合的研究取得了很多重要的成果。Beikmann 等[1]證明了輪帶系統(tǒng)的固有頻率與速度和張緊力有關(guān)。張偉等[2-5]運(yùn)用行波消去法、Lyapunov法、自適應(yīng)法及能量法等對(duì)作動(dòng)器振動(dòng)相耦合的弦線橫向振動(dòng)做了進(jìn)一步研究和控制。但是以上研究都忽略了作動(dòng)器由于運(yùn)動(dòng)等其他因素造成其模型含有的參數(shù)具有不確定性，從而影響了控制方法的穩(wěn)定性和可靠性。為了改善控制系統(tǒng)的魯棒性，本文在魯棒的二次鎮(zhèn)定控制基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋的H∞控制。

1 輪帶系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

圖1所示是由Beikmann[1]等人提出的模型發(fā)展而來的輪帶驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。由于皮帶的橫向振動(dòng)與作動(dòng)器的振動(dòng)相耦合，所以皮帶橫向振動(dòng)的控制可以從分析作動(dòng)器的振動(dòng)和作動(dòng)器的控制著手。該輪帶驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的主要部件包括主動(dòng)輪、從動(dòng)輪、張緊輪和皮帶。為了簡(jiǎn)化模型，本文做如下假定：(1)沒有阻尼；(2)皮帶的抗彎剛度不計(jì)；(3)皮帶的軸向運(yùn)動(dòng)速度為一常速v；(4)皮帶不打滑。

皮帶的線性運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

(2)

邊界條件為：

式中：Wi是相對(duì)于i段平衡位置的橫向位移；ρ是皮帶的單位長度質(zhì)量；Pi是i段所受的張力；cv是阻尼系數(shù)；s4(t)是張緊臂的弧線位移；φ1和φ2是張緊臂在平衡位置時(shí)與相鄰皮帶的夾角；li是i段的長度；v是皮帶軸向運(yùn)動(dòng)速度。

假設(shè)皮帶兩端初始張力相等，即P1=P2=P。

假設(shè)輪作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)[6]，則有如下形式解：

式中：ω是輪帶系統(tǒng)的振動(dòng)固有頻率。如忽略主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的影響，s1=s3=0。

由邊界條件可知

可得作動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)方程為

用分離變量法可將弦線的振動(dòng)[7]寫為：

將式(8)代入式(1)和式(2)整理后可得如下微分方程[8]

(9)

解二階復(fù)系數(shù)齊次線性微分方程[7]，可得弦線的橫向振動(dòng)位移：

Wj(x,t)=(βeλ1x+κeλ2x)eiωt

(j=1,2)

(10)

由邊界條件(5)、(6)和式(10)可得輪帶系統(tǒng)的橫向振動(dòng)的位移為：

(11)聯(lián)立邊界條件(5)、(6)和式(11)代入式(7)整理可得：

其中

2 控制律的設(shè)計(jì)

通過上面的推導(dǎo)可得弦線的橫向振動(dòng)方程(11)和作動(dòng)器的方程(12)，由此可知輪帶系統(tǒng)的弦線橫向振動(dòng)和作動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，即弦線橫向振動(dòng)與作動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)相互耦合。由于系統(tǒng)處于動(dòng)態(tài)中，在實(shí)際運(yùn)動(dòng)過程中張緊臂的運(yùn)動(dòng)方程中張緊臂在平衡位置時(shí)與相鄰皮帶的夾角φ1,φ2是以初始時(shí)刻張緊臂在平衡位置時(shí)與相鄰皮帶夾角φ10,φ20附近擾動(dòng)的，頻率ω也會(huì)有擾動(dòng)，建模時(shí)為了簡(jiǎn)化模型，運(yùn)動(dòng)方程常用初始定值代替動(dòng)態(tài)中的各值，以至于作動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)方程具有參數(shù)不確定性。

(13)

其中

它的系數(shù)矩陣A(r(t))具有不確定性，即

A(r(t))=A+DΔE

‖Δ‖≤r

不確定性Δ是復(fù)數(shù)矩陣，它的最大值是r。r最大值由A,D和E唯一確定。其中

(14)

對(duì)系統(tǒng)加以控制律，系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

(15)

采用線性時(shí)不變反饋控制

U=KX

(16)

此時(shí)，穩(wěn)定半徑可定義為[9]

(17)

很顯然，通過求解相應(yīng)的H∞控制問題，就可以得到使穩(wěn)定半徑rc最大的狀態(tài)反饋增益矩陣K。取D，E，B時(shí)為保證系統(tǒng)可鎮(zhèn)定，可選取Lyapunov函數(shù)V(X)=XTQX，其中常數(shù)矩陣Q>0。函數(shù)V(X)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不依賴于r(t)的值。

(18)

成立時(shí)，系統(tǒng)可二次鎮(zhèn)定，其中常數(shù)α>0，即(A，B)可鎮(zhèn)定。

如圖2所示，引入外部輸入w和控制輸出z，系統(tǒng)可等價(jià)為如下G(s)狀態(tài)空間。

z=EX

w=Δz

y=X

y實(shí)際就是要控制的輸出量，當(dāng)y隨時(shí)間t增大而趨于零時(shí)，輪帶的橫向振動(dòng)就趨于零，即得到有效控制。這時(shí)由w到z的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為[10]

Tzw(s)=E(sI-A-BK)-1D

(19)

使A+BK穩(wěn)定，而且滿足‖Tzw‖∞<γ的狀態(tài)反饋增益矩陣K，其存在的充分與必要條件是：對(duì)于一個(gè)充分小的數(shù)ε，黎卡提方程

ATQ+QA+γ-2QDDTQ-ε-1QBBTQ+ETE+εI=0

(20)

存在正定解Q。狀態(tài)反饋增益矩陣

(21)

使A+BK穩(wěn)定，且‖Tzw‖∞<γ。

3 數(shù)值仿真

由式(14)可得

取ε=1，γ=0.9,由式(20)可得控制律

圖3和圖4給出了在x=1m處系統(tǒng)在未受控和受控時(shí)，弦線的橫向振動(dòng)位移和張緊臂的角位移。張緊臂的角位移和弦線橫向振動(dòng)位移在1s內(nèi)都減小到零，弦線的橫向振動(dòng)得到了很好的控制。數(shù)值仿真結(jié)果表明，二次鎮(zhèn)定控制是有效的。本文提出控制的狀態(tài)變量只包含張緊臂的角速度和角位移，可通過在張緊臂上安裝傳感器獲得。

4 結(jié)束語

本文基于一種合理的不確定性描述，提出的不確定性系統(tǒng)控制器魯棒可靠性設(shè)計(jì)方法，能適用于不確定參數(shù)已知和未知的情況，且提高了傳統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的可靠性。在仿真中，皮帶的橫向振動(dòng)位移在1s內(nèi)迅速減小到零，說明該控制方法是實(shí)用、有效和可行的。由于條件限制，文章數(shù)值仿真沒有實(shí)驗(yàn)支撐，因而文章更傾向于理論研究，后續(xù)工作將盡可能和企業(yè)聯(lián)合做一些實(shí)驗(yàn)，以進(jìn)一步完善軸向運(yùn)動(dòng)弦線橫向振動(dòng)的分析和控制。

[1]BeikmannRS，PerkinsNC．Freevibrationofserpentinebeltdrivesystems[J]．JournalofVibrationandAcoustics，1996，118(3)：406.

[2] 張偉，陳立群．軸向運(yùn)動(dòng)弦線橫向振動(dòng)控制的Lyapunov方法[J]．控制理論與運(yùn)用，2006，23(4): 532-535．

[3] 張偉，陳立群．軸向運(yùn)動(dòng)弦線橫向振動(dòng)的自適應(yīng)方法[J]．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42(4):96-100．

[4] 張偉，陳立群．軸向運(yùn)動(dòng)弦線橫向振動(dòng)控制：能量方法[J]．機(jī)械強(qiáng)度，2006，28(2):201-204．

[5] 張偉，陳立群．軸向運(yùn)動(dòng)弦線橫向振動(dòng)控制的線性反饋控制[J]．應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23(2):242-245．

[6] 李曉軍，陳立群．平帶驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)耦合振動(dòng)模態(tài)分析[J]．AppliedMathematicsandMechanics，2008，29(1)：8-14.

[7] 湯光榮，甘欣榮．復(fù)系數(shù)復(fù)數(shù)方程的求根及復(fù)數(shù)常微分方程的通解[J]．江漢大學(xué)學(xué)報(bào)，1996，13(3)：71-76.

[8] 余小剛，張偉．軸向運(yùn)動(dòng)弦線橫向振動(dòng)的變結(jié)構(gòu)控制[J]．福州大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，40(2)：217-221.

[9] 吳敏，何勇，余錦華．魯棒控制理論[M]．北京：高等教育出版社，2010.

[10] 解學(xué)書，鐘宜書． 控制理論[M]．北京：清華大學(xué)出版社，1994.

Transverse vibration control of an axially moving string system based on the state feedback control

LI Zhijun, ZHANG Wei

(Fuzhou University, Fujian Fuzhou, 350108, China)

Based on the robust control theory, it introduces the transverse vibration control of axial displacement and angular velocity, develops the state feedback control system for the angular displacement and angular velocity of the tensioner arm. Based on numerical simulation of the Matlab, it verifies the efficiency of the control method. This obtains the transverse vibration of axis moving string, provides uncertain systems robust stabilization controller design, ensures the validity and reliability the controller.

belt drive system; axially moving string; control; state feedback; transverse vibration; numerical simulation

10.3969/j.issn.2095-509X.2015.01.014

2014-12-22

李志軍(1989—)，男，安徽安慶人，福州大學(xué)碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械振動(dòng)與控制。

O321

A

2095-509X(2015)01-0057-05