基于CHAMP衛(wèi)星與三維Taylor多項式模型的區(qū)域地磁建模研究

蔣勇， 姜乙， 馮彥*，劉寶嘉， 傅帥，常德， 張鵬飛， 江濤

1 南京信息工程大學(xué)空間天氣研究所， 南京 210044 2 中國科學(xué)院空間天氣學(xué)國家重點實驗室, 北京 100190

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基于CHAMP衛(wèi)星與三維Taylor多項式模型的區(qū)域地磁建模研究

蔣勇1，2， 姜乙1， 馮彥1，2*，劉寶嘉1， 傅帥1，常德1， 張鵬飛1， 江濤1

1 南京信息工程大學(xué)空間天氣研究所， 南京 210044 2 中國科學(xué)院空間天氣學(xué)國家重點實驗室, 北京 100190

利用CHAMP衛(wèi)星矢量和標(biāo)量地磁測量數(shù)據(jù)，通過三維Taylor多項式模型建立了2010.0年中國及鄰近地區(qū)在300 km高度附近的X、Y、Z和F分量的三維磁場模型.為了比較驗證所建模型，分析了其與Taylor多項式模型(二維模型)不同截斷階數(shù)所對應(yīng)的均方偏差(RMSE)、殘差及分布等.結(jié)果表明，三維模型每一階的RMSE和殘差絕對值的平均值均要比二維模型的小約45%.由于采用了系數(shù)完全展開的建模方式，三維模型的系數(shù)數(shù)量約為二維模型的2倍，三維模型較低的截斷階數(shù)可以反映更多的地磁信息.本研究中的5階三維Taylor模型基本可達(dá)到8階Taylor模型的精度.兩種模型繪制的地磁場及殘差分布有較好的一致性.

地磁模型； 三維Taylor多項式模型； CHAMP衛(wèi)星； 均方偏差

1 引言

區(qū)域地磁場模型用以反映某個區(qū)域的地磁場的時空分布特征.相比于全球地磁場模型(Hurwitzd et al.，1966；IAGA，2003，2005，2010；馮彥等，2014a)，結(jié)合高密度的地面實測數(shù)據(jù)，區(qū)域模型能更精確地反映區(qū)域內(nèi)的地磁場分布，如地磁場在特定區(qū)域內(nèi)所呈現(xiàn)的一些變化規(guī)律和異常分布.

常用的區(qū)域地磁場模型包括Taylor多項式模型、曲面Spline模型(安振昌和徐元芳，1981；安振昌等，1982)、矩諧模型(Alldredge，1981)、Legendre模型、自然正交分量(NOC)模型、球冠諧模型(Haines，1985)等.國內(nèi)外學(xué)者已利用這些區(qū)域模型做了很多研究.如，Alldredge(1982)利用矩諧模型研究美國東南部區(qū)域磁場.Haines(1985)利用球冠諧模型分析了加拿大區(qū)域1960—1983年的磁場變化.Düzgit等(1997)利用矩諧分析研究了歐洲區(qū)域的地磁場.Thébault等(2004，2006)(Thébault and Gaya-Piqué，2008)將原有的球冠諧模型進(jìn)行了改進(jìn)，并利用改進(jìn)后的模型研究了法國地區(qū)的地磁場(Thébault，2008).國內(nèi)學(xué)者主要針對中國地區(qū)開展了一些研究.徐文耀和朱崗昆(1984)利用矩諧分析研究了我國及鄰近地區(qū)的地磁場.高金田等(2006)運用曲面Spline模型研究了1900-1936年中國區(qū)域地磁場以及其長期變化的分布.陳斌等(2011)運用球冠諧模型計算2005年中國地區(qū)地磁場及其長期變化.

相比于其他的區(qū)域模型，Taylor多項式模型由于其計算簡單及使用方便，得到了廣泛的應(yīng)用.如安振昌等(1991a)利用Taylor多項式模型建立了1950—1980年中國地區(qū)主磁場模型.徐元芳等(1992)運用Taylor多項式模型計算了1950—1985年中國地區(qū)地磁場長期變化模型.高金田等(2005)利用2003年中國地區(qū)的地磁臺站數(shù)據(jù)建立Taylor多項式模型對中國地區(qū)的地磁場進(jìn)行了研究.馮彥等(2010c)利用2000年中國地磁臺站和復(fù)測點數(shù)據(jù)，根據(jù)Taylor多項式模型計算了2000年中國地區(qū)地磁場.

盡管存在上述優(yōu)點，但Taylor模型是二維模型，建模時只考慮了經(jīng)度與緯度，而忽略了高度因素.地磁場的強(qiáng)度隨著高度變化而變化，一般以20 nT/km的速率減少(安振昌等，1991b)，因此二維模型所計算的地磁場強(qiáng)度會存一定的誤差.針對此問題，柳士俊等(2011)提出了三維Taylor多項式模型，考慮了高度的因素，為區(qū)域模型的研究提供了一種新的方法.

在以往的研究中，建立和計算區(qū)域地磁場模型所采用的數(shù)據(jù)大多來自于地磁復(fù)測點、臺站數(shù)據(jù)或者利用其他模型所模擬的數(shù)據(jù).由于地磁復(fù)測點和臺站數(shù)量有限，且空間分布很不均勻，這將直接影響所建模型的精度.另外由于缺少國界外測點，使得在邊界區(qū)域上的模擬會出現(xiàn)異常，即邊界效應(yīng).一般解決邊界效應(yīng)的方法有添加邊界外區(qū)域的補(bǔ)充點和擴(kuò)大擬合區(qū)范圍兩種(楊云濤等，2009).補(bǔ)充點的數(shù)據(jù)通常來自于其他模型，如國際地磁參考場(IGRF).這種數(shù)據(jù)本身就存在一定的誤差，因此會進(jìn)一步影響所建立模型的精度.擴(kuò)大擬合區(qū)范圍后，雖然在擬合區(qū)中心的高精度范圍擴(kuò)大，但擬合區(qū)的邊界異常仍沒得到解決.

對于CHAMP衛(wèi)星的磁測數(shù)據(jù)，國內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究工作.如Sabaka等(2004)利用CHAMP等衛(wèi)星數(shù)據(jù)建立了第四代地磁場模型綜合模型——CM4.Olsen等(2006)利用CHAMP等衛(wèi)星數(shù)據(jù)建立了CHAOS模型系列.Maus等(2007)利用CHAMP衛(wèi)星數(shù)據(jù)建立了巖石圈磁場模型(MF)系列.康國發(fā)等(2009，2010)基于CHAMP衛(wèi)星數(shù)據(jù)建立的POMME-4.2S模型研究了中國及鄰近地區(qū)的長期變化、長期加速度以及磁異常的分布特征.然而，將CHAMP衛(wèi)星磁測數(shù)據(jù)進(jìn)行中國大陸地區(qū)的地磁場研究至今還鮮有報道.

針對目前研究現(xiàn)狀，認(rèn)為基于CHAMP衛(wèi)星所提供的高精度、高密度的全球地磁標(biāo)量數(shù)據(jù)和矢量觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行中國及鄰近地區(qū)的地磁場三維建模對于研究中國，乃至東亞地區(qū)的高精度地磁場形態(tài)分布具有重要的理論和應(yīng)用價值.現(xiàn)擬首先對CHAMP衛(wèi)星數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理及網(wǎng)格化，得到中國地區(qū)衛(wèi)星地磁網(wǎng)格數(shù)據(jù)，然后基于不同位置和高度的衛(wèi)星數(shù)據(jù)建立中國及鄰近地區(qū)的三維Taylor多項式模型(三維模型)，分析了4個地磁要素(X、Y、Z、F)的分布特點，研究了截斷階數(shù)對模型精度的影響，并在擬合值、殘差分布，截斷階數(shù)與RMSE值等方面與常用的Taylor多項式模型(二維模型)進(jìn)行比較分析.

2 數(shù)據(jù)與方法

2.1 數(shù)據(jù)

地磁場為一向量場，地球空間任意一點都包含7個地磁場要素，分別為地磁場總強(qiáng)度F，北向分量X，東向分量Y，垂直分量Z，水平強(qiáng)度H，磁偏角D和磁傾角I.CHAMP衛(wèi)星提供了2001—2010年的地磁標(biāo)量數(shù)據(jù)(F)和矢量數(shù)據(jù)(X、Y、Z)，所有數(shù)據(jù)由德國地球科學(xué)研究中心(GFZ)網(wǎng)站(http:∥www.gfz-potsdam.de/startseite/)提供.CHAMP衛(wèi)星于2000年7月15日從俄羅斯的Plesetst衛(wèi)星發(fā)射基地發(fā)射至近極軌、環(huán)形、高約454 km的軌道.衛(wèi)星搭載的Overhauser磁力計(OVM)測量標(biāo)量數(shù)據(jù)，磁通門磁力計(FGM)測量矢量數(shù)據(jù)(馮彥等，2010a).

由于所測量的矢量數(shù)據(jù)是在FGM參考坐標(biāo)系下獲取的，因此還需要將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換至NEC(北向、東向、垂直)坐標(biāo)系數(shù)據(jù)，具體轉(zhuǎn)換過程如下：

BNEC=R(NEC←ITRF)·R(ITRF←ICRF)·R(ICRF←ASC)

·R(ASC←FGM)·BFGM，

(1)

其中R(ASC←FGM)為將FGM傳感器參考系數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換至衛(wèi)星光具座(ASC)參考系數(shù)據(jù)，雖然角度在發(fā)射前已經(jīng)確定，但在衛(wèi)星運行過程中會不斷變化，因此需要進(jìn)行校正；R(ICRF←ASC)為將基于level-2的衛(wèi)星姿態(tài)數(shù)據(jù)由ASC參考系數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到國際天球參考系(ICRF)數(shù)據(jù)；R(ITRF←ICRF)為將ICRF參考系數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到國際地球參考系(ITRF)數(shù)據(jù)；R(NEC←ITRF)為將ITRF參考系數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到NEC參考系數(shù)據(jù).

本文擬計算并分析2010.0年(2010年1月1日)的中國及鄰近區(qū)域地磁場分布，研究范圍為18°N—54°N,73°E—136°E.為了獲得均勻且高密度分布的衛(wèi)星數(shù)據(jù)，通過試驗，發(fā)現(xiàn)對于某一時間點前后60天內(nèi)的衛(wèi)星數(shù)據(jù)經(jīng)歸算后可獲取較為理想的測點分布，然而由于測點的分布并不均勻，考慮到每個測點在三維建模中的權(quán)重應(yīng)一致，因此對歸算后的所有數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格化處理.現(xiàn)選取2010.0年作為研究時間點，將該時間點前后60天內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸算，以經(jīng)緯度1°為間隔，在每個格點處取其上下左右1°內(nèi)所有衛(wèi)星數(shù)據(jù)的平均值進(jìn)行網(wǎng)格化.對剩余較少的缺測格點，則進(jìn)行分段線性插值.最后得到在中國及鄰近地區(qū)的衛(wèi)星網(wǎng)格值，共為2368個數(shù)據(jù)點.2010年為CHAMP衛(wèi)星觀測末期，衛(wèi)星軌道高度較初期有所下降，2010.0年所有CHAMP衛(wèi)星數(shù)據(jù)的高度約為302.59～312.84km.

圖1為背景網(wǎng)格數(shù)據(jù)的平面分布圖，每個數(shù)據(jù)格點都均勻分布.圖2為網(wǎng)格數(shù)據(jù)的三維分布，從低緯到高緯地區(qū)，數(shù)據(jù)點高度呈下降趨勢.現(xiàn)基于這些網(wǎng)格數(shù)據(jù)建立三維Taylor模型.

2.2 Taylor多項式模型

圖2 CHAMP衛(wèi)星磁場數(shù)據(jù)的三維分布Fig.2 Three-dimenson distribution of CHAMP satellite magnetic data

本研究基于二維Taylor多項式模型建立三維Taylor多項式模型.二維模型表達(dá)式如下：

(2)

上式中W表示任意磁場要素；N為截斷階數(shù)；φ,λ為各地磁測點的緯度和經(jīng)度；φ0,λ0為多項式的展開原點，φ0=36°N,λ0=104.5°E；Aij為相應(yīng)各分量的模型系數(shù)，每個模型有N(N+1)/2個系數(shù)，所有系數(shù)通過最小二乘法求取.

(2)式的系數(shù)為一下三角矩陣，該系數(shù)展開稱為經(jīng)典展開，而更為普遍的方法為進(jìn)行完整展開(方陣展開)，這樣做的優(yōu)點是可以較低的截斷階數(shù)反映出更多的地磁場信息，后文會有所闡述.現(xiàn)基于二維模型，通過添加高度項，并通過系數(shù)的完整展開而得到三維Taylor模型，其表達(dá)式如下：

(3)

上式中W表示任意磁場要素，N為截斷階數(shù)；φ,λ,h為各地磁測點的緯度、經(jīng)度和高度；φ0,λ0,h0為多項式的展開原點，φ0=36°N，λ0=104.5°E，h0=302.59～312.84 km；Aijk為模型系數(shù)，每個模型有N3個系數(shù)，所有系數(shù)通過最小二乘法求取.

3 結(jié)果

3.1 截斷階數(shù)的選取

Taylor多項式模型為基于數(shù)據(jù)點的擬合模型，截斷階數(shù)的選取非常重要.過低的截斷階數(shù)可能會導(dǎo)致區(qū)域地磁場短波長信息的丟失，從而使模型無法展示高精度區(qū)域地磁場的時空分布，而過高的截斷階數(shù)在增加計算量的同時，還會使結(jié)果出現(xiàn)局部畸變.

通常根據(jù)如下兩條依據(jù)以確定合適的截斷階數(shù)(安振昌，2001)：

(1)區(qū)域地磁場模型的均方偏差要小于IGRF的均方偏差；

(2)隨著截斷階數(shù)的增加，RMSE逐漸減小，當(dāng)RMSE趨于穩(wěn)定時，可確定截斷階數(shù).

RMSE通過下式計算得到：

(4)

其中，Wmod為任意地磁要素的模型值，Wobs為相同地點同一地磁要素的觀測值，n為觀測點數(shù)量.

現(xiàn)根據(jù)式(4)計算各階三維模型的RMSE值，結(jié)果見表1．

表1 三維Taylor多項式模型各截斷階數(shù)的RMSE(單位：nT)

根據(jù)表1，基于CHAMP衛(wèi)星數(shù)據(jù)的三維Taylor多項式模型的RMSE值在N≤5時，X、Y、Z、F分量的RMSE隨N的增大而迅速減小，平均下降幅度達(dá)到了65.18%，其中X分量由1階的5495 nT減小為5階的15.72 nT，Y分量從1階的1453 nT減少為5階的15.08 nT，Z分量從10332 nT減少為30.51 nT，F(xiàn)總量由4710 nT減小為17.53 nT；當(dāng)N>5時，三維模型的RMSE值大幅增加，X分量為10445 nT，Y分量為492 nT，Z分量為14520 nT，F(xiàn)總量為17917 nT.這是由于階數(shù)過高而導(dǎo)致的區(qū)域異?，F(xiàn)象，即“龍格現(xiàn)象”.

根據(jù)第一條選取依據(jù)，現(xiàn)基于最新發(fā)布的IGRF12計算了其與實測點數(shù)據(jù)的RMSE值(見表2).

表2 實測點與IGRF12的RMSE值(單位：nT)Table 2 The RMSE values between measuring points and IGRF12(units: nT)

根據(jù)表1和表2，當(dāng)2≤N≤5時，三維模型的RMSE值小于IGRF12的RMSE值，即滿足選取判據(jù)(1).綜上，三維模型的截斷階數(shù)選為5.

3.2 中國及鄰近地區(qū)的三維Taylor多項式模型的計算和分析

基于不同高度的CHAMP衛(wèi)星網(wǎng)格點，利用5階三維Taylor多項式模型計算2010.0年的中國及鄰近地區(qū)地磁場網(wǎng)格值.模型原點為研究區(qū)域的中心，即φ0=36°N，λ0=104.5°E.基于所得系數(shù)繪制的衛(wèi)星高度處X、Y、Z、F四個要素的三維分布見圖3．

根據(jù)圖3，X分量的強(qiáng)度隨著緯度的升高而逐漸減小，由34140.77 nT(18°N,59°E)左右減少為14823.98 nT(54°N,73°E)左右，等值線走向基本與緯度方向一致.Y分量的分布略為復(fù)雜，大致呈π型分布，強(qiáng)度自西向東逐漸減小，最大值為西北部(54°N,73°E)處的2449.25 nT左右，最小值在東北部(49°N,135°E)處的-3527.66 nT左右.Z分量的等值線走向基本與緯度方向一致，強(qiáng)度隨著緯度的升高而增大，由低緯度12349.70 nT(18°N,136°E)左右上升到高緯度49657.99 nT(54°N,99°E)左右.地磁場F總量的分布與Z分量類似，強(qiáng)度隨著緯度的升高而增大，最大值為51884.40 nT(54°N,104°E)左右，最小值為33647.11 nT(18°N,136°E)左右.由于采用的是衛(wèi)星網(wǎng)格數(shù)據(jù)，因此不存在邊界效應(yīng).

為了比較驗證所建模型，基于相同的CHAMP衛(wèi)星數(shù)據(jù)，對所有高度都取平均值，即h0=307.69 km.通過輸入每個測點在h0處的經(jīng)緯度及X、Y、Z和F總量的強(qiáng)度值，利用二維Taylor模型計算并繪制了中國及鄰近地區(qū)的地磁場分布(未列出).當(dāng)N≥5時，二維模型的RMSE值逐漸趨于平穩(wěn)，下降并不明顯.考慮到截斷階數(shù)越高，計算量越大，且兩種模型在相同階數(shù)時反映的信息量不同.通過RMSE值的比較，現(xiàn)認(rèn)為5階的三維Taylor模型與8階的二維Taylor模型都能達(dá)到滿意的模擬精度，其精度接近(后文有詳細(xì)闡述).比較發(fā)現(xiàn)兩種模型所得到的4要素地磁場無論在分布還是強(qiáng)度上均非常相似，故不再將二維模型的圖形列出.

圖3 基于5階三維Taylor多項式模型的中國及鄰近地區(qū)地磁分布(高度：302.59～312.84 km)；單位：nTFig.3 Geomagnetic distribution of China and its adjacent regions based on 3D Taylor polynomial model with degree 5(altitude: 302.59～312.84 km); units: nT

為了比較所建模型的擬合效果，現(xiàn)將部分測點的實測值及其8階二維模型和5階三維模型值進(jìn)行對比(見圖4).

根據(jù)圖4，兩種模型的擬合值與實測值非常接近，圖中兩條線基本重合，而Y分量則存在一些差異，從與實測值的接近程度及變化趨勢看，三維模型擬合值要略好于二維模型擬合值.通過比較，可以發(fā)現(xiàn)每個實測點的二維以及三維模型值與對應(yīng)實測數(shù)據(jù)的平均誤差為1%.

然而，二維模型是一種平面方法，所有數(shù)據(jù)點都要求在同一水平高度上.因此二維模型所使用的平均高度(307.69 km)與本文數(shù)據(jù)(302.59～312.84 km)相比就會存在±5 km左右的高度差，由此而產(chǎn)生的誤差是不可避免的，并且對于二維模型是無法計算這部分誤差的.而三維模型的結(jié)果不僅考慮了高度的因素而且能與實測值很好的擬合.因此總體而言，三維模型的擬合效果是令人滿意的.

為了進(jìn)一步地觀察兩模型的差異，現(xiàn)繪制了兩種模型相對于實測值的殘差分布圖(見圖5).

通過比較發(fā)現(xiàn)，兩種模型繪制的殘差網(wǎng)格圖無論在分布以及強(qiáng)度上都很接近.并在各分量的一些正負(fù)殘差分布位置都較為相似，如X分量在塔里木盆地的約30 nT的正殘差分布和內(nèi)蒙古中部的約-40 nT的負(fù)殘差分布、Y分量在中國地區(qū)東經(jīng)110°附近約-33 nT的負(fù)殘差分布、Z分量在廣西南部約-70 nT的負(fù)殘差分布以及F總場量在漠河一帶約40 nT的正殘差分布都很相似.

圖4 三維模型和二維模型的模擬值與實測值的比較；單位：nTFig.4 The comparison among observed values and their modelling values based on 3D and 2D model; units: nT

圖5 三維模型(左)和二維模型(右)的殘差分布圖；(a—d) X,Y,Z,F；(e—h) X,Y,Z,F；單位：nTFig.5 The residual distribution of 3D model (left) and 2D model (right); (a—d) X,Y,Z,F；(e—h) X,Y,Z,F; units: nT

圖6 三維模型和二維模型的殘差絕對值的平均值變化Fig.6 Mean values variation of absolute residual of elements X, Y, Z, F based on 3D and 2D model; units: nT

以上兩種分布的比較很難發(fā)現(xiàn)明顯的區(qū)別，為了更為直觀地觀察兩種模型的擬合效果，計算了兩模型相對于所有CHAMP衛(wèi)星網(wǎng)格數(shù)據(jù)的殘差.比較發(fā)現(xiàn)兩模型的殘差在變化幅度上相差不大，但對于X分量和F總量，三維模型要明顯優(yōu)于二維模型.三維模型的殘差整體要小于二維模型，如三維模型X分量的平均相對誤差為0.051%，要小于二維模型的0.054%，三維模型F總量的平均相對誤差為0.031%，要小于二維模型的0.043%，下降了0.012%.

為了進(jìn)一步說明兩種模型的差異，通過下式計算兩種模型N為1～10時的殘差絕對值的平均值變化，上式中Rm為所有點殘差絕對值的平均值，其他各變量的意義與(4)式相同.

(5)

圖6列出了兩模型在N為1～5時的殘差絕對值求平均的結(jié)果.根據(jù)圖6可知，隨著N的增加，三維模型的平均殘差的下降速度要略快于二維模型的，在N相同的情況下，三維模型的平均殘差要比二維模型平均小45.09%，這說明了相同階數(shù)三維模型的擬合精度要好于同階的二維模型.

下面對于兩模型的RMSE進(jìn)行分析.首先列出了二維模型在N為1～11時的RMSE變化(見表3).

表3 二維Taylor多項式模型各截斷階數(shù)的RMSE(單位：nT)Table 3 The RMSE of each truncation order of 2D Taylor polynomial model (units: nT)

根據(jù)表3，基于CHAMP衛(wèi)星數(shù)據(jù)的二維Taylor模型在截斷階數(shù)N<6時，X、Y、Z、F分量的RMSE隨N的增大而迅速減小，平均下降幅度達(dá)到了60.62%，其中X分量由1階的5495 nT減小為6階的17.85 nT，Y分量從1階的1453 nT減少為6階的15.43 nT，Z分量從10332 nT減少為32.10 nT，F(xiàn)總量由4710 nT減小為25.23 nT；當(dāng)N為6～10時，RMSE平均減少幅度為2.96%，逐漸趨于平穩(wěn)；當(dāng)N>10時，二維模型也出現(xiàn)了“龍格現(xiàn)象”，RMSE值大幅增加.

為了進(jìn)一步比較，繪制了兩模型當(dāng)N=1～11時的RMSE變化(見圖7).由圖7可知，當(dāng)N為1～5時，三維模型的RMSE值均小于二維模型，當(dāng)N=5時，三維模型中X分量和F總量的RMSE值都要遠(yuǎn)小于8階二維模型的X分量和F總量，而Z分量與7～10階的二維模型值非常接近，三維模型的5階Y分量則略大于8階的二維模型.綜合考慮磁場分布、殘差分布以及RMSE的比較，現(xiàn)認(rèn)為5階的三維Taylor模型與8階的二維Taylor模型具有相近的精度，且在X分量和F總量上三維模型的精度甚至更高.

通過比較發(fā)現(xiàn)，三維模型在N為1～5時RMSE值比對應(yīng)的二維模型平均要小45.8%，另外根據(jù)兩種模型的系數(shù)個數(shù)，認(rèn)為在基于CHAMP衛(wèi)星數(shù)據(jù)以模擬中國地區(qū)地磁場的情況下，較低階的三維模型可反映更多的地磁場信息，其精度相當(dāng)于高階的二維模型.

為了進(jìn)一步觀察兩模型，并考慮到存在的差異，列出了N=3時兩模型的系數(shù)，見表4，表5.

圖7 二維及三維Taylor多項式模型的RMSE隨截斷階數(shù)N的變化；單位：nTFig.7 The relationship between RMSE and N of elements X,Y,Z,F in 2D and 3D Taylor polynomial model; units: nT

表4 3階三維Taylor多項式模型系數(shù)Table 4 The coefficients of 3D Taylor polynomial model while N is 3

表5 3階二維Taylor多項式模型系數(shù)Table 5 The coefficients of 2D Taylor polynomial model while N is 3

由表4和表5可知，兩種模型在第一項系數(shù)上非常接近，而且在數(shù)值上比其他項系數(shù)大2到3個數(shù)量級，因此兩種模型在擬合結(jié)果以及分布都非常接近.相比于二維模型，三維模型的系數(shù)個數(shù)約為二維模型的4倍，地磁模型的系數(shù)能反映地磁場強(qiáng)度等信息，如IGRF模型中各階系數(shù)能反映偶極子場和各階非偶極子場的強(qiáng)度信息，當(dāng)N>13，認(rèn)為球諧模型的系數(shù)即反映了不同波長所對應(yīng)的巖石圈磁場的強(qiáng)度信息.Taylor多項式模型的各階系數(shù)從地球物理的角度而言，應(yīng)包含了區(qū)域地磁場不同尺度的強(qiáng)度信息，但由于其為區(qū)域模型，并不具備正交性，因此是很難從功率譜的角度定量地分析不同尺度的區(qū)域地磁場與不同階系數(shù)的關(guān)系，故三維模型具備更多系數(shù)的具體含義，也是以后工作中需要考慮的問題.

4 結(jié)論與討論

本文基于CHAMP衛(wèi)星的網(wǎng)格數(shù)據(jù)運用三維Taylor多項式模型計算并繪制了2010.0年中國及鄰近地區(qū)的地磁場分布，并通過對比，分析了兩種模型的殘差分布、截斷階數(shù)與RMSE等.結(jié)果顯示5階的三維Taylor模型與8階的二維Taylor模型具有相近的精度.通過比較兩種模型的擬合值、殘差分布，截斷階數(shù)與RMSE值等，顯示三維模型都要優(yōu)于同階的二維模型，并認(rèn)為較低階的三維模型可以得到與高階二維模型相近，甚至更好的擬合效果，并得出以下結(jié)論：

(1)相較于其他二維模型，如二維Taylor多項式模型、曲面Spline等，三維Taylor模型考慮了高度因素，在中國及鄰近地區(qū)，海拔高度為-4～8 km左右，而地磁場一般隨高度呈20 nT/km左右的速率衰減，因此三維Taylor模型相較于二維模型有了本質(zhì)的提高.本研究使用了高精度、高密度的CHAMP衛(wèi)星的標(biāo)量和矢量數(shù)據(jù)，基于此建立的中國地區(qū)三維模型，相較于IGRF11、甚至球冠諧模型，不僅計算方便，而且精度相當(dāng)甚至更高.

(3)本研究顯示了較低階數(shù)的三維模型，其RMSE與較高階數(shù)的二維模型接近，通過比較兩種模型不同截斷階數(shù)對應(yīng)的RMSE值、以及磁場和殘差分布，認(rèn)為三維模型每一階的RMSE和殘差絕對值的平均值均要比二維模型的小約45%.

通過計算還發(fā)現(xiàn)二維模型的邊界畸變很大，而三維模型的邊界效應(yīng)相對較小.原因在于，在完整展開的三維模型中，我們?nèi)〉慕財嚯A數(shù)為N不是很大，“龍格現(xiàn)象”尚未得以發(fā)展(柳士俊等，2011).

二維Taylor模型只考慮了經(jīng)度與緯度，忽略了高度的因素.因此二維模型由于本身的限制，所計算的地磁場強(qiáng)度會存在一定的誤差.針對上述缺點，結(jié)果顯示三維模型可以更準(zhǔn)確地描述地磁場的空間分布.之所以采用完整展開，是因為可在較少的截斷階數(shù)計算出更多的系數(shù)，從而提高效率.

由于缺乏2010.0年的地面實測數(shù)據(jù)，因此研究只展示了衛(wèi)星高度處的地磁場分布，今后若可獲取地面及海洋地區(qū)，甚至航磁數(shù)據(jù)，可嘗試從不同高度聯(lián)合建立三維Taylor多項式模型，該模型的空間適用范圍為地面至衛(wèi)星高度，因此適合進(jìn)行空間磁場的應(yīng)用研究.若結(jié)合T04(Tsyganenko and Sitnov，2005)、CM4等模型，可進(jìn)一步模擬區(qū)域外源場以及巖石圈磁場的形態(tài)分布(馮彥等，2010b；2014b).綜上所述，三維Taylor模型具有計算簡單、使用方便、且具有相當(dāng)?shù)哪M精度，適于進(jìn)行區(qū)域三維地磁場的研究.

致謝 感謝空間天氣學(xué)國家重點實驗室開放課題以及德國地球科學(xué)研究中心對本文提供的幫助.

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(本文編輯 胡素芳)

Regional geomagnetic modelling based on the magnetic data of CHAMP satellite and 3D Taylor polynomial

JIANG Yong1,2, JIANG Yi1, FENG Yan1,2*, LIU Bao-Jia1,FU Shuai1, CHANG De1, ZHANG Peng-Fei1, JIANG Tao1

1InstituteofSpaceWeather,NanjingUniversityofInformationScienceandTechnology,Nanjing210044，China2StateKeyLaboratoryofSpaceWeather,ChineseAcademyofSciences,Beijing100190,China

The inherent shortcoming of most regional models is the lack of altitude information. In order to overcome this, the objective of this study is to establish the three-dimensional (3D) model of elementX,Y,Z, andFover Chinese and its adjacent regions in 2010.0 at the height of about 300 km. Based on the vector and scalar geomagnetic measuring data of CHAMP satellite, associated with 3D Taylor polynomial method, we try to create the 3D model over China and calculate the spatial distribution of geomagnetic field region. 3D model not only has the advantages like simple calculation and convenient to use, but also takes into account the height. In addition, the selection of truncation level of 3D model was also discussed. In order to verify the constructed 3D model, a comparison between 3D and Taylor polynomial (2D) model was taken, we analyzed the Root-mean-square error (RMSE) and the residual distributions between 3D and 2D models in different truncation level.Results showed RMSE and the mean absolute residuals of each level of the 3D model are about 45% smaller than that of 2D model. The 3D model of degree 5 basically has the same precision as that of 2D model of degree 8 in this study. Geomagnetic distributions and residuals of 3D and 2D models have high consistency. After comparing with 2D model, the 3D model considers the altitude information, so the precision is really improved; the coefficients show that 3D model of low degree can reflect more information and has the similar precision when compared to 2D model of high degree.

Geomagnetic model; 3D Taylor polynomial; CHAMP satellite; Root-mean-square error

蔣勇， 姜乙， 馮彥等. 2015. 基于CHAMP衛(wèi)星與三維Taylor多項式模型的區(qū)域地磁建模研究.地球物理學(xué)報，58(9):3121-3132,

10.6038/cjg20150909.

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10.6038/cjg20150909

P318

2015-03-13，2015-07-30收修定稿

國家自然科學(xué)基金(41404053，41174165)，公益性行業(yè)(氣象)科研專項(GYHY201306073)，江蘇省高校自然科學(xué)研究基金(14KJB170012)以及大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目基金聯(lián)合資助.

蔣勇，主要從事數(shù)值模擬及空間天氣建模方面的研究.E-mail：jianguk@163.com

*通訊作者 馮彥，男，1980年生，博士，講師，研究方向：地磁場建模以及地磁場與空間天氣的關(guān)系.E-mail:frank_feng8848@163.com