一類三階時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性和有界性

徐 林，宋常修

(廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510520)

1 問(wèn)題的提出

時(shí)滯微分方程主要用來(lái)描述依賴當(dāng)前和過(guò)去歷史狀態(tài)的動(dòng)力系統(tǒng)，因此它在物理、信息、化學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)以及生物數(shù)學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.由于時(shí)滯微分方程在實(shí)際中應(yīng)用如此廣泛，所以對(duì)時(shí)滯微分方程的理論研究就顯得十分重要，也是非常有意義的.對(duì)時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性理論的研究的轉(zhuǎn)折點(diǎn)可以追溯到1892年，這一年俄國(guó)數(shù)學(xué)家Lyapunov發(fā)表了一篇名為《運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性的一般問(wèn)題》的論文，該論文給出了研究穩(wěn)定性的一種很有效的方法，稱為L(zhǎng)yapunov第二方法，它至今仍是研究時(shí)滯微分方程解的穩(wěn)定性的主要方法，Lyapunov直接法的關(guān)鍵是構(gòu)造Lyapunov泛函.至今已經(jīng)有很多學(xué)者在這方面有很好的研究成果，文獻(xiàn)［1-16］中有很多的介紹.

特別地，關(guān)于時(shí)滯微分方程解的穩(wěn)定性和有界性的研究現(xiàn)狀.

2003年，Sadek［16］研究了如下三階時(shí)滯微分方程

得到了當(dāng)p(t)=0時(shí)它的零解漸近穩(wěn)定的充分條件，及p(t)≠0時(shí)它的所有解有界的充分條件.

2006年，CemilTunc［10］研究了一類三階非線性時(shí)滯微分方程

的零解穩(wěn)定的充分條件.

2007年，姚洪興和孟偉業(yè)［4］討論了如下三階雙滯量時(shí)滯微分方程的全局漸近穩(wěn)定性

給出了其零解全局漸近穩(wěn)定的充分條件.

受文獻(xiàn)［5］的啟發(fā)，本文研究了一類三階時(shí)滯微分方程解的穩(wěn)定性和有界性，給出了其零解漸近穩(wěn)定和所有解有界的充分性條件.

本文研究三階時(shí)滯微分方程

零解的漸近穩(wěn)定性和所有解的有界性.其中，f(0)=h(0)=g(0，0)=φ(0)=0，0≤r(t)≤r，g(x，y)，f(x)，h(x)，φ(x)均為連續(xù)函數(shù).

系統(tǒng)(1)等價(jià)于系統(tǒng)

2 漸近穩(wěn)定性

當(dāng)p(t，x(t)，x′(t)，x(t-r(t))，x′(t-r(t))，x″(t))=0時(shí)，討論式(1)的漸近穩(wěn)定性.

考慮自治RFDE系統(tǒng):

其中，f:CH→Rn是連續(xù)泛函，f(0)=0，CH={φ ∈C(［-r，0］，Rn):φ≤H}且滿足對(duì)H1＜H，若Φ≤H1，則存在L(H1)＞0，使

引理1［6］令V(Φ):CH→R為滿足局部Lipschitz條件的連續(xù)泛函，V(0)=0且滿足下列條件:

定理1若存在正整數(shù)a，b，c，d，L，M，B且滿足:

(1)0＜[h(x)φ(x])′＜ab-c;

(3)h(x)φ(x)sgnx＞0(x≠0)，對(duì)任意的x都有

(4)g′x(x，y)y≤0且g(x，y)≥a+d;

(5)0≤r(t)≤ σ，r′(t)≤ β，0＜ β ＜1，那么當(dāng)

則系(1)的零解是漸近穩(wěn)定的.

證明 先定義一個(gè)Lyapunov泛函V(xt，yt，zt)，

明顯地，V(0，0，0)=0.

又由定理1條件(3)和(4)知h(x)φ(x)sgnx＞0，g(x，y)-a＞d.

顯然，對(duì)于以上不等式，存在足夠小的正常數(shù)Di(i=1，2，3)，使得

成立，則V(xt，yt，zt)正定.

因此，泛函V(xt，yt，zt)滿足引理1的條件(1).

由定理1所給的條件可得

同理

又因?yàn)?/p>

則由上面不等式得

若取

因此，泛函V(xt，yt，zt)滿足引理1的條件(2).

容易證明Z中最大不變集是Q={0}，在這里Z={Φ ∈CH，V′(Φ)=0}，根據(jù)

因此，引理1的所有條件都滿足，所以式(1)的零解是漸近穩(wěn)定的.

定理得證.

3 有界性

引理2［7］Gronwall-Reid-Bellman不等式:若u(t)與α(t)都是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，β(t)≥0在[a，b]上可積且成立

則必有

若α(t)非減，則成立

對(duì)于p(t，x(t)，x′(t)，x(t-r(t))，x′(tr(t))，x″(t))≠0的情況，有下列結(jié)論:

定理2［9］假設(shè)定理1的條件成立且連續(xù)函數(shù)p滿足下列條件:

其中q(t)∈L1(0，∞)，L1(0，∞)是Lebesgue可積函數(shù)空間.

當(dāng)

時(shí)，存在一個(gè)有限正常數(shù)M使系統(tǒng)(2)的解x(t)對(duì)所有的t≥t0滿足不等式

注:這里用來(lái)證明定理2的Lyapunov函數(shù)V(xt，yt，zt)與定理1相同.

證明 對(duì)于p(t，x(t)，x′(t)，x(t-r(t))，x′(t-r(t))，x″(t))≠0的情況，有

其中D7=max{1，a}.

對(duì)式(4)從0到t進(jìn)行積分，并利用假設(shè)q∈L1(0，∞)和Gronwall-Reid-Bellman不等式，可得

其 中M1是 正 常 數(shù)，M1=(V(x0，y0，z0)+所以

其中M=D-14M1.

因此，當(dāng)t≥t0時(shí)，不等式成立.

即當(dāng)t≥t0時(shí)成立.

證畢.

例題1考慮三階時(shí)滯微分方程

方程(5)可表示為如下系統(tǒng)

令

顯然方程(5)是式(1)的特殊形式，可知

由于

則

其中q∈L1(0，+∞).

因此定理1和定理2的所有條件都成立，當(dāng)p≡0時(shí)方程(5)的零解漸近穩(wěn)定，當(dāng)p≠0時(shí)方程(5)所有解有界.

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