高等數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)新思維的培養(yǎng)

楊海霞

（蘭州文理學(xué)院師范學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

0 引言

高等數(shù)學(xué)是理工類的大學(xué)生必修的基礎(chǔ)課,也是學(xué)習(xí)其他課程的一門工具,它扮演著越來越重要的角色.但大部分學(xué)生認(rèn)為高等數(shù)學(xué)抽象乏味、枯燥難學(xué),學(xué)習(xí)的主動(dòng)性不高.為了搞好高等數(shù)學(xué)的教學(xué),進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,教學(xué)不但應(yīng)該傳授數(shù)學(xué)知識(shí),尤其要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,適時(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造精神,提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性,思想性,培養(yǎng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得簡單起來.本文將結(jié)合高數(shù)數(shù)學(xué)的有關(guān)內(nèi)容,從五個(gè)方面闡述如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

1 歸納思維

在高等數(shù)學(xué)中,許多重要結(jié)果的得出,都可以用到歸納思維,通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)和體驗(yàn),可以逐步培養(yǎng)滲透學(xué)生的歸納思維.

例1 求某一函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí),通常的是求出其一階、二階（有時(shí)還要求出其三階、四階）導(dǎo)數(shù),再歸納出n階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式.

如：求余弦函數(shù)y==cosx的n階導(dǎo)數(shù).

例 2 由兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的求導(dǎo)法則 （uv）′＝u′v＋uv′可歸納出任意有限個(gè)函數(shù)之積的法則.如:（u1u2…un）′＝u1′u2u3…un＋u1u2′u3…un＋…＋u1u2…un－1un′.

從一階、二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的結(jié)構(gòu)及其求解方法,可以歸納出n階常系數(shù)線性齊次方程通解的結(jié)構(gòu)及其求解方法[1];多元函數(shù)求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法,從兩個(gè)自變量、一個(gè)約束條件,推廣到n個(gè)自變量、m個(gè)約束條件,也是用歸納的方法得出的[2-3].著名的哥德巴赫猜想,費(fèi)馬猜想,素?cái)?shù)定理等[4-5]都是通過大量觀察、計(jì)算……,然后歸納得到的.

2 類比思維

類比就是由此去發(fā)現(xiàn)彼（或由彼去發(fā)現(xiàn)此）.在教學(xué)過程中,將新內(nèi)容與已經(jīng)熟悉的知識(shí)進(jìn)行類比講解,不但使學(xué)生易于接受、理解、掌握新知識(shí),更重要的是可以培養(yǎng)、鍛煉學(xué)生的類比思維,有利于開發(fā)他們的創(chuàng)造力.

例3 牛頓二項(xiàng)式展開公式和萊布尼茨公式的類比學(xué)習(xí)

這些公式比較繁瑣,單純記憶起來不方便,但通過將兩個(gè)公式類比,發(fā)現(xiàn)將第一個(gè)公式中u＋v換成uv,將n次冪換成n階導(dǎo)數(shù)(零階導(dǎo)數(shù)理解為函數(shù)本身),就成了第二個(gè)公式,就易于理解和記憶.

例4 立體幾何問題與平面幾何問題的類比學(xué)習(xí)

在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微積分學(xué)時(shí),應(yīng)與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的一元函數(shù)的微積分相應(yīng)的概念、理論、方法進(jìn)行類比學(xué)習(xí).

在學(xué)完了積分學(xué)后應(yīng)將定積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分進(jìn)行類比,包括它們的定義、性質(zhì)、計(jì)算方法、物理意義等等.通過類比學(xué)習(xí)，可以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

3 發(fā)散思維

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,通過多種思路培養(yǎng)、訓(xùn)練學(xué)生的更廣闊的思維,將所學(xué)知識(shí)能夠活學(xué)活用,進(jìn)一步開拓知識(shí)視野,提高解決問題的能力.

3.1 一題多解

等等.

這道題目的計(jì)算過程中,使用了多種計(jì)算不定積分的方法,可以引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)活學(xué)活用,讓同學(xué)們明白絕對(duì)不能以為獲得一種方法以后,作業(yè)就完成了,問題就解決了,或把另外的解法當(dāng)作浪費(fèi)自己的時(shí)間.

（可以用洛必達(dá)法則;用等價(jià)無窮小的替換定理;用重要的極限；用三角公式變形；等等.）

3.2 一題多變

例7 求微分方程x2dx＝y(tǒng)2dx＋2xydy的通解

它是齊次微分方程,用齊次微分方程的解法求出其通解；

（2）變形為（x2－y2）dx－2xydy=0

所以它是全微分方程,可用全微分方程的解法求出其通解；

它就是伯努利方程,設(shè)z＝y(tǒng)2先化為線性微分方程,然后用線性微分方程的解法求出其通解[6].

4 逆向思維

是從已有的思路的反方向去思考問題.在高數(shù)的教學(xué)過程中,應(yīng)滲透這種思維的培養(yǎng),它可以開闊解決某些難題的思路,對(duì)解放思想、發(fā)現(xiàn)新生事物、開辟新的方向,往往能起到柳暗花明又一村的作用,可以更加激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

4.1 若遇到某些問題順推不行,可以考慮逆推

例 8 求方程 ydx＋（x－lny）dy=0 的通解

解 利用逆向思維,將y視為自變量,x視為因變量 ,解題過程就會(huì)變得很容易.方程化為如下的線性方程：

利用線性微分方程的通解公式很容易求出其通解

4.2 若遇到某些問題直接解決困難,想法間接解決

例10 將y=ln（1+x）展成x的冪級(jí)數(shù).

解 若用直接展開法將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),展開過程中計(jì)算f（n）（x）的工作量大,還得討論余項(xiàng)Rn（x）.間接方法,就變得很簡便

5 合理的猜想

大科學(xué)家牛頓曾經(jīng)說過：“沒有大膽的猜想,就作不出大膽的發(fā)現(xiàn).”縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史,可以說,沒有猜想就沒有數(shù)學(xué),更沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展.例如,著名的哥德巴赫猜想,費(fèi)馬猜想等.因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教材重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想的能力.

例如,在學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則時(shí),利用已經(jīng)學(xué)過的導(dǎo)數(shù)的含義（變化率）,引導(dǎo)學(xué)生合理的猜想出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

例 11 若 y=f（u）,u＝φ（x）都是可導(dǎo)函數(shù),求

通過大膽的猜想會(huì)給學(xué)生帶來發(fā)現(xiàn)和成功的喜悅,不但可以牢牢記住這些內(nèi)容,也逐漸提高數(shù)學(xué)猜想的能力,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)猜想的樂趣.

總之,在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透創(chuàng)新思維的培養(yǎng),幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)、研究、應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中讓數(shù)學(xué)變得活起來,更加深刻理解數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想、方法及其應(yīng)用,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,從而提高教學(xué)效果,逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.著名教育家蘇霍姆林斯基說：“思維就像一棵花,它是逐漸地積累生命汁液的,只要我們用這種汁液澆灌它的根,讓它受到陽光照射,它的花朵就會(huì)綻開.”在數(shù)學(xué)教學(xué)中,創(chuàng)新思維必不可少.S

［1］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].5版.北京:高等教育出版社,2004.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.

［3］劉玉璉.數(shù)學(xué)分析[M].2版.北京:高等教育出版社,1994.

［4］王樹禾.數(shù)學(xué)思想史[M].北京:國防工業(yè)出版社,2003.

［5］朱家生.數(shù)學(xué)史[M].北京:高等教育出版社,2004.

［6］李心燦,等.高等數(shù)學(xué)一題多解200例選編[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2002.