基于擬蒙特卡羅方法的Copula-GARCH類模型在外匯風(fēng)險計算中的應(yīng)用

王夢媛 鄒玉梅

（山東科技大學(xué)統(tǒng)計與金融系，山東 青島 266590）

隨著我國外匯市場不斷發(fā)展與完善，外匯市場投資已成為繼股票市場投資后的第二大投資市場[1]，因此外匯風(fēng)險管理有其重要意義。為了更好的把握金融市場各外匯的風(fēng)險，需運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒▉砜坍嫿鹑跉v史數(shù)據(jù)與波動的相關(guān)結(jié)構(gòu)，同時還需在風(fēng)險估計方法上加以改進(jìn)。高江[2]選擇了不同類別的Pair-Copula函數(shù)構(gòu)建藤Copula，運(yùn)用蒙特卡羅模擬方法計算多資產(chǎn)投資組合的VaR，并與傳統(tǒng)方差-協(xié)方差風(fēng)險管理方法做比較顯示更優(yōu)。Niederreiter[3]系統(tǒng)地介紹了擬蒙特卡羅方法和偽隨機(jī)數(shù)，Levy[4]在積分計算中對比擬隨機(jī)序列與偽隨機(jī)序列并提出擬隨機(jī)序列在風(fēng)險評估領(lǐng)域是更有效的工具。羅付巖等[5]將低差異性數(shù)列應(yīng)用于金融計算中，通過數(shù)值實驗表明低維時擬蒙特卡羅方法比蒙特卡羅方法精度更高、速度快。

1 擬蒙特卡羅方法

蒙特卡羅方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)為偽隨機(jī)數(shù)，具有聚集性的特點(diǎn)，同時也有收斂速度慢、計算量大等缺陷[5]。擬蒙特卡羅方法也稱低差異序列法，它類似于蒙特卡羅方法，但它采用確定性的低差異性序列代替?zhèn)坞S機(jī)數(shù)序列。擬蒙特卡羅方法避免了隨機(jī)數(shù)的聚集特性，并加快了收斂速度。由于低偏差序列所產(chǎn)生的點(diǎn)能較均勻的分布在積分區(qū)域內(nèi)，從而避免了偽隨機(jī)數(shù)的聚集性。因此擬蒙特卡羅方法能很好地應(yīng)用于模擬計算中[6]。本文考慮的低差異序列是Halton序列。

Halton序列的產(chǎn)生需要首先選出一個數(shù)M作為基底。若生成維度為i的序列，則在質(zhì)數(shù)集合中取第i個質(zhì)數(shù)為基底。每個自然數(shù)n都可唯一分解成下式：

其中 0≤di＜M，再將上式各項系數(shù)代入式（1）：

轉(zhuǎn)換后得到的Halton序列中的隨機(jī)數(shù)。

2 Copula-GARCH類模型

Copula理論的是由Sklar在1959年提出的，可以將任意一個n維聯(lián)合累積分布函數(shù)分解為n個邊緣累積分布和一個Copula函數(shù)。邊緣分布描述的是變量的分布，Copula函數(shù)描述的是變量之間的相關(guān)性[7]。

2.1 二元Copula函數(shù)的定義

二元Copula函數(shù)是具有以下性質(zhì)的函數(shù)C(·,·)[8]：

（1）定義域為：I2，即[0,1]2；

（2）C(·,·)有零基面（grounded）且是二維遞增（2-increasing）的；

（3）對任意變量 u,v∈[0,1]，滿足：C(u,1)=u 和 C(1,v)=v。

Sklar定理[9]：令 H(·,·)為具有邊緣分布 F(·)和 G(·)的聯(lián)合分布函數(shù)，那么存在一個 Copula 函數(shù) C(·,·)滿足：

若 F(·)，G(·)連續(xù)，則 C(·,·)唯一確定；反之 F(·)，G(·)為一元分布函數(shù)，C(·,·)為相應(yīng)的 Copula 函數(shù)，那么式（3）定義的函數(shù) H(·,·)是具有邊緣分布 F(·)，G(·)的聯(lián)合分布函數(shù)。

有多種方法可用于選擇適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)族來擬合不同的相關(guān)結(jié)構(gòu)，如利用λ函數(shù)、AIC準(zhǔn)則、Kendall秩相關(guān)系數(shù)、擬合優(yōu)度檢驗以及平面等高線圖等途徑。Brechmann指出對于二元Copula函數(shù)，以AIC準(zhǔn)則作為選擇標(biāo)準(zhǔn)是可靠的[10]，故本文以AIC準(zhǔn)則作為選擇Copula函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。先利用λ函數(shù)選定待選Copula函數(shù)的種類，由極大似然法估計參數(shù)后，再分別查看這些Copula函數(shù)擬合之后的AIC值，選擇其中AIC值最小的作為最終模型。

2.2 GARCH 類模型

GARCH類模型能比較好的描述金融收益率波動的動態(tài)變化特征，捕捉叢集效應(yīng)和非對稱性效應(yīng)[11]。GARCH(p,q)模型的一般表達(dá)式為：

式（4）、式（5）中，p≥0，q＞0；ω＞0，αi≥0，i=1,2,…,p，βi≥0，i=1,2,…,q.

GARCH(p,q)模型描述的收益率波動是完全對稱的，但有時收益率會呈現(xiàn)出一種非對稱性的特征。EGARCH模型是描述波動的非對稱效應(yīng)常用模型之一。

EGARCH(p,q)模型方差方程表達(dá)式為：

式（6）中只要γ≠0就存在非對稱效應(yīng)。

3 實證研究

取每日人民幣對美元、人民幣對英鎊外匯匯率中間價為樣本數(shù)據(jù)，采用對數(shù)收益率，時間范圍為2010年11月1日至2014年5月27日，共864組數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來源于國家外匯管理局網(wǎng)站。

3.1 Copula-GARCH類模型擬合收益率分布的估計結(jié)果

由表1中J-B統(tǒng)計量的伴隨概率可知，在置信水平為5%時，兩種外匯收益率序列均不服從正態(tài)分布，序列表現(xiàn)出不同程度的尖峰厚尾性和非對稱性，且檢驗具有ARCH效應(yīng)，對兩種外匯收益率序列分布進(jìn)行GARCH(1,1)和EGARCH(1,1)建模。

表1 外匯收益率序列的統(tǒng)計特性

利用GARCH類模型提取相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差，并對其概率積分變換后得到的序列進(jìn)行K-S檢驗。從表2中可知，在5%的顯著水平下，本文所建立的GARCH類模型很好地擬合了兩種外匯收益率序列的分布。

表2 GARCH類模型參數(shù)估計及K-S檢驗結(jié)果

計算兩種外匯收益率間的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ=-0.249，本文采用Frank Copula擬合兩種外匯的相關(guān)結(jié)構(gòu)，利用極大似然估計法得到參數(shù) θ=-2.485486。

3.2 投資組合VaR預(yù)測

投資組合中美元、英鎊權(quán)重分別為β和1-β，利用擬蒙特卡羅方法，重復(fù)模擬10000次得到所構(gòu)建的Copula-GARCH類模型二維仿真數(shù)據(jù)后，將其還原為資產(chǎn)的收益率數(shù)據(jù)，進(jìn)而得到損失序列。由損失序列的經(jīng)驗分布，給定置信度1-α得到投資組合的VaR值。

表3 VaR值的估計結(jié)果

從表3中結(jié)果可以看到在相同置信水平下，隨著美元投資比例上升，投資組合的VaR值不斷下降，這體現(xiàn)了美元作為國際支付、結(jié)算以及投資的主要貨幣，其價格波動的相對穩(wěn)定狀態(tài)。

4 結(jié)束語

本文采用Copula-GARCH類模型對兩種外匯收益率序列相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。經(jīng)實證研究，驗證了其收益率序列尖峰厚尾且具有條件異方差的特性，本文構(gòu)建的模型達(dá)到了較好的擬合效果。同時利用Halton序列實現(xiàn)了對收益率數(shù)據(jù)的仿真模擬，預(yù)測了不同投資組合的VaR值。Halton序列對維數(shù)變化較敏感，其低差異特性會隨維數(shù)增加而退化，因此在模擬高維變量時可考慮采用其他低差異序列，如Fature序列和Sobol序列。

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