保單持有人退保行為對(duì)變額年金利益保證風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響研究

劉革　鄧慶彪

摘要：給出保單持有人退保行為影響下的變額年金定價(jià)模型和對(duì)沖模型，當(dāng)保單持有人分別采取無退保、固定退保和動(dòng)態(tài)退保三種行為策略時(shí)，基于包含最低身故利益保證、最低滿期利益保證和最低提取利益保證的三種不同的變額年金，運(yùn)用蒙特卡羅模擬測(cè)試出保單持有人采取不同的退保策略對(duì)不同利益保證的變額年金風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖有著顯著的不同影響。

關(guān)鍵詞： 退保行為；變額年金；最低利益保證；風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖

中圖分類號(hào)：D912.28文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-7217（2015）02-0022-06

一、引言

2011年5月，中國(guó)保監(jiān)會(huì)先后發(fā)布了《關(guān)于開展變額年金保險(xiǎn)試點(diǎn)的通知》和《變額年金保險(xiǎn)管理暫行辦法》，并正式在北京、上海、廣州、深圳、廈門五市啟動(dòng)變額年金保險(xiǎn)的試點(diǎn)工作。變額年金種類復(fù)雜，技術(shù)性強(qiáng)，對(duì)資本市場(chǎng)的要求非常高，若經(jīng)營(yíng)不善，可能會(huì)使保險(xiǎn)公司蒙受重大虧損。因此，在引入變額年金的同時(shí)如何合理控制風(fēng)險(xiǎn)是各大保險(xiǎn)公司需要考慮的問題。由于我國(guó)保險(xiǎn)市場(chǎng)并不完善，保監(jiān)會(huì)在變額年金試點(diǎn)中，只允許保險(xiǎn)人提供風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較低的四類保證，它們分別是最低累積利益保證（GMAB）、最低滿期利益保證（GMMB）、最低年金給付保證（GMIB）和最低身故利益保證（GMDB）。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)較高的最低提取利益保證（GMWB）則暫不允許提供。而在國(guó)外，銷售業(yè)績(jī)最好的變額年金則恰恰是最低提取利益保證，其產(chǎn)品的年金給付期一般為15～20年，終身型GMWB的期限則更長(zhǎng)，這在一定程度上是符合消費(fèi)者需求的。在我國(guó)金融市場(chǎng)和保險(xiǎn)市場(chǎng)發(fā)展逐漸完善的未來，我國(guó)很有必要開發(fā)此類保險(xiǎn)產(chǎn)品。

在國(guó)外的變額年金研究中，保單持有人退保行為和風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖都是熱點(diǎn)問題，但把兩者結(jié)合起來研究的還比較少。研究保單持有人退保行為對(duì)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響的文獻(xiàn)也主要集中在風(fēng)險(xiǎn)較大、近年來在國(guó)外比較流行的最低提取利益保證（GMWB）方面，而對(duì)風(fēng)險(xiǎn)較小的最低累積利益保證（GMAB）、最低年金給付保證（GMIB）則少有研究。在允許離散提取的前提下，Bacinello等（2011）在更一般化資本市場(chǎng)模型下，考慮了一系列的采用隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)率模型的保證定價(jià)，特別是對(duì)于最低提取利益保證（GMWB），作者采用了標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅模擬來對(duì)靜態(tài)行為策略（每年提取量為G且無退保）進(jìn)行定價(jià)[1]；在隨機(jī)利率模型和每年提取量為G且無退保的靜態(tài)連續(xù)提取策略假設(shè)下，Peng等（2012）給出了GMWB定價(jià)的上下邊界[2]；在忽略死亡率和假設(shè)保單持有人采取靜態(tài)提取行為且無退保的情形下，Thorsten Moenig和Daniel Bauer（2011）深入分析了保單持有人的取款行為。他們指出保單持有人的提取行為會(huì)受到產(chǎn)品設(shè)計(jì)等的影響，而產(chǎn)品的定價(jià)和管理過程也會(huì)反過來受到保單持有人的提取行為的影響[3]。

國(guó)內(nèi)方面，對(duì)于保單持有人的研究則主要集中在其權(quán)益保護(hù)方面，有關(guān)保單持有人退保行為的研究基本沒有。同時(shí)，由于2011年我國(guó)剛剛啟動(dòng)變額年金試點(diǎn)工作，有關(guān)變額年金的研究則大多將重點(diǎn)放在定價(jià)的研究上。徐慧丹（2010）在分析國(guó)內(nèi)外研究成果的基礎(chǔ)上，主要通過理論探討、個(gè)案分析、博弈均衡分析、國(guó)際對(duì)比研究等方式，考慮了外部法律、內(nèi)部管理、自身保護(hù)三個(gè)維度，并初步建立了符合我國(guó)特色的保單持有人權(quán)益保護(hù)制度[4]；顏榮芳等（2007）闡明了保險(xiǎn)人在年金累積期及年金給付期的不同投資策略，并以此構(gòu)建保險(xiǎn)公司變額年金的最優(yōu)投資控制模型，進(jìn)而得到變額年金產(chǎn)品的最優(yōu)控制策略[5]；徐景峰和廖樸（2012）在固定乘數(shù)平衡管理模式下討論了最低生存保證給付保險(xiǎn)（GMLB）和最低死亡保證給付保險(xiǎn)（GMDB）兩類變額年金的風(fēng)險(xiǎn)管理問題。結(jié)果表明，如果采用保監(jiān)會(huì)規(guī)定的固定乘數(shù)平衡管理模式來管理變額年金，適當(dāng)?shù)淖畹褪找媛时ＷC不會(huì)帶來風(fēng)險(xiǎn)，但當(dāng)最低收益率超過一定水平時(shí)，變額年金業(yè)務(wù)必然破產(chǎn)[6]；李冰清和廖樸（2012）建立了資產(chǎn)隨機(jī)模型并使用破產(chǎn)概率和尾部期望損失兩個(gè)指標(biāo)度量保險(xiǎn)公司銷售最低生存利益保證保險(xiǎn)（GMLB）和最低身故利益保證保險(xiǎn)（GMDB）承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)[7]；鄧慶彪和戴怡然（2013）在對(duì)變額年金中含有最低累積利益保證的研究中，運(yùn)用蒙特卡羅模擬分析了兩種風(fēng)險(xiǎn)管理模式，即內(nèi)部組合對(duì)沖模式和固定乘數(shù)平衡模式，并對(duì)變額年金在不同的市場(chǎng)狀況下，應(yīng)采取的風(fēng)險(xiǎn)管理方式提出了一些建議：一般情況下，應(yīng)選取優(yōu)化后的固定乘數(shù)平衡模式，選取2～4左右的投資乘數(shù)；當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)多頭時(shí)，應(yīng)采用內(nèi)部組合對(duì)沖模式[8]。

綜合考慮國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，本文主要研究保單持有人退保行為對(duì)變額年金中三類利益保證（GMIB、GMAB、GMWB）風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響，對(duì)于如今市場(chǎng)上GMIB、GMAB的風(fēng)險(xiǎn)管理和GMWB的推出均有較強(qiáng)的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。主要研究保單持有人的不同退保行為對(duì)三類最低利益保證（最低累積利益保證、最低年金給付保證、最低提取利益保證）的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖及其有效性的影響，通過比較三類最低利益保證的變額年金在不同保單持有人退保行為下的風(fēng)險(xiǎn)大小及風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的有效性，分析不同保單持有人退保行為對(duì)三類最低利益保證變額年金產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)及對(duì)沖是否有影響以及影響究竟有多大。從而針對(duì)保險(xiǎn)公司在推出變額年金產(chǎn)品時(shí)，能夠通過謹(jǐn)慎的產(chǎn)品設(shè)計(jì)，合理假設(shè)，合理定價(jià)，規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

財(cái)經(jīng)理論與實(shí)踐（雙月刊）2015年第2期2015年第2期（總第194期）劉革，鄧慶彪：保單持有人退保行為對(duì)變額年金利益保證風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響研究

二、保單持有人退保行為下的對(duì)沖模型

保單持有人退保行為風(fēng)險(xiǎn)是指在保險(xiǎn)合同沒有完全履行時(shí)，保單持有人提出解除保險(xiǎn)合同而給保險(xiǎn)人帶來的風(fēng)險(xiǎn)。變額年金的利益保證本質(zhì)上是一個(gè)看跌期權(quán)，當(dāng)我們知道了它在某一時(shí)刻的價(jià)值，就可以通過股票和貨幣來構(gòu)造一個(gè)適合的虛擬期權(quán)，從而對(duì)其進(jìn)行有效對(duì)沖。本文測(cè)定變額年金利益保證的價(jià)值的主要思想是：t時(shí)刻利益保證價(jià)值可以用所有未來保證支付減去未來保證費(fèi)用的現(xiàn)值的期望來表示，得到利益保證的期權(quán)價(jià)值公式后，由于零時(shí)刻保單的期權(quán)價(jià)值為零，我們就可以得到利益保證的公平保證費(fèi)φ；確定了公平保證費(fèi)后，就能夠進(jìn)行對(duì)沖了。

（一）資本市場(chǎng)

假設(shè)存在概率空間（Ω，F(xiàn)，Q），F(xiàn)=（It）-t∈0，T為此概率空間上的σ域流，Q為風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度。假設(shè)市場(chǎng)上存在兩種主要的可交易資產(chǎn)：S（·）表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格，B（·）表示無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格。該市場(chǎng)是無套利的，可以用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)來復(fù)制期權(quán)。假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)dSt=μStdt+σStdWt，其中，μ為漂移項(xiàng)，σ為波動(dòng)率，Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)滿足dBt=rBtdt，其中，r為無風(fēng)險(xiǎn)常數(shù)利率。

（二）保單模型

考慮一個(gè)期限為T（其中T為有限整數(shù)）的變額年金保單，在t=0時(shí)，躉交保費(fèi)為P。在保單期內(nèi)，只考慮與保證相關(guān)的費(fèi)用，如連續(xù)扣除的保證費(fèi)和退保費(fèi)用。忽略所有前置費(fèi)用，即假設(shè)保單的交易費(fèi)用、管理費(fèi)用均為零。t時(shí)刻的賬戶價(jià)值記為AVt。于是有AV0=P。除了GMWB外，只要從保單的賬戶中有任何提取金額的行為均要收取退保費(fèi)用，為了簡(jiǎn)便起見，本文只討論完全退保，也就是提取金額為當(dāng)時(shí)的所有賬戶余額。連續(xù)扣除的保證費(fèi)φ為賬戶價(jià)值的一定比例，而退保費(fèi)用率s為所提取金額的一定比例。為了評(píng)估保單的價(jià)值，需要定義兩個(gè)虛擬賬戶：Wt和Dt。Wt表示t時(shí)刻的累積提取額的價(jià)值，稱作提取賬戶。每次提取都會(huì)累加到這個(gè)賬戶中，并且以無風(fēng)險(xiǎn)利率累積到T時(shí)刻。當(dāng)t=0時(shí)，有W0=0。類似的，Dt表示t時(shí)刻的死亡收益的價(jià)值，稱作死亡收益賬戶Dt。Dt也以無風(fēng)險(xiǎn)利率累積到T時(shí)刻。當(dāng)t=0時(shí)，D0=0，記t時(shí)刻的最低死亡保證利益為GDt，則有t時(shí)刻的死亡利益為max{AVt，GDt}。如果保單包含GMDB，則GD0=AV0，否則GD0=0。記t時(shí)刻的最低滿期保證利益為GMt，則當(dāng)保單到期時(shí)，保單持有人可以獲得max{AVT，GMT}的利益。如果保單包含GMMB，則GM0=AV0，否則GM0=0。假設(shè)GMMB是累積型的，保證的累積利率為i。記t時(shí)刻的保證賬戶余額為GWt，t時(shí)刻允許單次領(lǐng)取的最大金額為GEt。如果保單包含GMWB，則GW0=AV0，GE0=xw·AV0，其中xw為提取率，是保證賬戶的一定比例。否則GW0=0，GE0=0。狀態(tài)向量yt=（AVt，Wt，Dt，GDt，GMt，GWt，GEt）包含了t時(shí)刻有關(guān)含保證利益的變額年金的所有信息。

本文討論的是躉交保費(fèi)的情況，所以，保單持有人的行為僅限于死亡、退保、提取等。假設(shè)只允許在保單周年日退保或提取且如果被保險(xiǎn)人在當(dāng)年死亡的話，死亡利益也只在保單周年日支付。故這些行為都只在保單周年日，即t=1，2，3…，T等這些整數(shù)時(shí)間點(diǎn)上發(fā)生。所以，在t=1，2，3…，T時(shí)，必須要嚴(yán)格區(qū)分狀態(tài)向量中的變量在死亡利益支付、退保、提取等發(fā)生之前（·）-t和發(fā)生之后（·）+t的價(jià)值。

下面分別描述保單在兩個(gè)保單周年日之間的運(yùn)作過程和保單周年日前后的轉(zhuǎn)換過程，通過這樣的轉(zhuǎn)換過程，能夠決定任何給定的保單持有人退保行為策略和任何資本市場(chǎng)路徑中狀態(tài)向量中的所有變量的價(jià)值，從而利用蒙特卡羅方法來分析這樣的保單。

1.兩個(gè)保單周年日之間的運(yùn)作過程。

賬戶價(jià)值的變化取決于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的變化，再考慮到保證費(fèi)，則有：

AV--t+1=AV+t·S-t+1/St·e-φ。兩個(gè)虛擬賬戶按照無風(fēng)險(xiǎn)利率累積：W--t+1=W+ter，D--t+1=D+ter。保證賬戶如下：GD--t+1=GD+t，GM--t+1=（1+i）GM+t，GW--t+1=GW+t，GE--t+1=GE+t。

2.保單周年日前后的運(yùn)作過程。

（1）保單持有人死亡。

由于模型假設(shè)死亡只發(fā)生在保單周年日，故在期間（t，t+1]死亡等同于在t+1時(shí)刻死亡。死亡收益將加入死亡收益賬戶中：D+-t+1=D--t+1+max{GD--t+1；AV--t+1}。

因?yàn)楸纬钟腥怂劳?，未來收益便不存在了，于是，AV+-t+1=0，GD+-t+1=GM+-t+1=GW+-t+1=GE+-t+1=0。而提取賬戶保持不變，W+-t+1=W--t+1，保單終止。（2）保單持有人存活并退保。

保單持有人退保，保單失效。AV+-t+1=0，GD+-t+1=GM+-t+1=GW+-t+1=GE+-t+1=0。

死亡收益賬戶保持不變，D+-t+1=D--t+1。

扣除退保費(fèi)用后的賬戶余額加入到提取賬戶中，W--t+1=W+-t+1+（1-s）×AV--t+1，其中s為退保費(fèi)用率，為賬戶余額的一定比例。

（3）保單持有人存活且不退保。

對(duì)于GMDB和GMMB來說，保單持有人不采取任何行動(dòng)，W+-t+1=W--t+1，D+-t+1=D--t+1，AV+-t+1=AV--t+1，GD+-t+1=GD--t+1，GM+-t+1=GM--t+1，GW+-t+1=GW--t+1，GE+-t+1=GE--t+1。

對(duì)于GMWB來說，保單持有人將進(jìn)行提取。為簡(jiǎn)便起見，本文假設(shè)保單持有人的提取額等于每次保證提取的最大限額。則有AV+-t+1=max{AV--t+1-GE--t+1，0}，W+-t+1=W--t+1+GE--t+1，D+-t+1=D--t+1，GD+-t+1=GD--t+1，GW+-t+1=GW--t+1-GE--t+1，GE+-t+1=GE--t+1。

3.保單到期日T時(shí)刻的收益。

在保單到期日T時(shí)刻：對(duì)于GMDB來說，如果保單持有人存活，則到期利益為剩余賬戶價(jià)值A(chǔ)V-T，否則到期利益為max{AV-T；GD-T}；對(duì)于GMMB來說，如果保單持有人存活，則到期利益為max{AV-T；GM-T}，否則到期利益為剩余賬戶價(jià)值A(chǔ)V-T；對(duì)于GMWB來說，如果保單持有人存活，則到期利益為max{AV-T；GE-T}，否則到期利益為剩余賬戶價(jià)值A(chǔ)V-T。

（三）保證利益的價(jià)值

假設(shè)保單持有人購(gòu)買保單時(shí)的年齡為x歲，tpx表示x歲的人存活t年的概率，q-x+t表示x+t歲的人在下一年死亡的概率，則保單持有人在區(qū)間（t，t+1]內(nèi)死亡的概率為tpx·q-x+t。

考慮大量的保單持有人，他們購(gòu)買了同樣的保險(xiǎn)，有著同樣的年齡、性別和死亡率，而他們的行為可能會(huì)有所不同。假設(shè)保單持有人的數(shù)量足夠多以致實(shí)際死亡人數(shù)與概率q-x+t表示的死亡人數(shù)會(huì)保持一致。

假設(shè)保單持有人的退保行為由一族隨機(jī)變量ξ=（ξt）-t=1，…，T所確定，其中0≤ξt≤1，t=1，…，T。它表示t時(shí)刻退保的保單持有人占當(dāng)時(shí)總?cè)藬?shù)的比例。

對(duì)于給定的保單持有人退保行為假設(shè)ξ=（ξt）-t=1，…，T，保單池中的所有現(xiàn)金流都由給定的資本市場(chǎng)情況決定。因此，時(shí)刻i∈{1，2，…，T}由保險(xiǎn)公司提供的保證支付GPi（ξ）（例如，對(duì)于GMWB來說，在賬戶價(jià)值降為0后，保險(xiǎn)公司支付給保單持有人的金額，即保單持有人的提取額）和時(shí)刻i∈{1，2，…，T}由保單持有人提供的保證費(fèi)支付GFi（ξ）（包括退保費(fèi)用）均可以計(jì)算得到。于是，對(duì)于任意給定的保單持有人退保行為策略ξ，保證利益的t時(shí)刻的價(jià)值VGt（ξ）可以用所有未來保證支付GPi（ξ）減去未來保證費(fèi)用GFi（ξ）的現(xiàn)值的期望來表示。

VGt（ξ）=EQ∑Ti=t+1e-r（i-t）（GPi（ξ）-GFi（ξ））（1）

（四）保單持有人退保行為策略

主要討論以下三類保單持有人退保行為：

1.無退保（No Surrender，NS），是指保單持有人永遠(yuǎn)不會(huì)退保，則ξ0=（ξ0t）-t=1，…，T，ξ0t=0，t=1，…，T

2.確定性退保（Deterministic Surrender，DS），是指保單持有人會(huì)按照事先確定的比例（時(shí)間依賴）（pst）-t=1，…，T，0≤pst≤1，t=1，…，T來進(jìn)行退保。ξd=（ξdt）-t=1，…，T，ξdt=pst，t=1，…，T

3.動(dòng)態(tài)退保（In-The-Moneyness，ITM），即假設(shè)保單持有人的退保行為是時(shí)間和ITM（In The Moneyness，即保證與賬戶價(jià)值的比率）的函數(shù)。

定義時(shí)刻t的保證的貨幣價(jià)值為θt退保價(jià)值（賬戶價(jià)值減去退保費(fèi)用）與保證的執(zhí)行價(jià)格（未來保證支付的現(xiàn)值）的比值。本文使用θt/θ0（θ0為保證的初始貨幣價(jià)值）作為ITM的度量。

假設(shè)保單持有人退保行為的基數(shù)是一系列事先給定的比例（pst）-t=1，…，T，0

SymbolcB@ pst

SymbolcB@ 1，t=1，…，T（與確定性退保中的相同）。此外，假設(shè)保單持有人在t時(shí)刻的退保率為pst與某個(gè)因子（由θt/θ0來決定）的乘積。

ξitm=（ξitmt）-t=1，…，T

ξitmt=pst·η（θt/θ0），t=1，…，T

η（x）=1/3，x<0.95

1，0.95≤x<1.05

3，1.05≤x<1.15

5，x≥1.15

（五）公平保證費(fèi)的確認(rèn)

合同訂立之初，當(dāng)變額年金的最低利益保證的價(jià)值為零時(shí)，該合同才是公平的。所以有VG0=0。由于VG0的表達(dá)式中只有保證費(fèi)φ是未知的，故可以將其求出。

VG0（ξ）=EQ∑Ti=1e-ri（GPi（ξ）-GFi（ξ））（2）

（六）對(duì)沖效率的度量

本文假設(shè)保險(xiǎn)公司采用Black-Scholes模型來對(duì)沖并在對(duì)沖組合ΠHedge（·）中運(yùn)用簡(jiǎn)單的Δ對(duì)沖策略。也就是說，為了使組合對(duì)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格的微小變動(dòng)產(chǎn)生免疫，保險(xiǎn)公司對(duì)沖組合中基礎(chǔ)資產(chǎn)的數(shù)量為Δ，即Ψ（·）對(duì)S（·）的偏導(dǎo)。于是，ΠHedget=ΔtSt+Bt，Δt=Ψt/St。由于Δ通常為負(fù)值，所以保險(xiǎn)公司通常會(huì)賣出基礎(chǔ)資產(chǎn)，假設(shè)對(duì)沖組合每年重新調(diào)整一次。

本文采用下面三種指標(biāo)來比較不同的對(duì)沖結(jié)果，每個(gè)指標(biāo)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后，表示在t=0時(shí)支付給保險(xiǎn)公司的躉交保費(fèi)之和的百分比。

1.Epe-rTΠT，真實(shí)世界測(cè)度下的保險(xiǎn)公司利潤(rùn)的保單期末值的現(xiàn)值的期望。這是保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)的度量。其值為1表示在期望水平下，客戶每支付100的躉交保費(fèi)，保險(xiǎn)公司通過售出并對(duì)沖利益保證而獲得的期望利潤(rùn)為1。

2.CTE-1-α（χ）=Ep-χ-χ≥VaRα（χ），隨機(jī)變量χ的條件尾部期望，其中χ=min e-rtΠtt=0，…，T表示在所有的保單周年日的保險(xiǎn)公司利潤(rùn)的現(xiàn)值的最小值，VaR表示在險(xiǎn)價(jià)值。這是某一對(duì)沖策略下保險(xiǎn)公司對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)的度量?？梢岳斫鉃榧词乖陔S機(jī)模型下，市場(chǎng)發(fā)展到了α（如10%等）最壞情況的平均水平時(shí)，也能使保險(xiǎn)公司的組合在整個(gè)保單期內(nèi)都不會(huì)成為負(fù)值，所需要的額外的初始資金。其值為1表示在期望水平下，超過α最壞情況，客戶每支付100的躉交保費(fèi)，保險(xiǎn)公司需要持有額外1單位的資本。

3.CTE-1-α（e-rTΠT）=Ep[-e-rTΠT|-e-rTΠT≥VaRα（e-rTΠT）]，保險(xiǎn)公司的保單期末利潤(rùn)的現(xiàn)值的條件尾部期望。這一風(fēng)險(xiǎn)度量關(guān)注的是在期末T時(shí)刻，在所有負(fù)債都已經(jīng)支付的情況下，保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)狀況。其值為1表示在期望水平下，超過α最壞情況，客戶每支付100的躉交保費(fèi)，保險(xiǎn)公司的期望損失為1。由定義可知，CTE-1-α（χ）≥CTE-1-α（e-rTΠT）。

三、蒙特卡羅模擬

由于本文考慮的保證利益是依賴于路徑且路徑比較復(fù)雜，故無法直接求出保證費(fèi)用φ，必須使用數(shù)值方法。而對(duì)于確定的或給定的策略來說，蒙特卡羅算法可以快速地得到準(zhǔn)確的結(jié)果，故本文采用蒙特卡羅模擬來得出結(jié)果。

（一）模擬步驟

1.確定AVt與φ之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

由前面確定的資本市場(chǎng)模型，可得以下公式：

AV--t+1=AV+t·S-t+1/St·e-φ

=AV+t·e（r-φ-σ2/2）+σZ-t+1 （3）

上式中除了保證費(fèi)用φ之外，其他變量都是已知的，其中r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，σ為波動(dòng)率，Z-t+1為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，由此，可以找到AVt與φ之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.求出保證價(jià)值的蒙特卡羅模擬值。

由公式（2），對(duì)于給定的策略ξ，當(dāng)φ值一定時(shí)，給定標(biāo)的資產(chǎn)變化的樣本路徑a（j），便可以得到一個(gè)確定的VG0（φ）（j）。假設(shè)有J條路徑a（j），則得到J個(gè)VG0（φ）（j）值，對(duì)這J個(gè)VG0（φ）（j）值求平均，可以得到：

VG0（φ）=1J∑Jj=1VG0（φ）（j） （4）

VG0（φ）為保證價(jià)值的蒙特卡羅模擬值，其中J代表模擬的次數(shù)。

3.求出公平保證費(fèi)用φ。

對(duì)給定一個(gè)保證費(fèi)用φ，由公式（4）得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的保證價(jià)值VG0（φ），不斷地變動(dòng)φ時(shí)，便可以得到與之對(duì)應(yīng)的VG0（φ）。當(dāng)VG0（φ）恰好等于0時(shí)，可求出本文所要求的公平保證費(fèi)用φ。

由計(jì)算出公平保證費(fèi)用后，運(yùn)用蒙特卡羅模擬的方法，便可計(jì)算出用于比較對(duì)沖結(jié)果的三個(gè)指標(biāo)Epe-rTΠT、CTE-1-α（χ）、CTE-1-α（e-rTΠT）。

（二）蒙特卡羅模擬公平保證費(fèi)用的結(jié)果

本文采用Alexander等（2011）中的參數(shù)設(shè)定，即假設(shè)保單持有人均為60歲男性，一次性繳納10000元保費(fèi)P，無風(fēng)險(xiǎn)利率r為4%，市場(chǎng)波動(dòng)率σ為22%，退保費(fèi)用率φsurr為3%，使用生命表為《中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（2000-2003）》。最低身故利益保證為GD0=P=10000，即返還初始保費(fèi)或賬戶價(jià)值的最高者。最低滿期利益保證為GM0=P=10000，且累積利率i為6%，即保險(xiǎn)到期時(shí)返還GM0·（1+i）T或賬戶價(jià)值的最高者。最低提取利益保證的保證取款率為10%，即單次可提取的最大金額，即最低提取利益保證GE0為1000元。

限于篇幅，本文沒有列出GMDB、GMMB、GMWB的公平保證費(fèi)用和保證價(jià)值關(guān)系圖。將模擬結(jié)果整理后，如表1所示，其中，公平保證費(fèi)率的變動(dòng)幅度為1bps（bps表示萬分之一，即0.01%）。對(duì)應(yīng)于保證價(jià)值為0時(shí)的保證費(fèi)率即為公平保證費(fèi)率。

當(dāng)保單持有人采取固定退保策略時(shí)，無論附加哪種類型的保證，保險(xiǎn)公司的期望利潤(rùn)都接近于0。雖然保險(xiǎn)公司準(zhǔn)確了解保單持有人的行為，但是仍然無法達(dá)到完美對(duì)沖，導(dǎo)致了平均水平上的小損失。在GMDB、GMMB、GMWB保證下，在期望水平下，超過10%的最壞情況，保險(xiǎn)公司的期末利潤(rùn)的現(xiàn)值的條件尾部期望分別為躉交保費(fèi)的2.1%、2.4%、2.8%。而保險(xiǎn)公司的最大利潤(rùn)的現(xiàn)值的條件尾部期望則稍高一點(diǎn)。在動(dòng)態(tài)退保行為下，保險(xiǎn)公司承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)最大，也即動(dòng)態(tài)退保行為對(duì)保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響最大。

在GMDB保證下，無論保單持有人采取哪種行為策略，保險(xiǎn)公司的期望利潤(rùn)都接近于0。雖然保險(xiǎn)公司準(zhǔn)確地了解保單持有人的行為，但是仍然無法達(dá)到完美對(duì)沖，導(dǎo)致了平均水平上的小損失。在保單持有人采取無退保、固定退保、動(dòng)態(tài)退保策略下，在期望水平下，超過10%的最壞情況，保險(xiǎn)公司的期末利潤(rùn)的現(xiàn)值的條件尾部期望分別為躉交保費(fèi)的1.7%、2.1%、3.1%。而保險(xiǎn)公司的最大利潤(rùn)的現(xiàn)值的條件尾部期望則稍高一點(diǎn)。在GMWB保證下，保險(xiǎn)公司承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)最大，也即在GMWB保證下，保單持有人退保行為對(duì)保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響最大。

四、結(jié)論

通過以上對(duì)保單持有人退保行為影響的分析，有如下的結(jié)論：

1.當(dāng)保單持有人的退保行為隨機(jī)性增強(qiáng)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的公平保證費(fèi)也在增加，相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)也增加了。對(duì)于保單持有人來說，采取動(dòng)態(tài)退保的方式能使保單價(jià)值更高，獲得更大的利益，而此時(shí)，相反地，對(duì)于保險(xiǎn)公司來說，由于保單持有人退保行為的不確定性較強(qiáng)，其面臨的風(fēng)險(xiǎn)很大，增加了風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的難度和成本，其對(duì)保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響也就最大。

2.保單持有人采取退保行為，一般會(huì)損失一定的退保費(fèi)用，而在本文中卻能在一定程度上使得保單價(jià)值更高，這是因?yàn)椋谑袌?chǎng)表現(xiàn)較好時(shí)，保單賬戶價(jià)值較高，最低利益保證的觸發(fā)條件一般較難達(dá)到，而此時(shí)退保，直接將資金投入市場(chǎng)中，可以獲得較高的收益，節(jié)省了交納給保險(xiǎn)公司的保證費(fèi)，而使得獲利更多。故在這種情況下，退保反而成了較為理性的行為。

3.在GMDB、GMMB、GMWB三種保證中，GMWB保證下保單持有人退保行為對(duì)保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響最大。這是因?yàn)?，在這三種利益保證中，GMWB保證和保單持有人的退保行為關(guān)系最密切。GMWB保證給出了每個(gè)周年點(diǎn)的保證提取率，是否退保直接關(guān)系到接下來的年份是否會(huì)提取金額，故其風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖受保單持有人退保行為的影響也是最大的。

4.無論保單持有人采取哪種退保行為策略，當(dāng)保險(xiǎn)公司假設(shè)的保單持有人退保行為與其真實(shí)的退保行為保持一致時(shí)，保險(xiǎn)公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)都較小且非常相近。

根據(jù)上述結(jié)論，保險(xiǎn)公司在推出變額年金產(chǎn)品時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）相對(duì)于GMDB和GMMB來說，GMWB具有更強(qiáng)的不確定性和復(fù)雜性，其風(fēng)險(xiǎn)更大，因此，保險(xiǎn)公司在推出變額年金產(chǎn)品時(shí)，應(yīng)先從較簡(jiǎn)單、風(fēng)險(xiǎn)較小的GMDB和GMMB開始，待時(shí)機(jī)成熟時(shí)再推出GMWB。（2）通過宣傳和普及知識(shí)，鼓勵(lì)保單持有人持續(xù)持有保單，不要提前退保，減少不確定的提取行為給保險(xiǎn)公司帶來的風(fēng)險(xiǎn)。（3）當(dāng)保險(xiǎn)公司假設(shè)保單持有人不退保，而保單持有人實(shí)際上采取動(dòng)態(tài)退保策略時(shí)，此時(shí)的保證費(fèi)就會(huì)過低而給保險(xiǎn)公司帶來風(fēng)險(xiǎn)；而當(dāng)保險(xiǎn)公司假設(shè)保單持有人動(dòng)態(tài)退保，而保單持有人實(shí)際上采取不退保策略時(shí)，此時(shí)因?yàn)榧僭O(shè)過于復(fù)雜，而增加定價(jià)和對(duì)沖的成本，浪費(fèi)資源，給公司帶來不利。又因?yàn)楸纬钟腥送吮Ｐ袨槟Ｊ绞嵌喾N多樣的，存在著很多可行的方案，且并不是所有的保單持有人都會(huì)采取看上去理性的或者符合邏輯的行為方案。所以，保險(xiǎn)公司在實(shí)際定價(jià)時(shí)首先要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)、市場(chǎng)情況和中國(guó)民眾特有的風(fēng)險(xiǎn)觀念，考察不同提取行為出現(xiàn)的概率，通過謹(jǐn)慎的產(chǎn)品設(shè)計(jì)，合理假設(shè)，合理定價(jià)，規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

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（責(zé)任編輯：鐘 瑤）