差分方程的穩(wěn)定性①

汪宏遠(yuǎn)，崔成賢，張志旭，曹萬昌

(佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯154007)

0 引 言

考慮差分方程組

其中

函數(shù)G(k，X(k))對(duì)k ∈Z+及相應(yīng)的X(k)都有定義，保證方程組(1)的解存在唯一.

則方程組(1)就化為

所以方程組(1)的解φ(k)的穩(wěn)定性等價(jià)于

零解的穩(wěn)定性.

因此，不失一般性，總假設(shè)F(k，0)=0，并只研究方程組(2)的零解穩(wěn)定性就夠了.

差分方程組(2)的解Y(k)，在幾何上可以表示為n 維向量空間Rn的點(diǎn)列，用‖Y(k)‖記Y(k)的范數(shù).

若方程組⑵右邊函數(shù)不顯含k，即

則(3)式稱為自治差分方程組;否則，(2)式稱為非自治差分方程組.

1 自治線性差分方程組的穩(wěn)定性

考慮常系數(shù)線性差分方程組

其中A 是n×n 階常數(shù)矩陣.

定義1［1］設(shè)矩陣A 的特征根為λi(i=1，2，…，n)，則稱為矩陣A 的譜半徑.

定理1［2］差分方程組(4)的零解全局漸近穩(wěn)定的充要條件是r(A)＜1.

定理2［2］差分方程組(4)的零解穩(wěn)定的充要條件是r(A)≤1，且|λi|=1 的特征根只對(duì)應(yīng)簡單的初等因子.

定理3［3］若r(A)＞1，則差分方程組⑷的零解是不穩(wěn)定的.

在上述這些穩(wěn)定性定理中，驗(yàn)證關(guān)于譜半徑的不等式一般比較困難，因此人們?cè)诓粩鄬ふ逸^容易驗(yàn)證的充要條件或充分條件.下面是其中著名的居利判據(jù).

假設(shè)A 矩陣的特征多項(xiàng)式為

其中a0=1.

按如下來構(gòu)造數(shù)表(共2n-3 行):

其中

這樣繼續(xù)下去，直到表中的同一行只有3 個(gè)元素為止.由上述數(shù)表就得到居利判據(jù).

定理4［3］多項(xiàng)式P(λ)的所有零點(diǎn)都在復(fù)平面的單位圓內(nèi)的充要條件是

2 自治非線性差分方程組的穩(wěn)定性

考慮自治非線性差分方程組

其中F(0)=0，

2.1 代數(shù)方法

定義2 n×n 階常數(shù)矩陣A(aij)稱為非負(fù)矩陣，若aij≥0(i，j=1，2，…，n).

定理5［5］假設(shè)方程組(5)右邊的函數(shù)F 在Rn中包含原點(diǎn)的某個(gè)開球B:‖Y‖＜H 內(nèi)滿足:對(duì)任意的X，Y ∈B，存在n×n 階非負(fù)矩陣A，使得

則當(dāng)

10r(A)＜1 時(shí)，方程組(5)的零解漸近穩(wěn)定;

20r(A)=1 時(shí)，且對(duì)應(yīng)矩陣A 的模為1 的特征根只有簡單的初等因子時(shí)，方程組⑸的零解是穩(wěn)定的.

特別地，若方程組⑸是純量方程的情形

其中y(k)∈R1，f(y)∈R1，f(0)=0，則還有如下定理6:

定理6［5］假設(shè)函數(shù)f 在包含原點(diǎn)的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).則當(dāng)

1) |f′(y)|＜1 時(shí)，方程組(6)的零解漸近穩(wěn)定;

2) |f(y)|＞1 時(shí)，方程組(6)的零解不穩(wěn)定.

2.2 按線性近似部分決定穩(wěn)定性

在某些情況下，非線性差分方程的穩(wěn)定性可以用它的線性近似部分來決定.

假設(shè)方程(5)右邊的向量函數(shù)F(u)可以表示成

其中A 是n×n 階常數(shù)矩陣，而g(Y)滿足

條件(7)和(8)意味著函數(shù)F(Y)在Y=0 是可微的.同樣，如果函數(shù)F 在Y=0 有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，(7)和(8)式也必然成立.這時(shí)，矩陣A 是函數(shù)F 是Y=0 的雅可比矩陣

其中f1，f2，…，fn是F 的分量，并且所有的偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)取值.

定理7［5］設(shè)函數(shù)F 滿足(7)和(8)式，則

1) r(A)＜1 時(shí)，方程組(5)的零解是漸近穩(wěn)定的;

2)r(A)＞1時(shí)，方程組(5)的零解是不穩(wěn)定的.

3 應(yīng)用舉例

例2

其中α，β 為任意常數(shù).

解 方程組右邊的函數(shù)在原點(diǎn)關(guān)于y1和y2有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此條件(7)和(8)式成立.而這個(gè)方程組的雅可比矩陣

注意到r(A)=0.7 ＜1.所以，方程組的零解是漸近穩(wěn)定的.

［1］ Milne－Thomson L M.The calculus of finite differences［M］.New York:The Macmillan company，1951.

［2］ Laks mikanthan V，Trigiante D.Theory of difference equations;numericae methods and applications［M］.New York:Academic press，1988.

［3］ 廖曉昕，李玉鵬.離散動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1986(4):375－377.

［4］ 蓋爾芳德AO.有限差計(jì)算:下冊(cè)［M］.北京:高等教育出版社，1955.

［5］ 王聯(lián)，王慕秋.常差分方程［M］.烏魯木齊:新疆大學(xué)出版社，1991.