點(diǎn)與積分變換在微分方程求解中的應(yīng)用①

朱春蓉，吳吟黎

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241000)

0 引 言

變換是求解或化簡微分方程的重要方法之一.在本科學(xué)習(xí)階段，《常微分方程》和《數(shù)學(xué)物理方程》是學(xué)生為以后從事微分方程研究學(xué)習(xí)的最基礎(chǔ)的兩門課程.立足于這兩門課程，并結(jié)合一些較新的微分方程研究成果，討論了微分方程教學(xué)中常常出現(xiàn)的變換.在文獻(xiàn)［1 ～6］中，介紹了各種求解常微分方程的方法.在不同類型的微分方程中，求解方法也不同，也使用了不同的變換.在文獻(xiàn)［7 ～8］中，討論了變量變換在常微分方程中的應(yīng)用.一些微分方程中的變換分為兩大類:一類是點(diǎn)變換;另一類是積分變換.在點(diǎn)變換中，又可將變換分為自變量變換和因變量變換兩種情形.將從求解或簡化一些常微分方程和偏微分方程的角度分別討論這幾類變換的應(yīng)用.希望通過對(duì)這些變換的討論，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握在微分方程學(xué)習(xí)中變換的技巧，并為以后微分方程的學(xué)習(xí)和研究打下基礎(chǔ).

1 點(diǎn)變換

在各種微分方程中，點(diǎn)變換較為常見，可以分為自變量變換和因變量變換兩種類型.下文將分別討論這兩種變量變換.

2.1 自變量變換

自變量變換常常應(yīng)用于求解或化簡變系數(shù)的微分方程.在線性常微分方程中，通過自變量變換把變系數(shù)的線性微分方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的線性微分方程，從而得到求解［1］.在偏微分方程中，自變量變換可以減少變系數(shù)的個(gè)數(shù)，從而令方程得到簡化［9］.

為了求解Euler 方程

作自變量變換x=et，即t=lnx，則它轉(zhuǎn)換為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程

其中ai，bi(i=1，…，n)都是常數(shù).這里考慮的是x＞0 的情形，當(dāng)x ＜0 時(shí)，使用變量變換x=-et.通過求解方程(2)，再變量代回t=ln|x|從而得到方程(1)的通解.下面將給出一個(gè)例子來演示這個(gè)過程.

例1 求解方程

解 通過變量變換x=et，則t=lnx，代入方程(3)，方程(3)轉(zhuǎn)化為

求解方程(4)，得到

因此，方程(3)的通解為

其中ci是任意常數(shù).

在變系數(shù)非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程

中，利用自變量代換

得到

其中g(shù)′(x)=f(x)g(x)，h′(x′)=αh(x)，q′(x′)Q′(u′)

顯然，這里只進(jìn)行了自變量變換，且方程得到了簡化.對(duì)變換后的方程可以利用廣義條件對(duì)稱方法構(gòu)造其精確解，再通過逆變換就可以得到原變系數(shù)非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程的解［9］.

2.2 因變量變換

因變量變換在常微分方程的求解過程中應(yīng)用較多，文獻(xiàn)［7］詳細(xì)地介紹了因變量變換在各種常微分方程求解中的應(yīng)用情況.在本文中將對(duì)偏微分方程中的一些因變量變換進(jìn)行討論.

在偏微分方程中，為了構(gòu)造弦振動(dòng)方程非齊次邊界條件初邊值問題

的解，可以通過因變量變換

把該問題轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件的初值問題

我們可以通過齊次化原理及分離變量法構(gòu)造該問題的解［10］.類似地，這里采用的因變量變換還可用求解其它線性偏微分方程的非齊次初邊值問題.

在熱傳導(dǎo)方程

中，采用變量代換v=lnu，該方程被轉(zhuǎn)換為

由文獻(xiàn)［11］知，利用不變子空間方法，方程(6)在多項(xiàng)式空間W2=L{1，x2}中可以構(gòu)造解

再經(jīng)過變量代換u=ev，我們就可以得到熱方程的基本解

類似的變量變換在文獻(xiàn)［11］中還大量被使用于求解一些非線性偏微分方程.

3 積分變換

在微分方程中常常使用兩類積分變換，一類是Laplace 變換，另一類是Fourier 變換.事實(shí)上，在文獻(xiàn)［12］中指出，這兩類積分變換可以看成是相通的.Laplace 變換一般用于常系數(shù)線性常微分方程(組)初值問題的求解中，其主要思想是將常系數(shù)線性常微分方程初值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來求解;Fourier 變換一般用于線性偏微分方程初值問題的求解中，其主要思想是將線性偏微分方程初值問題轉(zhuǎn)化為線性常微分方程初值問題來求解.在有些偏微分方程初邊值問題中也會(huì)采用Laplace變換.

考慮微分方程初值問題

其中ai是常數(shù)，f(t)連續(xù)且滿足原函數(shù)的條件.設(shè)

利用Laplace 變換的相關(guān)性質(zhì)可以得到

其中

再由Laplace 變換表可以得到x(t)［1］.下面將給出一個(gè)例子解釋這個(gè)過程.

例2 求解常微分方程初值問題

解 先令λ=t-1 問題化為

再對(duì)變換后的方程兩邊作Laplace 變換，得到

因此，

由Laplace 變換表得到

從而得到原問題的解

本文以熱傳導(dǎo)方程的柯西問題為例解釋Fourier 變換求解線性偏微分方程初值問題的過程［10］.考慮熱傳導(dǎo)方程的柯西問題

設(shè)

對(duì)原問題進(jìn)行Fourier 變換，則有

求解此常微分方程初值問題，得到

而

因此，可得到齊次熱方程的柯西問題的解

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