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    關(guān)于非線性退化時滯微分方程解的研究①

    2015-04-14 08:05:24張志信
    關(guān)鍵詞:科學(xué)出版社正則時滯

    王 健,張志信,蔣 威

    (安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥230601)

    0 引 言

    近年來,控制系統(tǒng)引起了國內(nèi)外許多學(xué)者們的廣泛研究.在控制系統(tǒng)是否穩(wěn)定和穩(wěn)定時對其解是否可控制的方面正吸引著許多學(xué)者們孜孜不倦的探索著.雖然現(xiàn)在已經(jīng)在系統(tǒng)穩(wěn)定性[1~4]的研究上取得了豐碩的重要的成果,但都只是在常微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題上,而關(guān)于退化的時滯微分系統(tǒng)的研究中,結(jié)果相對較少,而時滯現(xiàn)象普遍存在于實(shí)際系統(tǒng)中,是我們在系統(tǒng)建模時必須要考慮的重要因素之一.目前關(guān)于退化時滯微分方程的研究已引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注,并取得了一定的理論成果[5~8,10~16],而且隨著科技發(fā)展和實(shí)際建模的復(fù)雜性提高,退化時滯微分系統(tǒng)廣泛的用于控制系統(tǒng),管理系統(tǒng),工程系統(tǒng),金融分析系統(tǒng)等許多科學(xué)和工程系統(tǒng)中,所以研究這類退化時滯微分系統(tǒng)具有十分重要的實(shí)際意義.本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上,研究了含有退化和時滯現(xiàn)象的非線性系統(tǒng)的解的估計問題,所研究的非線性系統(tǒng)具有很重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價值.

    在文獻(xiàn)[7]中討論了對退化多時滯微分系統(tǒng):

    作者在系統(tǒng)是正則的條件下給出解的存在性和指數(shù)估計的充分條件.

    文獻(xiàn)[8]對退化中立型退化多時滯微分系統(tǒng):

    作者給出了此系統(tǒng)解的存在性和指數(shù)穩(wěn)定問題.

    本文主要討論了如下非線性退化時滯微分系統(tǒng)的解的存在性和指數(shù)估計問題

    其中E ∈Rn×n,E ≠0,|E|=0,τ >0,矩陣對(E,A)是正則的,x(t),φ(t),f(t,x(t-τ))∈Rn,且有x(t),f(t,x(t-τ))在(t >0)上是連續(xù)函數(shù),并且φ(t),f(t,x(t-τ))是有界函數(shù).

    1 預(yù)備知識

    定義1.1 對矩陣對(E,A),若存在不全為零的常數(shù)λ 使得det(λE+A)不恒等于0,則稱(E,A)是正則的.若det(λE+A)不恒等于常數(shù),則稱矩陣對(E,A)是嚴(yán)格正則的.

    引理1.1[9]系統(tǒng)

    的解存在唯一的充要條件是矩陣對(E,A)是正則的.

    引理1.2[9]如果矩陣對(E,A)是正則的,則存在可逆矩陣P,Q 使得

    其中n1+n2=n,In1和In2分別是n1,n2階單位矩陣,Nn2是n2階冪零矩陣.

    引理1.3[10]Gromwell 不等式,若u(t),α(t)都是[a,b]上連續(xù)的實(shí)函數(shù),β(t)≥0 在[a,b]上可積,α(t)非減,且有:

    則必有:

    引理1.4[11]設(shè)D 為微分算子,N 為冪零矩陣,則算子(ND-I)-1存在且為有界線性算子.

    2 解的存在性

    定理1: 若系統(tǒng)(3)是正則的,則存在滿足初始條件的解x(t)(t >0).

    證明: 因?yàn)榫仃噷?E,A)是正則的,所以存在可逆矩陣P,Q 使得,其中A1是n1維的,并且n1+n2=n,這里令所以系統(tǒng)(3)就化為:

    (5)方程的兩邊得到方程:

    是可逆的矩陣)所以(6)和(5)是同解的.

    b)對(6)第二個式子首先考慮t ∈[0,τ]時,

    d)在區(qū)間[τ,2τ]上,利用b)中的方法在由a)和b)可得解(t),(t ∈[τ,2τ])也是存在且唯一的;

    e)在其他區(qū)間[iτ,(i+1)τ],(i >1)上,由上訴的方法類似證明可知方程的解是存在且唯一的,綜上所述可知,當(dāng)t ≥0 時(6)的解是存在的,即系統(tǒng)(3)解是存在的.

    證畢.

    3 解的指數(shù)估計

    定理2: 設(shè)x(t)為(3)的解,若系統(tǒng)(3)是正則的,且有界連續(xù)函數(shù)g(t,x(t-τ))滿足Lipchitz條件的,則存在正常數(shù)a,b,使得:x(t)≤aebt

    證明: 下面考慮系統(tǒng)(3)的等價方程(6),

    a)對方程(6)第一個式子兩邊同時積分0 →t,由于

    b)對(6)第二個方程,在0 ≤t 時,

    由引理2.4 可知(ND-I)是可逆的有界算子,設(shè)|(ND-I)|-1|≤M2,(M2>0),所以上式可化為:

    聯(lián)立(7)和(8)式得:

    則(9)式變?yōu)?

    其中:

    由引理2.3 Gromwell 不等式得:

    又因?yàn)?3)和(6)同解則:

    即系統(tǒng)(3)的解可指數(shù)估計.

    證畢.

    4 中立型的研究

    對于非線性中立型退化時滯微分方程:

    令:

    則對(10)系統(tǒng)第一個方程整理得:

    聯(lián)立方程(11)和(12)得:

    設(shè):

    則(10)可以化為:

    則(10)和(13)同解的,且將非線性中立型退化時滯微分方程轉(zhuǎn)化為一般的非線性退化時滯微分方程研究,其也有解的存在性和指數(shù)估計.

    具體例子:考慮如下系統(tǒng):

    所以有:a=5,b=2

    則系統(tǒng)(14)的解滿足:

    [1] Mao X.Exponential Stability of Nonlinear Differential Delay Equations[J].Systems and Control Letters,1996,(28):159-165.

    [2] Jie Chen.On Computing the Maximal Delay Intervals for Stability of Linear Delay Systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1995,(40):1087-1093.

    [3] John Chiasson.A Method for Computing the Interval of Delay Values for Which a Differential-delay System is Stable[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1988(33):1176-1178.

    [4] Brierley S D,Chiasson J N,Zak S H.On Stability Independent of Delay for Linear Systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1982,(27):252-254.

    [5] 蔣威.時變退化時滯微分系統(tǒng)的變易公式[J].數(shù)學(xué)年刊,2003,24A(2):161-166.

    [6] 王曉佳.廣義時滯微分方程的漸近穩(wěn)定性和數(shù)值分析[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2008,28(4):13-16.

    [7] 周先鋒.關(guān)于退化多時滯泛函微分方程解的研究[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,22(1):177-184.

    [8] 王曉佳.退化時滯中立型微分系統(tǒng)解的存在唯一性及指數(shù)估計[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,24(2):384-390.

    [9] Gnatcatcher FR.The Theory of Matrices,Vol.2[M].New York:Chalse,1974.

    [10] 鄭祖庥.泛函微分方程理論[M].合肥:安徽教育出版社,1994.

    [11] 蔣威.退化時滯微分系統(tǒng)[M].合肥:安徽大學(xué)出版社,1998.

    [12] Dai L.Singular Control Systems[M].New York:Springer,1989.

    [13] Campbell S L.Singular Systems of Differential Equations[M].San Francisco:Pitman Advanced Publishing Program,1980.

    [14] 楊冬梅,等.廣義系統(tǒng)[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

    [15] 蘇曉明,等.廣義周期時變系統(tǒng)[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

    [16] 秦元勛,等.帶有時滯的動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性(第2 版)[M].北京:科學(xué)出版社,1989.

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