群G 的模糊子群與正規(guī)模糊子群①

馬斌斌，桑小雙

(安徽大學數(shù)學科學學院，安徽 合肥230601)

0 引 言

自從1965 年Zadeh［1］提出模糊集［2～3］的概念以來，模糊概念作為普通概念的推廣便逐漸引入了數(shù)學的各個分支，群［4］隨之也被模糊化，模糊集和系統(tǒng)理論［5］得到了快速的發(fā)展.1971 年Rosenfeld［6］引入了模糊群的概念，由此開創(chuàng)了模糊代數(shù)的研究領域;1982 年劉旺金［7］提出了模糊正規(guī)子群等一些概念，并討論了有關性質.隨后，許多學者對模糊子群的代數(shù)性質進行了系統(tǒng)的研究［8～9］.1990 年Biswas R［10］提出來反模糊子群的概念，進一步拓寬了模糊代數(shù)學的研究領域，之后不少學者對反模糊子群進行了深入且有意義的研究［11～14］，得到了一系列的研究成果.

在上述研究的基礎上，從代數(shù)的角度引入了模糊子群的左陪集和右陪集，證明了左右陪集之間存在雙射，進一步刻畫了模糊子群，并對模糊子群的若干性質進行了探討.

1 預備知識

定義1.1［4］: 一個非空集合G 對于一個叫做乘法的代數(shù)運算?來說作成一個群，假如

(1)G 對于乘法來說封閉:?x，y ∈G，x ?y ∈G;

(2)結合律成立?x，y，z ∈G，x ?(y ?z)=(x?y)?z;

(3)對于?x ∈G，G 中至少存在一個單位元e，使得e ?x=x ?e=x 成立;

(4)對于?x ∈G，G 中至少存在一個單位元x－1，使得x－1?x=x ?x－1=e 成立.

定義1.2［4］: 設H 為G 的一個子群，x ∈G，則稱群G 的子集xH={xh/h ∈H}為群G 關于子群H 的一個左陪集，而稱Hx={hx/h ∈H}為群G 關于子群H 的一個右陪集.

定義1.3［4］: 設H 是群G 的一個子群，如果對G 中每個元素x 都有xN=Nx 即xNx－1=N，稱N 是群G 的一個正規(guī)子群.

2 模糊子群

上面介紹了經典集合中的子群，陪集，正規(guī)子群的定義，性質及定理，下面將過渡到模糊子集中.在討論模糊子群前，先介紹λ－截集.

定義2.1［3］: 設X 為一論域，F(xiàn)(X)為X 上的模糊子集的全體，A ∈F(X)，對于?λ ∈［0，1］，Aλ={x ∈X/A(x)≥λ}稱為A 的λ－截集.

定義2.2［1］: 設G 為一個群，A ∈F(G)，如果?x，y ∈G，滿足下列條件

則稱A 為G 的一個模糊子群，因此G 的性質同樣適用于A.

定理2.1［1］: 群G 的模糊子集A 為G 群的一個模糊子群當且僅當

定理2.2: 群G 的模糊子集A 為群G 的一個模糊子群的充要條件是Aλ為群G 的一個子群.

證明:(?)(1)?x，y ∈Aλ，可得A(x)≥λ，A(y)≥λ，又A 為群G 的一個模糊子群，有A(xy)≥A(x)∧A(y)≥λ，故xy ∈Aλ.

(2)?x ∈Aλ，由A 為群G 的一個模糊子群可得A(x－1)≥A(x)≥λ，于是x－1∈Aλ綜上可得A為群G 的一個子群.

(?)由Aλ={x ∈X/A(x)≥λ}知，若x ∈Aλ，則A(x)≥λ，從而A(x)=∨{λ/x ∈Aλ}，故A(xy)=∨{λ/xy ∈Aλ}≥∨{λ/A(x)≥λ，A(y)≥λ}=A(x)∧A(y);A(x－1)=∨{λ/x－1∈Aλ}≥∨{λ/x ∈Aλ}=∨{λ/A(x)≥λ}=A(x)

綜上可得A 為群G 的一個模糊子群.

3 正規(guī)模糊子群

定義3.1: 設A 為群G 的一個模糊子集，對于?x ∈G，則稱xA，Ax 也為群G 的模糊子集，且對?y ∈G，有(xA)y = A(x－1y)，(Ax)(y)=A(yx－1).

定義3.2: 設G 為一個群，A 為群G 的一個模糊子群，對于?x ∈G，則稱xA 為模糊子群A 的一個左陪集，同理稱Ax 為模糊子群A 的一個右陪集，且對?y ∈G，有(xA)y =A(x－1y)，(Ax)(y)=A(yx－1).

可以看出，一般情況下，一個模糊子群A 的左右陪集不相等，接下來我們將要討論模糊子群A 的陪集的性質.

定理3.1: 設A 為群的G 一個模糊子群，對于?y ∈G，則

(2)(Ax)(y)≥A(x)∧A(y).

證明:(1)(xA)y = A(x－1y)≥A(x－1)∧A(y)，又A(x－1)≥A(x)，所以A(x－1)∧A(y)≥A(x)∧A(y)，從而有(xA)(y)≥A(x)∧A(y).

(2)同理可證(Ax)(y)≥A(x)∧A(y).

定理3.2: 設A 為群的G 一個模糊子群，令M={xA/x ∈G}，N={Ax/x ∈G}，則M 與N 之間存在一個雙射，從而模糊子群A 的左右陪集的個數(shù)或者無限或者有限且個數(shù)相等.

證明: 在M 與N 之間存在一個映射f:M →N，xA →Ax 顯然為一個映射.

(2)對于?x ∈G，A 的一個右陪集Ax 都有一個左陪集xA 與之對應，所以f 為滿射，綜上的f 為雙射.

定義3.3: 設A 為群G 的一個模糊子群，?x∈G，若有Ax=xA，則稱A 為群G 的一個正規(guī)模糊子群.

定理3.3: 若群G 為一交換群，則群G 的任一模糊子群都是G 的正規(guī)模糊子群.

證明: 設A 為群G 的一個模糊子群，?x ∈G，則稱xA 為模糊子群A 的一個模糊子集，故?y ∈G，有(xA)(y)=A(x－1y)，又群G 為一交換群，故x－1y=yx－1，從而(xA)(y)=A(x－1y)=A(yx－1)=(Ax)(y)，由y 的任意性得Ax=xA，故模糊子群A 為G 的正規(guī)模糊子群.

證明:(?)設A 為群G 的一個模糊子群，有xA=Ax(?x ∈G)，于是

(?)由已知A(xy)=A(yz)(?x，y ∈G)得A(x－1y)=A(yx－1)，從而對?y ∈G，有(xA)(y)=A(x－1y)=A(yx－1)=(Ax)(y)，由y 的任意性得xA=Ax(?x ∈G)，即A 為群G 的正規(guī)模糊子群.

定理3.5: 群G 的模糊子群A 為群G 的正規(guī)模糊子群的充要條件是

證明:(?)由定理3.4 和子群對結合律成立得

(?)已知A(xyx－1)≥A(y)(?x，y ∈G)，則

同理可證(Ax)(y)≥(xA)(y)，故(Ax)(y)=(xA)(y)(?y ∈G)，從而xA=Ax(?x ∈G)，即A為群G 的正規(guī)模糊子群.

定理3.6: 群G 的模糊子群A 為群G 的正規(guī)模糊子群的充要條件是

證明:(?)A 為群G 的一個模糊子群，對于?y ∈G，(xAx－1)(y)=(Axx－1)(y)=A(y)，由y的任意性得xAx－1=A，當然有xAx－1?A(?x ∈G).

(?)已知?x ∈G，有xAx－1?A，則?y ∈G，(xAx－1)(yx－1)≤A(yx－1)，即(xAx－1x)(y)≤(Ax)(y)，因此(xA)≤(Ax)，從而由Y 的任意性得xA ?Ax，同理可證xA ?Ax.

高校行政權力和學術權力在運行機制方面的問題其主要表現(xiàn)：決策機制方面，各學術權力機構在實際運行中的教授治學氛圍不濃，民主程度有待提高，行政權力在決策中發(fā)揮主導作用；運行機制方面，行政權力主導學術權力，雖基本上都成立了校學術委員會，但教學委員會等發(fā)展不充分，其運行機制難以發(fā)揮作用，學術權力運行受限；監(jiān)督機制方面：普通老師參與不足，各高校對學術權力機構的設置隨意性大。事實上高校學術權力和行政權力之間確實存在著沖突與矛盾，但是通過建立有效的機制和保障措施，最終學術權力和行政權力可以協(xié)調發(fā)展。

綜上可得A 為群G 的正規(guī)模糊子群.

綜合上面介紹的幾個關于正規(guī)模糊子群的定理可得一下命題成立.

命題3.1:A 為群G 的一個模糊子群，則下列條件是等價的

(1)A 為群G 的正規(guī)模糊子群;

(2)A(xy)=A(yx)(?x，y ∈G);

(3)Ax=xA(?x ∈G); (7)

(4)A(xyx－1)≥A(y)(?x，y ∈G);

(5)xAx－1?A(?x ∈G).

［1］ Zadeh A.Fuzzy Sets［J］.Information and Control，1965(8):338－353.

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