腦電信號(hào)的非線性動(dòng)力學(xué)分析①

劉桂珍，于 影，李憲芝，聞邦椿

(1.佳木斯大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江 佳木斯154007;2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng)110004)

0 引 言

腦電圖是腦神經(jīng)細(xì)胞電生理活動(dòng)在大腦皮層的總體反映，它蘊(yùn)含大量的生理和疾病信息，在臨床醫(yī)學(xué)中常作為某些腦疾病的診斷依據(jù)和提供輔助治療的手段.在傳統(tǒng)研究方法中，腦電信號(hào)被視為一種準(zhǔn)平穩(wěn)信號(hào)，通過(guò)譜分析、正交變換、逆濾波、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法來(lái)分析腦電信號(hào)［1］，雖取得一定的成效，但仍有許多不足.自1985 年Babloyantz［2］首次運(yùn)用非線性動(dòng)力學(xué)理論研究EEG(electroencephalogram)信號(hào)，得出人類在睡眠時(shí)EEG 信號(hào)處于混沌狀態(tài)伊始，腦電信號(hào)的研究迅速進(jìn)入到非線性動(dòng)力學(xué)時(shí)代.EEG 信號(hào)起源于一個(gè)高度的非線性系統(tǒng)，基于人體自身生理信息的復(fù)雜程度和生命現(xiàn)象的多重耦合［3］，利用非線性理論定量描述出腦電信號(hào)的復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)的演變信息，對(duì)于揭示生命體征更好的造福人類，具有重要意義.

本文基于非線性動(dòng)力學(xué)理論，對(duì)LILEY 建立的EEG 的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了相關(guān)維數(shù)和Lyapunov指數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，得出腦電信號(hào)具有混沌的結(jié)論.

1 EEG 動(dòng)力學(xué)方程

LILEY 等人以人腦生理結(jié)構(gòu)和醫(yī)學(xué)解剖為基礎(chǔ)，用非線性微分方程定義了腦神經(jīng)元集群處于興奮和抑制兩種狀態(tài)時(shí)的數(shù)學(xué)模型，其微分方程如方程組1［4］所示.

式(1)［5～15］中的1 ～2 個(gè)方程分別表述的是腦神經(jīng)元集群處于興奮型e 和抑制型i 兩種狀態(tài)時(shí)的平均膜電位he和hi隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系;第3 ～6 個(gè)方程表述的是突觸活動(dòng)與時(shí)間的變化關(guān)系，其中Ijk(j，k=e，i)表示前者j 對(duì)后者k 的神經(jīng)元作用;S 描述的是對(duì)應(yīng)e，i 兩類神經(jīng)元細(xì)胞膜電位在等價(jià)平均點(diǎn)時(shí)放電率的函數(shù)關(guān)系;A 和B，a 和b 分別表示對(duì)應(yīng)e，i 兩類神經(jīng)元集群的突觸后膜電位峰值的振幅和突觸速率常數(shù);τe，τi是兩類神經(jīng)元集群的細(xì)胞膜時(shí)間常數(shù);her，hir和heeq，hieq分別表示e，i 兩類神經(jīng)元集群的靜止和平衡電位;pee，pie和pie，pii代表e，i 兩類神經(jīng)元輸入.Nee，Nie和Nei，Nii分別表示e，i 兩類神經(jīng)元接受其他兩類神經(jīng)元集群傳遞信號(hào)的總數(shù).

式(2)中的q=e，i，是對(duì)式(1)中的函數(shù)S 量化關(guān)系的補(bǔ)充，hq表示兩種神經(jīng)元集群的平均細(xì)胞膜電位he和hi;qmax=emax，imax，代表兩種神經(jīng)元集群的最大閾值emax和imax;θq和sq分別表示為對(duì)應(yīng)于e，i 最大閾值時(shí)的電位值和標(biāo)準(zhǔn)偏差.

其中，

圖1 興奮型神經(jīng)元集群平均膜電位he

2 基本原理

2.1 相關(guān)維數(shù)

相關(guān)維數(shù)為非整數(shù)維數(shù)是數(shù)值識(shí)別混沌運(yùn)動(dòng)的一種判據(jù).

本文采用Grassberger 和Procaccia 在1983 年提出的針對(duì)時(shí)間序列計(jì)算吸引子維數(shù)的方法［10］.其目的是求出距離接近重構(gòu)相空間中的點(diǎn)占其重構(gòu)空間中的比重.其計(jì)算方法如下［11］:

(1)對(duì)一個(gè)離散時(shí)間序列{x(t)}，先以嵌入維數(shù)m 和時(shí)間延遲τ 重構(gòu)，重構(gòu)后空間中的一個(gè)點(diǎn)可表示為

(2)計(jì)算相關(guān)積分C(r).設(shè)重構(gòu)空間中有N個(gè)點(diǎn)，r 為兩兩配對(duì)點(diǎn)對(duì)之間任意兩個(gè)向量之間的距離，C(r)是滿足|Xi－Xj|＜r 的點(diǎn)對(duì)數(shù)目的概率，其計(jì)算公式如下:

式(4)中，M 表示在m 維空間中向量點(diǎn)的個(gè)數(shù)，H 是階躍函數(shù)，|Xi－Xj|表示相空間中任意兩個(gè)向量點(diǎn)之間的距離.

(3)做logr－logC(r)二維曲線.

(4)計(jì)算相關(guān)維數(shù)D2.將(3)所做曲中近似線性部分?jǐn)M合成直線，求該直線的斜率，即為相關(guān)維數(shù)D2的估計(jì)值.用公式表示即為:

圖2 興奮型神經(jīng)元集群細(xì)胞膜電位的相關(guān)維數(shù)

圖3 興奮型輸入pee 作參數(shù)的EEG 分岔圖

2.2 Lyapunov 指數(shù)

混沌運(yùn)動(dòng)的另一種判據(jù)是Lyapunov 指數(shù)為正數(shù).

求解最大的Lyapunov 指數(shù)的方法如下:

(1)在m 維相空間重構(gòu)中找到n 個(gè)向量點(diǎn)，得到的向量集記為

(2)計(jì)算該向量?jī)牲c(diǎn)間最近的距離記為d1:

(3)取時(shí)間步長(zhǎng)Δt，建立一個(gè)新向量，找出與新向量最近的向量距離d2，定義該時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)的指數(shù)增長(zhǎng)率λ1，則

(5)增加嵌入維數(shù)m，重復(fù)步驟(2)～(4)，當(dāng)L1隨嵌入維數(shù)m 的改變趨于穩(wěn)定，即為所求Lyapunov 指數(shù).

圖4 興奮型輸入Pee 作參數(shù)時(shí)LLE 變化圖

3 數(shù)值仿真

對(duì)模型(1)作降維處理，得到10 個(gè)一階常微分方程.模型(1)中參數(shù)分別取a=0.49ms－1，b=0.592ms－1，A=0.81mV，B =4.85mV，emax=imax=0.5ms－1，heeq=45mV，her=hei=－70mV，hieq=－90mV，Nee=Nei=3034，Nie=Nii=536，pie=pii=0ms－1，se=si=5mV，pei=11.9ms－1，θe=θi=－50mV，τe=9ms，τi=39ms［7］.

當(dāng)pee=12.9ms1時(shí)，選取迭代步長(zhǎng)0.01，時(shí)間長(zhǎng)度1000，迭代點(diǎn)數(shù)為100000，為減少初值對(duì)系統(tǒng)的影響，舍棄前10000 個(gè)點(diǎn).he是大腦皮層某局部區(qū)域興奮性神經(jīng)元集群的平均膜電位，它與EEG信號(hào)成正比［9］.圖1 是he的信號(hào)波形.

4 結(jié) 論

(1)模型(1)的動(dòng)力學(xué)行為主要是由控制參數(shù)pee和pei決定的［6，7］.

(2)圖2 表明，對(duì)he信號(hào)做關(guān)聯(lián)積分，當(dāng)嵌入維數(shù)m=8 時(shí)，求出關(guān)聯(lián)維數(shù)D2=1.7，關(guān)聯(lián)維數(shù)的非整數(shù)，證明腦電信號(hào)呈現(xiàn)混沌狀態(tài).

(3)由數(shù)值仿真圖3 可見(jiàn)，當(dāng)改變興奮性神經(jīng)元集群興奮性輸入?yún)?shù)pee值時(shí)，EEG 經(jīng)歷了穩(wěn)定周期→兩倍周期→倍周期分岔→混沌→半周期分岔→穩(wěn)定的變化歷程，結(jié)合圖3 和圖4，pee ∈［13.1ms－1，13.6ms－1］附近，出現(xiàn)周期窗.

(4)圖4 表明，最大Lyapunov 指數(shù)LLE 值出現(xiàn)在pee∈(12.64，14.36)內(nèi)，且為正數(shù)，證明腦電信號(hào)呈現(xiàn)混沌狀態(tài).

以上分析說(shuō)明，EEG 的非線性特征與輸入不同的電信號(hào)有關(guān).在一定參數(shù)區(qū)間內(nèi)，大腦呈現(xiàn)混沌狀態(tài).

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