基于改進灰色模型的疲勞壽命預測及可靠性評估

張愛菊, 張金豹, 張改麗

（1.中國北方車輛研究所, 北京100072；2.哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院, 黑龍江 哈爾濱150001）

基于改進灰色模型的疲勞壽命預測及可靠性評估

張愛菊1, 張金豹2, 張改麗1

（1.中國北方車輛研究所, 北京100072；2.哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院, 黑龍江 哈爾濱150001）

針對試驗件中對數(shù)疲勞壽命均值隨應力水平具有線性關系，但方差卻具有波動性的狀況，引入改進灰色模型對兩者進行仿真分析。采用粒子群優(yōu)化算法對模型多個參數(shù)進行估計。結果顯示對數(shù)疲勞壽命均值與試驗數(shù)據(jù)吻合良好，具有很好的線性關系；波動方差的擬合曲線順滑，不僅清晰地定性顯示其發(fā)展趨勢，還能夠定量地對均值和方差進行預測，尤其是對疲勞極限以下的壽命均值和方差的預測，避免了經(jīng)驗公式的使用。利用改進灰色模型預測得到的疲勞壽命均值和方差，結合疲勞累積損傷模型對塊譜作用下的試驗件可靠性進行了評估；通過中位秩計算試驗件的失效概率，驗證了可靠性仿真結果的正確性。

改進灰色模型；粒子群優(yōu)化；壽命預測；疲勞累積損傷模型；可靠性評估

1 前言

現(xiàn)代機械設備結構日趨復雜，且兼?zhèn)涓邏勖透呖煽啃缘囊螅虼顺３Ｐ枰谠O計階段進行可靠性預估來評價設備是否達到預期目標，并利用評估結果進一步指導設計的改進，推動設備的可靠性增長進程。在復雜設備的可靠性分析中，一般先采用有限元法進行危險面的受力分析，編制載荷譜，然后利用疲勞累積損傷模型進行疲勞壽命預測[1-3]。針對不同的載荷加載情況，國內(nèi)外學者建立了各種類型的疲勞累積損傷模型，其中線性Miner準則以其簡便準確而最為常用[4,5]。在使用線性Miner準則進行疲勞壽命預測和可靠性評估的過程中，疲勞累積損傷的概率分布需要通過疲勞壽命分布轉(zhuǎn)換獲得，因此有必要對疲勞壽命進行計算分析[6]。

疲勞壽命多采用三參數(shù)S-N曲線公式表示，并假設疲勞壽命均值及方差都與應力呈對數(shù)線性關系，該假設是在大量試驗數(shù)據(jù)的基礎上得到的[7]。當疲勞壽命數(shù)據(jù)比較散亂或只有小樣本時，通常利用上述假設對模型進行擬合或預測[6,8]。但有些材料并不一定服從上述假設，李洪雙[9]等在利用加權最小二乘和Bootstrap法對材料LY12CZ的對數(shù)疲勞壽命方差進行分析后發(fā)現(xiàn)，對數(shù)疲勞壽命的標準差與應力水平的對數(shù)線性關系假設是不合理的。由于疲勞試驗件幾何尺寸和形狀、表面處理等的不同，失效樣本的不足或其它未知的信息，都會導致統(tǒng)計信息出現(xiàn)不確定現(xiàn)象。

灰色系統(tǒng)理論[10]以其研究對象“外延明確，內(nèi)涵不明確”的特點為疲勞壽命預測提供了新的思路。本文中“內(nèi)涵不明確”指的是影響疲勞壽命不確定性的各類已知或未知的因素；“外延明確”則是指對疲勞壽命的預測，如小載荷下疲勞壽命的預測?；疑到y(tǒng)理論以“小樣本”不確定性系統(tǒng)為研究對象，通過對原始數(shù)據(jù)序列的累加生成，弱化隨機擾動因素的影響，利用累加后數(shù)據(jù)的指數(shù)增長規(guī)律進行預測，能夠真實地反映了疲勞壽命隨應力水平的變化規(guī)律。文獻[3, 11]均采用灰色模型結合線性Miner準則對疲勞壽命進行了預測，且考慮了小載荷對疲勞壽命的影響，但兩者在計算過程中并未涉及疲勞壽命的分散性問題，無法對機構零部件的可靠性進行評估。因此本文引入能同時考慮指數(shù)變化和線性變化的改進灰色模型，分別對隨應力水平呈線性變化的疲勞壽命均值和隨應力水平波動變化的方差進行預測，其中改進灰色預測模型的參數(shù)由粒子群優(yōu)化算法進行估計；并利用疲勞累積損傷模型對塊譜作用下的試驗件進行了可靠性評估。

2 改進灰色模型

設非等間距非負序列

有 ? ki= ki? ki?1≠ c o n s t ，若

式（5）累減還原得到原始數(shù)據(jù)預測結果

式中, c1，c2，c3，v為待定參數(shù)。當c1=0時可實現(xiàn)線性變化序列的預測；當c2=0時為傳統(tǒng)的灰色預測模型，因此該式可以適用于線性和指數(shù)規(guī)律變化的數(shù)據(jù)序列預測。

在灰色模型的參數(shù)估計中，相比最小二乘法，智能優(yōu)化算法如遺傳算法[13]、人工魚群算法[14]等估計的參數(shù)能夠使模型對數(shù)據(jù)的擬合精度更高。鑒于此，本文對改進灰色模型的參數(shù)采用粒子群優(yōu)化算法進行同時估計?？紤]擬合效果和適應函數(shù)的簡潔性，選用最小均方根誤差為適應度函數(shù)

3 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法[15]是一種基于群智能的進化計算技術，源于對鳥群捕食行為的研究。通過在算法中初始化一組隨機粒子，跟蹤當前最優(yōu)的粒子來搜索最優(yōu)解。設在N維的目標搜索空間中，有M個粒子組成一個群體，其中在第t次迭代時粒子Pi的位置矢量表示為

表示的是群體信息的影響，體現(xiàn)粒子間的信息共享和合作。

在第t+1次迭代計算中，粒子P1可根據(jù)下式

更新自己的速度和位置，如圖1所示。

式中，c1和c2為學習因子，一般取2； rand（）為介于[0,1]之間的隨機數(shù)；ω為慣性權重，取大值時可使算法具有較強的全局搜索能力，取小值時則算法傾向于局部搜索。在本文計算中，慣性權重為隨迭代次數(shù)逐漸變化的量，表達式為ω

其中， ， ； 表示最大的迭代次數(shù)； Miter表示當前迭代次數(shù)。

為防止粒子遠離搜索空間，粒子的每一維速度vn都會限制在[-vnmax,vnmax]之間，即若vn＞vnmax，vn＝vnmax；vnmax＜-vnmax，vn＝-vnmax。邊界進行反射處理。粒子群優(yōu)化算法實現(xiàn)步驟如圖2示。ω=max0.9ω=min0.1Mitermax

圖1 粒子位置更新示意圖

圖2 粒子群優(yōu)化實現(xiàn)步驟

4 疲勞累積損傷模型

對同一零部件，在不同應力水平下，一般假設疲勞壽命服從同一種分布類型。當疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布時，其概率密度函數(shù)為：

其中μN，σN分別為對數(shù)疲勞壽命的均值和方差。

線性Miner準則表達式

其中， n為載荷加載次數(shù)，N為疲勞壽命。

當n = N時，疲勞累積損傷和疲勞壽命之間關系如圖3所示，有

將(19)和(20)式代入式(17)推導出疲勞累積損傷服從對數(shù)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為

圖3 疲勞累積損傷與壽命概率等效圖

疲勞累積損傷的功能函數(shù)為

從而得到時變可靠性預測模型[16,17]

式中，累積損傷臨界值μDc=1，k級載荷下累積損傷均值及方差隨作用次數(shù)的表達式為

可靠性仿真結果的驗證試驗數(shù)據(jù)由中位秩計算得到的失效概率

轉(zhuǎn)換獲得，從而得到試驗件的可靠性

其中i表示元件按從小到大排列的次序，m表示試驗件數(shù)。

5 工程實例

算例分析的材料分別為45#鋼焊接接頭切口件（第一組）[18]和正火45#鋼切口件（第二組）[19]，試驗數(shù)據(jù)如表1所示，疲勞壽命單位為次。試驗件應力集中系數(shù)均為ki=2，應力比r=-1。對數(shù)疲勞壽命預測與可靠性評估仿真過程如圖4所示。

表1 試驗數(shù)據(jù)

圖4 對數(shù)疲勞壽命預測及可靠性評估仿真過程

5.1 疲勞壽命擬合

兩組數(shù)據(jù)應力水平之間均為非等間距，為便于計算，對原始數(shù)據(jù)中應力水平間距進行處理，第一組等效間距應力水平

第二組等效間距應力水平

等效間距ki計算結果如表1所示，即應力水平隨等效間距的增大而減小。在兩個實例中，疲勞壽命均值均利用式（8）直接進行擬合，而方差則需進行一次累加，經(jīng)粒子群優(yōu)化算法估計的模型參數(shù)如表2所示，參數(shù)估計過程中迭代的均方根誤差如圖5所示，對數(shù)疲勞壽命均值和方差的擬合結果如圖6所示。可以看出，均值隨應力水平線性關系擬合良好；擬合后的方差不僅波動性減小，而且能夠顯示方差隨應力水平的變化趨勢。第一組中方差擬合曲線隨應力水平的減小而增大，第二組中方差擬合曲線則隨應力水平的減小趨于平緩。

表2 采用粒子群優(yōu)化算法估計的改進灰色模型參數(shù)

圖5 粒子群優(yōu)化算法迭代誤差

圖6 疲勞壽命方差和均值擬合及試驗數(shù)據(jù)對比

5.2 可靠性評估

兩組數(shù)據(jù)的疲勞極限分別為409.2MPa（第一組）和331.6MPa（第二組）。在可靠性評估中，加載載荷形式如圖7所示，方框內(nèi)數(shù)字表示完成一次載荷譜加載各等級載荷作用次數(shù)，第一組中加載載荷都大于疲勞極限，而第二組則需要考慮小載荷對疲勞壽命的影響。利用改進灰色模型預測加載載荷譜對應疲勞壽命均值和方差如圖8所示，兩組預測數(shù)據(jù)中對數(shù)疲勞壽命均值隨應力水平均呈現(xiàn)良好的線性關系；第一組對數(shù)壽命方差隨應力水平的減小而逐漸變大，而第二組中方差則逐漸減小，但均無明顯的線性關系。

圖7 加載載荷譜

圖8 對數(shù)疲勞壽命均值和方差

將預測得到疲勞壽命均值及方差代入疲勞累積損傷模型即可對可靠性進行評估，結果如圖9所示。兩組可靠性仿真結果在可靠度下降階段均能夠準確擬合。第二組考慮小載荷的作用后仿真結果在可靠度下降初始階段更趨近于試驗數(shù)據(jù)，從而使零部件能夠更加安全地使用。

圖9 可靠度仿真結果及試驗對比

6 結論

結合粒子群優(yōu)化算法進行參數(shù)估計，灰色模型對對數(shù)疲勞壽命均值的線性關系和波動方差的非線性關系均能夠準確地進行光滑擬合和預測。在疲勞壽命準確預測的基礎上，結合疲勞累積損傷模型對塊譜下的試驗件進行可靠性評估，經(jīng)與試驗數(shù)據(jù)對比，可靠度仿真結果良好。

驗證結果進一步說明了灰色系統(tǒng)理論在疲勞壽命預測及可靠性評估的工程應用價值，能夠不依賴于先驗數(shù)據(jù)假設，而是從現(xiàn)有的小樣本，且雜亂分散的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)疲勞壽命的發(fā)展規(guī)律并進行預測。在接近整體系統(tǒng)的層次，如可靠性評估，則更能趨于零部件疲勞壽命變化的真實性和準確性。

[1]趙維濤, 安偉光, 吳香國, 等. 基于累積損傷的結構系統(tǒng)時變剛度可靠性分析[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2006, 27(6): 812-815.

[2]S.H. Baek, S.S. Cho, W.S. Joo. Fatigue life prediction based on the rainflow cycle counting method for the end beam of a freight car bogie[J]. International Journal of Automotive Tech nology, 2008, 9(1): 95-101.

[3]童水光, 王相兵, 魏超, 等. 液壓挖掘機臂桿結構疲勞壽命預測方法研究[J]. 中國機械工程, 2014, 25(16): -2172.

[4]A. Fatemi, L. Yang. Cumulative fatigue damage and life pred iction theories: a survey of the state of the art for homogeneous materials[J]. International Journal of Fatigue, 1998, 20(1): 9-34.

[5]A. Aid, A. Amrouche, B.B. Bouiadjra, et al. Fatigue life prediction under variable loading based on a new damage model [J]. Materials & Design, 2011, 32(1): 183-191.

[6]謝里陽, 劉建中, 吳寧祥, 等. 風電裝備傳動系統(tǒng)及零部件疲勞可靠性評估方法[J]. 機械工程學報, 2014, 50 (11): 1-8.

[7]申宏偉, 林吉忠, 穆恩生. 疲勞失效壽命概率分布的連續(xù)模型[J]. 中國鐵道科學, 2001, 22(3): 86-90.

[8]J. Klemenc, M. Fajdiga. Estimating S-N curves and their scatter using a differential ant-stigmergy algorithm[J]. Intern ational Journal of Fatigue, 2012, 43: 90-97.

[9]李洪雙, 呂震宙. 估計疲勞壽命三參數(shù)P-S-N曲線的新方法[J]. 機械強度, 2007, 29(2): 300-304.

[10]Liu Sifeng, Hu Mingli, Forrest Jeffrey, et al. Progress of grey system models[J]. Transaction of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2012, 29(2): 103-111.

[11]王旭亮, 聶宏. 基于灰色系統(tǒng)GM(1,1)模型的疲勞壽命預測方法[J]. 南京航空航天大學學報, 2008, 40(6): 845-848.

[12]許紹杰, 王晗中, 王年生, 等. 改進不等時距灰色GM(1,1)模型及其應用[J]. 數(shù)學的實踐與認識, 2011, 41(8): 108-114.

[13]C.H. Wang, L.C. Hsu. Using genetic algorithms grey theory to forecast high technology industrial output[J]. Applied Mathematics and Computation, 2008, 195(1): 256-263.

[14]Z. Lin, Q. Zhang, H. Liu. Parameters optimization of GM(1, 1) model based on artificial fish swarm algorithm[J]. Grey Systems: Theory and Application, 2012, 2(2): 166-177.

[15]Marco A. Montes de Oca, T. Stutzle, M. Birattari, et al. Fra nken-stein's PSO: a composite particle swarm optimization algorithm[J]. Evolutionary Computation, IEEE Transactions on, 2009, 13(5): 1120-1132.

[16]V. Rathod, O.P. Yadav, A. Rathore, et al. Probabilistic mode ling of fatigue damage accumulation for reliability prediction[J]. International Journal of Quality, Statistics, and Reliability, 2011, 2011: 1-10.

[17]S.P. Zhu, H.Z. Huang, Y. Li, et al. Probabilistic modeling of damage accumulation for time-dependent fatigue reliabi lity analysis of railway axle steels[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part F: Journal of Rail and Rapid Transit, 2013, 0(0): 1-11.

[18]J.H. Yan, X.L. Zheng, K. Zhao. Prediction of fatigue life and its probability distribution of notched friction welded joints under variable-amplitude loading[J]. International Journal of Fatigue, 2000, 22(6): 481-494.

[19]X.L. Zheng, J.F. Wei. On the prediction of P-S-N curves of 45 steel notched elements and probability distribution of fatigue life under variable amplitude loading from tensile properties[J]. International Journal of Fatigue, 2005, 27(6): 601-609.

（編輯：鐘 媛）

Fatigue life prediction and reliability evaluation based on modified grey model

Zhang Aiju1, Zhang Jinbao2, Zhang Gaili1
(1. China North Vehicle Research Institure, Beijing 100072,China;2. School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001,China)

The modified grey model was introduced to simulate the mean value of the logarithm fatigue life with linear relationship corresponding to the load level, and the variance with fluctuation. The multiple parameters of the model was estimated with particle swarm optimization. The result shows that the mean value fits well with the experiment data and has an excellent linear relationship; the fitting curve of the fluctuation variance is smoothed and demonstrates the growing trend clearly as well as quantificationally predicts the mean value and the variance, expecially for the ones under the fatigue limit, which avoids the employ of the empirical formula. With the mean value and the variance predicted by the modified grey model, the reliability was evluated under the block spectrum combining with the fatigue accumulated damage model. The simulation result of the reliability is verified with the failure probability computed by the median rank.

modified grey model; particle swarm optimization; life prediction; fatigue accumulated damage model; reliability evaluation

TG115.5+7

A

1672-4852（2015）04-0037-06

2015-11-12.

張愛菊（1964-），女，高級工程師.