泡沫鋁材料動態(tài)本構(gòu)參數(shù)的實驗確定

丁圓圓,楊黎明,王禮立

(寧波大學(xué)力學(xué)與材料科學(xué)研究中心，浙江 寧波 315211)

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泡沫鋁材料動態(tài)本構(gòu)參數(shù)的實驗確定

丁圓圓,楊黎明,王禮立

(寧波大學(xué)力學(xué)與材料科學(xué)研究中心，浙江 寧波 315211)

基于泡沫材料的動態(tài)剛性-線性硬化塑性-剛性卸載(D-R-LHP-R)模型，結(jié)合連續(xù)性方程，動量守恒方程及剛體的運動方程，得到了激波在泡沫材料中的量綱一消失位置Xs/L0和動態(tài)屈服應(yīng)力Yi、激波波速cp、沖擊初始應(yīng)變εi之間的如下關(guān)系式：

固體力學(xué)；動態(tài)力學(xué)特性；動態(tài)剛性-線性硬化塑性-剛性卸載(D-R-LHP-R)模型；泡沫鋁；激波

泡沫鋁材料作為一種泡沫金屬材料的典型產(chǎn)品經(jīng)常被用于輕質(zhì)吸能材料。近年來，泡沫鋁材料的動態(tài)特性研究備受科研工作者的青睞。V.S.Deshpande等[1]、K.A.Dannemann等[2]、T.Mukai等[3]通過SHPB技術(shù)對泡沫鋁材料的應(yīng)變率效應(yīng)進行了研究。R.Montanini[4]運用bi-pendulum裝置對3類泡沫鋁(M-PORE、CYMAT、SCHUNK)進行動態(tài)實驗，發(fā)現(xiàn)擁有開孔結(jié)構(gòu)的M-PORE泡沫材料對應(yīng)變率不敏感，而擁有閉孔結(jié)構(gòu)的CYMAT和SCHUNK泡沫材料對應(yīng)變率敏感。S.L.Lopatnikov等[5]對泡沫鋁進行了Taylor-Hopkinson實驗同時得到邊界應(yīng)力和激波停止位置。理論分析方面， V.P.W.Shim等[6]提出一維彈簧質(zhì)量模型研究開孔多胞結(jié)構(gòu)的沖擊變形，并說明了開孔結(jié)構(gòu)中單個胞孔存在著應(yīng)變軟化現(xiàn)象。Q.M.Li等[7]同樣采用質(zhì)量彈簧模型說明多胞材料在沖擊變形過程中可能出現(xiàn)應(yīng)力增強現(xiàn)象。但J.J.Harrigan等[8]認為用“激波理論”描述多胞材料的應(yīng)力波傳播更適合，基于激波理論得到的結(jié)果與有限元分析得到的結(jié)果吻合很好。早在1997年，S.R.Reid等[9]就提出了用“激波”來解釋多孔材料中的某些現(xiàn)象，并提出了剛性-理想塑性-鎖定(R-PP-L)模型來描述木材的動態(tài)響應(yīng)。S.L.Lopatnikov等[5,10]用“彈性-理想塑性-剛性”模型和激波分析揭示泡沫鋁材料的變形過程。J.J.Harrigan等[11]通過激波理論結(jié)合“剛性-軟化-硬化”和“彈性-軟化-硬化”模型來研究木材在高應(yīng)變率下的動態(tài)行為，并和實驗結(jié)果吻合得很好。同年，P.J.Tan等[12]采用了R-PP-L模型研究多胞結(jié)構(gòu)的沖擊行為。

國內(nèi)研究泡沫鋁材料的性能起步比較晚，始于20世紀(jì)80年代。胡時勝等[13]認為胞孔結(jié)構(gòu)的變形特性導(dǎo)致了泡沫材料的應(yīng)變率敏感性。王永剛等[14]通過改進的SHPB實驗成功獲得了一組泡沫鋁在高應(yīng)變率下的動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線。王志華等[15]提出了一個泡沫鋁材料的多參數(shù)、率相關(guān)的本構(gòu)模型，并且與泡沫鋁材料的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)中的3個階段符合得很好。鄭志軍等[16]引入“Transitional-Mode”和“Shock-Mode”模型來研究多胞材料的動態(tài)壓潰。

泡沫鋁材料是否是應(yīng)變率相關(guān)性材料，迄今尚未取得一致的結(jié)論。部分原因在于：當(dāng)采用SHPB技術(shù)進行實驗研究時，由于泡沫試樣發(fā)生嚴(yán)重局部變形而難以滿足“應(yīng)力/應(yīng)變沿試樣長度均勻分布”這一基本前提要求，所以實驗結(jié)果的有效性存在著疑問。因此，本文中通過動態(tài)剛性加載-線性硬化塑性-剛性卸載模型描述泡沫鋁材料的動態(tài)本構(gòu)特性，并采用Taylor-Hopkinson實驗確定其參數(shù)，最后探討泡沫鋁材料中的一些特征參數(shù)及其應(yīng)變率敏感性問題。

1 動態(tài)剛性-線性硬化塑性-剛性卸載(D-R-LHP-R)模型

本研究建立在D-R-LHP-R的泡沫材料的理想本構(gòu)模型上[17]，如圖1(a)的曲線OYdg所示，其中Y為材料動態(tài)屈服應(yīng)力，Ep為材料動態(tài)線性硬化模量，εD為泡沫材料密實應(yīng)變，σD為εD所對應(yīng)的應(yīng)力。該模型所表征的是泡沫鋁材料基于連續(xù)介質(zhì)框架的宏觀動態(tài)本構(gòu)模型，不計泡沫材料的具體微觀結(jié)構(gòu)和壓潰機理。由于其參數(shù)是通過一系列高應(yīng)變率實驗求得的，一般和準(zhǔn)靜態(tài)實驗有所區(qū)別，由此可以判斷泡沫材料的率相關(guān)性。

圖1(a) D-R-LHP-R模型Fig.1(a) D-R-LHP-R model

圖1(b) Taylor實驗?zāi)Ｐ虵ig.1(b) Taylor experimental device

考慮一個相對簡單的實驗裝置----Taylor實驗裝置，如圖1(b)所示。長為L0的泡沫鋁桿以初始速度vi打擊剛性靶，一維應(yīng)力波以波速D=dX/dt從泡沫桿打擊端傳向自由端。

根據(jù)一維應(yīng)力波理論[18]，在Lagrange坐標(biāo)下，跨過波陣面的守恒條件為：

(1)

(2)

(3)

式(1)、(2)和(3)分別表示質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒關(guān)系。其中符號[]表示物理量跨過激波波陣面前后的不連續(xù)性，若將物理量φ在波陣面前方和后方的值分別記為φ+和φ-，那么[φ]=φ--φ+。式中：σ表示應(yīng)力，ε表示應(yīng)變，v表示質(zhì)點速度，e表示體積熱力學(xué)能。

在D-R-LHP-R模型下，激波波速D完全由線性硬化模量Ep與密度ρ0之比來確定，所以激波波速可以改用cp來表示:

(4)

對于圖1所示的撞擊情況：

強間斷塑性波前方：

強間斷塑性波后方：

于是，式(1)、(2)和(3)分別改寫為：

(5)

(6)

(7)

當(dāng)泡沫桿以初速度vi撞擊剛性靶時，初始激波后方的應(yīng)力為：

(8)

激波在泡沫桿中傳播時，激波波陣面將泡沫桿分成2部分：變形部分和未變形部分。其中，激波前方的未變形部分一端是自由端，另一端承受邊界力Y。根據(jù)剛體運動方程：

(9)

對于圖1所示的左行波，激波波速dX/dt=-cp，那么運動方程(9)改寫為：

(10)

結(jié)合式(6)和式(10)，可得：

(11)

運用初始條件v=vi和邊界條件X=L0處應(yīng)力σp= σi。積分式(11)，可得：

(12)

(13)

式(12)和式(13)表示激波前方剛體段的質(zhì)點速度v和強間斷塑性波后方應(yīng)力σp隨該部分長度X的變化。從上兩式均可以得出質(zhì)點速度v和應(yīng)力σp都隨塑性波傳播而減小。其中Xp表示泡沫鋁試樣中變形段初始長度。

對于D-R-LHP-R模型，應(yīng)力σp和應(yīng)變εp之間滿足σp=Y+Epεp(其中0 <εp<εD)，所以應(yīng)變εp可以通過以下方程求得：

(14)

當(dāng)激波消失時，存在如下條件：v(t)=0，σp(t)=Y，εp(t)=0。則式(12)、(13)和(14)可以改寫成如下關(guān)系式：

(15a)

(15b)

(15c)

對于已知ρ0的泡沫材料，如果測得了對應(yīng)于不同撞擊速度vi下的Xs/L0, 則式(15)提供了求解4個未知材料參數(shù)σi、εi、Y和cp(cp=(Ep/ρ0)1/2)的3個獨立方程。只要再測得其中任一參量，就可反演D-R-LHP-R模型的全部材料參量。下面采用Taylor桿與Hopkinson單桿相組合的實驗技術(shù)測取σi。

2 泡沫鋁動態(tài)行為的Taylor-Hopkinson實驗

實驗在Taylor桿與Hopkinson單桿相組合的實驗裝置上進行，如圖2所示。

在Taylor-Hopkinson實驗中，泡沫鋁桿撞擊在鋼制彈性桿上，而并不是直接打擊到如圖1所分析的剛性靶上。這兩者的差別可用下式來描述：

(16)

式中：σ1、σ2分別是泡沫鋁桿打到剛性靶和彈性桿時的邊界應(yīng)力，ρ0cp表示泡沫鋁材料塑性波阻抗，ρ1ce表示的是彈性靶(鋼)的彈性波阻抗。對于本實驗：ρ0cp/ρ1ce≈ 0.001 2?？梢?，實驗用鋼制彈性靶代替剛性靶不會對最后的結(jié)果產(chǎn)生很大的影響。

圖2 Taylor-Hopkinson實驗裝置Fig.2 Taylor-Hopkinson experimental device

另一個需要討論的問題是：在沖擊實驗過程中，閉孔泡沫鋁胞孔中的氣體對實驗結(jié)果有多大影響？L.J.Gibson等[19]指出，對于閉孔泡沫材料的絕熱壓縮過程，胞孔內(nèi)的氣體壓縮對壓應(yīng)力的影響可以通過以下公式計算：

(17)

式中:P0為大氣壓強，ρ/ρs為相對密度，ν為塑性泊松比，εD為壓實應(yīng)變，γ為熱容積。則閉孔泡沫鋁在沖擊實驗中胞孔中的氣體對壓應(yīng)力的影響為0.136 MPa，僅約為泡沫鋁材料準(zhǔn)靜態(tài)強度的1.5%。因此，本文中也忽略閉孔中殘余氣體壓縮的影響。

本文中選取的閉孔泡沫鋁試樣是由杭州龍邦合金科技有限公司經(jīng)過發(fā)泡法工藝制造得到。采用線切割技術(shù)將試樣切割成?37 mm×190 mm的長圓柱狀。每根試樣的初始密度ρ0和撞擊實驗后的試樣高度Lf均可測量得到。在試樣的剖面圖中可以清晰地觀察到激波在泡沫鋁桿中傳播的停止位置，那么可直接測得試樣未變形長度(也就是激波停止的位置Xs)，如圖3所示。在激波傳過之后，泡沫鋁處于受壓縮而密度增加的狀態(tài)；激波未傳到的位置，泡沫鋁的微觀結(jié)構(gòu)基本未發(fā)生變化。

在泡沫鋁的Taylor-Hopkinson實驗中，打擊初速度vi可通過高速攝影儀測得。邊界初始應(yīng)力σi通過Hopkinsin單桿上的應(yīng)變片測量得到。如圖4所示。并認為應(yīng)力曲線中的開始一段應(yīng)力峰值是由應(yīng)力過沖引起的，因而取100～250 μs時的應(yīng)力平均值作為本文分析所用的σi。

根據(jù)以上的數(shù)據(jù)采集和處理，對每一組泡沫鋁實驗均可以得到以下物理量：初始長度L0、打擊初始速度vi、泡沫鋁試樣密度ρ0、未變形長度Xs和邊界初始應(yīng)力σi。

圖3 泡沫鋁中激波停止的位置Fig.3 Stopped location of shock wave in the aluminum foams

圖4 Taylor-Hopkinson實驗測得的邊界應(yīng)力Fig.4 Boundary stress measured by the Taylor-Hopkinson experiment

3 泡沫鋁D-R-LHP-R模型參數(shù)確定及討論

利用D-R-LHP-R模型描述泡沫材料的動態(tài)本構(gòu)關(guān)系時，有關(guān)系式(15)存在。在Taylor-Hopkinson實驗中，測得的實驗參數(shù)ln(Xs/L0)和vi基本滿足線性關(guān)系，如圖5所示。結(jié)合式(15a)可得：

(18)

可見，對于實驗所用的泡沫鋁材料來說，存在一個量vY= Y/ρ0cp基本維持不變，該量的物理意義是引起泡沫鋁材料塑性變形的最低速度。

結(jié)合實驗測得的參數(shù)，每一組泡沫鋁試樣都可以通過式(15b)求得其動態(tài)屈服應(yīng)力Y，如圖6所示，而且材料的動態(tài)屈服應(yīng)力基本隨密度成線性關(guān)系。

觀察式(15b)，也可以通過對同一批密度接近的泡沫鋁材料作ln(Xs/L0) -σi曲線，通過線性形式進行擬合來確定其斜率k=-1/Y。該斜率表示該密度范圍內(nèi)的平均-1/Y值。如圖7，對于密度為574～633kg/m3和680～705kg/m3的泡沫鋁試樣，其擬合曲線分別為ln(Xs/L0)=1-9.86×10-8σi和ln(Xs/L0)=1-8.75×10-8σi。通過擬合曲線可知，泡沫鋁材料的平均動態(tài)屈服應(yīng)力分別為10.1和11.4MPa。

圖5 Taylor-Hopkinson實驗測得的ln(Xs/L0) -vi曲線Fig.5 Relationship of ln(Xs/L0) and vi in the Taylor- Hopkinson experiment for the aluminum foams

圖6 泡沫鋁動態(tài)屈服應(yīng)力隨密度的變化Fig.6 Experimental dynamic yield stress vs. density of aluminum foams

圖7 泡沫鋁Taylor-Hopkinson實驗測得的 ln(Xs/L0)-σi曲線Fig.7 Relationship of ln(Xs/L0) and σi in the Taylor- Hopkinson experiment for the aluminum foams

圖8 泡沫鋁Taylor-Hopkinson實驗測得的激波波速 cp隨密度ρ0的變化Fig.8 Relation of shock wave velocity cp and density ρ0 in the Taylor-Hopkinson experiment for the aluminum foams

圖9 泡沫鋁Taylor-Hopkinson 實驗測得的εi -ln(Xs/L0)曲線Fig.9 Relation of initial strain εi and ln(Xs/L0) in the Taylor-Hopkinson experiment for the aluminum foams

通過以上的分析，求得了每組泡沫鋁試樣的動態(tài)屈服應(yīng)力Y，再結(jié)合式(15a)，可分別求得每組泡沫鋁試樣的激波傳播速度cp，如圖8所示。從中可以發(fā)現(xiàn)：對于實驗所用的泡沫鋁，其激波傳播速度cp基本上維持在70～82 m/s這個范圍之內(nèi)。

對于已求得每組試樣的cp后，根據(jù)以下公式即可求得泡沫鋁材料D-R-LHP-R模型中的線性硬化模量

(19)

圖10 不同密度范圍泡沫鋁材料的D-R-PLH-L模型和準(zhǔn)靜態(tài)實驗對比Fig.10 Comparisons of stress between D-R-LHP-R model and quasi-static experiment for the aluminum foams with different density

進而還可以求得ρ0(cp)2/Y的值，于是按照式(15c)，對應(yīng)于每一組初始速度為vi的實驗，可以分別確定其對應(yīng)的初始應(yīng)變εi，從而作εi-ln(Xs/L0)曲線，如圖9所示。

那么泡沫材料的密實應(yīng)變εD如何確定？由跨過激波的動量守恒關(guān)系(8)可知：只要塑性激波是材料的線性硬化特性控制的，σi-vi之間應(yīng)該有線性關(guān)系。一旦沖擊速度超過材料線性硬化塑性的臨界值(此處σD對應(yīng)于密實應(yīng)變εD)：

(20)

激波波速將由Rayleigh弦控制，式(8)中的線性關(guān)系也將不再成立。所以，從實驗研究的角度說，應(yīng)該有足夠高的撞擊速度范圍，直到能夠出現(xiàn)式(8)的線性關(guān)系不再成立的情況。則與線性關(guān)系不再成立的vi轉(zhuǎn)折點(vi)tran所對應(yīng)的應(yīng)力就是σD，應(yīng)變就是εD。由于確定該泡沫鋁材料的密實應(yīng)變需要大量的實驗數(shù)據(jù)，所以將另做討論。

圖11 通過D-R-LHP-R模型和Taylor-Hopkinson實驗求得的邊界應(yīng)力對比Fig.11 Comparisons of the boundary stress-time curves determined by D-R-LHP-R model and measured by the Taylor-Hopkinson experiment

綜上所述，本文中求出了兩種密度范圍的泡沫鋁D-R-LHP-R模型，并在MTS儀器上做了準(zhǔn)靜態(tài)實驗(應(yīng)變率為10-3s-1)與之相比較，如圖10所示。由于本文中并沒有確定材料的密實應(yīng)變，所以將泡沫鋁材料應(yīng)變?yōu)?0%以后模型曲線以虛線表示。并從泡沫鋁D-R-LHP-R模型和準(zhǔn)靜態(tài)實驗的比較中可以得出：該種閉孔泡沫鋁材料是應(yīng)變率相關(guān)性材料。

為了驗證本文反演確定的泡沫材料D-R-LHP-R模型的適用性，可按照公式(13)，計算在整個實驗過程中，泡沫鋁材料中激波后方的應(yīng)力隨時間的變化，與實測結(jié)果(圖4)進行對比，如圖11所示。

本實驗是建立在泡沫材料的剛性加載線性硬化塑性剛性卸載模型上，也就是說泡沫鋁中激波傳過部分能看作剛體段，即激波后方的應(yīng)力(圖11中藍色點線)和邊界測到的應(yīng)力(圖11中紅色實線)是等價的。從圖11中可以發(fā)現(xiàn)兩者吻合得相當(dāng)好，驗證了本文中用D-R-LHP-R模型來研究泡沫鋁材料的動態(tài)特性的正確性和可靠性。至于實驗得到的邊界應(yīng)力后期出現(xiàn)卸載現(xiàn)象是由于彈性桿后端卸載波傳回來的緣故，不代表泡沫材料的本構(gòu)響應(yīng)。

4 結(jié) 論

基于泡沫材料的D-R-LHP-R模型，通過激波理論分析所建立的激波消失位置Xs與材料的動態(tài)屈服應(yīng)力Y、激波波速cp、沖擊邊界初始應(yīng)變εi之間的關(guān)系，提出了一種確定泡沫材料動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的反演方法。

通過Taylor-Hopkinson實驗確定了泡沫鋁材料的D-R-LHP-R模型參數(shù)(動態(tài)屈服應(yīng)力Y、線性硬化模量Ep等參數(shù))。將求得的D-R-LHP-R模型和準(zhǔn)靜態(tài)實驗數(shù)據(jù)進行對比，證明該種閉孔泡沫鋁是應(yīng)變率敏感性材料。最后通過對D-R-LHP-R模型和Taylor-Hopkinson實驗求得的邊界應(yīng)力對比驗證了采用D-R-LHP-R模型研究泡沫鋁材料的動態(tài)特性的正確性和可靠性。

對該批次泡沫鋁實驗數(shù)據(jù)進行分析，還得到如下結(jié)果：(1)在該種泡沫鋁材料中存在恒定的特征參量ρ0cp/Y幾乎不隨試樣密度和初速度變化而變化，即引起泡沫鋁材料塑性變形最低速度vY=Y/ρ0cp基本維持不變；(2)泡沫鋁材料的塑性波速cp受泡沫鋁材料密度的影響很??；(3)泡沫鋁動態(tài)屈服應(yīng)力Y隨著密度的增加成線性增長；(4)在Taylor-Hopkinson實驗中，泡沫鋁的初始應(yīng)變εi隨著初始速度vi也成線性增加，基本不受泡沫鋁密度變化的影響。

感謝中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)教授虞吉林老師和香港科技大學(xué)教授、寧波大學(xué)包玉剛講座教授余同希老師對本文給予的指導(dǎo)和提供的寶貴意見。

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(責(zé)任編輯 曾月蓉)

Experimental determination of dynamic constitutive parameters for aluminum foams

Ding Yuan-yuan, Yang Li-ming, Wang Li-li

(MechanicsandMaterialsScienceResearchCenter,NingboUniversityNingbo315211,Zhejiang,China)

Based on the dynamic Rigid-Linear Hardening Plastic-Rigid Unloading (D-R-LHP-R) model of foam materials and starting from the displacement continuity equation, the momentum conservation equation and the motion equation of rigid part, the relation between the critical position for shock disappearanceXs’ the yield stressY, the shock velocitycpas well as the impact boundary strainεican be determined as follows:(a)Among the parameters in the above equation, the specimen densityρ0, the boundary stressσi, the impact velocityvi, the undeformed length of the specimenXs, and the original length of the specimenL0, can be easily measured from the Taylor cylinder-Hopkinson bar impact experiments. Therefore, the constitutive parameters strees and strain of the R-LHP-R model can be finally reversely determined for the tested aluminum foam by using the above experimental parameters and Eq(a). The comparison of stress-strain between the quasi-static compressive curve and the R-LHP-R model indicates the strain rate sensitivity of the tested aluminum foams.

solid mechanics; dynamic mechanical characteristics; dynamic rigid-linear hardening plastic-rigid unloading(D-R-LHP-R) model; aluminum foam; shock wave

10.11883/1001-1455(2015)01-0001-08

2013-06-13；

2013-08-20

國家自然科學(xué)基金項目(11032001);寧波大學(xué)王寬誠幸?；痦椖?/p>

丁圓圓(1987— )，男，碩士研究生;通訊作者： 楊黎明,yangliming@nbu.edu.cn。

(a)

O347 國標(biāo)學(xué)科代碼： 13015

A

采用Taylor-Hopkinson裝置進行實驗，當(dāng)直接測得泡沫鋁試樣密度ρ0、邊界初始應(yīng)力σi、初始打擊速度vi、泡沫鋁桿原長L0及激波在泡沫鋁桿中消失長度Xs后，利用方程式(a)可反演求得D-R-LHP-R模型下的泡沫鋁動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線。最后通過與泡沫鋁準(zhǔn)靜態(tài)實驗數(shù)據(jù)對比，表明該泡沫鋁是應(yīng)變率敏感性材料。