基于模糊函數(shù)頻率軸投影的CDMA信號時(shí)/頻差估計(jì)

楊林森 張子敬 郭付陽

(西安電子科技大學(xué) 西安710071)

0 引言

隨著衛(wèi)星通信技術(shù)的飛速發(fā)展，地面干擾輻射源對于衛(wèi)星正常通信的威脅越來越受到廣泛的關(guān)注，同步軌道雙星時(shí)差和頻差定位技術(shù)是一種常見的對地面輻射源定位的技術(shù)，已經(jīng)得到了成功的應(yīng)用［1］。

同步軌道雙星定位中，通常將與目標(biāo)輻射源直接通信的衛(wèi)星稱為主星，在主星附近輔助定位的衛(wèi)星稱為鄰星。由于天線輻射一般具有指向性，主星往往處于地面輻射源的波束主瓣方向內(nèi)，而鄰星常處于波束的某個(gè)旁瓣之內(nèi)。地面輻射源天線主瓣和旁瓣發(fā)出的同源信號有且僅有功率的差別，但是由于主星和鄰星的位置以及速度不同，地面輻射源發(fā)射信號經(jīng)過兩顆衛(wèi)星分別轉(zhuǎn)發(fā)后就會產(chǎn)生時(shí)差和頻差。雙星時(shí)/頻差定位原理正是通過測量雙星接收信號間的時(shí)差和頻差，再聯(lián)合地球表面方程實(shí)現(xiàn)對未知輻射源的定位［1-3］。

CDMA 信號是一種常用的通信信號，在CDMA信號通信體制內(nèi)，各用戶通過使用相互正交的用戶特征碼對數(shù)字通信內(nèi)容進(jìn)行調(diào)制，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)用戶在相同頻段上的同時(shí)通信。由于CDMA 各用戶信號在時(shí)間和頻率上相互重疊，各用戶信號的信干比很低，導(dǎo)致各用戶時(shí)/頻差的精確估計(jì)具有很大困難。另外，由于CDMA 信號帶寬較大，相比于一般信號在相同的信號積累時(shí)間長度內(nèi)，采樣的數(shù)據(jù)長度明顯增加，導(dǎo)致運(yùn)算量顯著提高。模糊函數(shù)是時(shí)/頻差估計(jì)最常用的工具，然而直接計(jì)算CDMA 信號的模糊函數(shù)所需的運(yùn)算量過大。為解決CDMA 信號中各個(gè)用戶相互干擾的問題，在文獻(xiàn)［4］中提出利用主星信號逆向分析得到的各用戶的重構(gòu)信號，用重構(gòu)信號進(jìn)行估計(jì)時(shí)/頻差。為了解決運(yùn)算量大的問題，文獻(xiàn)［4］根據(jù)實(shí)際問題中兩路信號頻差遠(yuǎn)小于采樣頻率的特點(diǎn)，對混合積信號進(jìn)行積分抽取，顯著提升了計(jì)算模糊函數(shù)的速度。

本文在文獻(xiàn)［4］提出的利用主星重構(gòu)信號進(jìn)行時(shí)/頻差估計(jì)的基礎(chǔ)上，提出一種基于模糊函數(shù)頻率軸投影的CDMA 信號時(shí)/頻差方法。該方法只需若干次FFT 即可實(shí)現(xiàn)，與現(xiàn)有方法對比，在運(yùn)算速度方面具有顯著優(yōu)勢。

1 信號模型

假設(shè)主星和鄰星接收到的CDMA 基帶信號為

其中sk(t)為主星接收到的第k個(gè)用戶信號，K為用戶個(gè)數(shù)，Δtk和Δfk為鄰星接收到相對于主星的第k個(gè)用戶信號的時(shí)差和多普勒頻差，n1(t)和n2(t)分別為主星和鄰星的噪聲。可以看出，鄰星接收到的信號為各用戶信號經(jīng)過不同時(shí)延和多普勒頻移后的線性疊加，且各用戶的時(shí)差和多普勒頻差不同。

對于主星接收信號中的第k個(gè)用戶信號sk(t)，有

其中dk(m)為用戶傳輸?shù)牡趍個(gè)符號，代表著用戶的通信內(nèi)容，M為用戶傳輸?shù)姆柨倲?shù)，Tb為單個(gè)符號持續(xù)的時(shí)間，CDMA 信號中各用戶通過特征波形區(qū)分，通信中傳輸?shù)拿恳晃环柖夹枰糜脩籼卣鞑ㄐ握{(diào)整，第k個(gè)用戶的特征波形為

其中bk(l)為特征波形的第l個(gè)碼片，Tc為單個(gè)碼片持續(xù)時(shí)間，且有Tb= LTc，p(t)為持續(xù)時(shí)間為Tc的矩形脈沖。為了抑制通信中各用戶間的相互干擾，CDMA 信號常用正交偽隨機(jī)碼對各用戶的通信內(nèi)容進(jìn)行編碼。

2 模糊函數(shù)在頻率軸的投影

兩路信號f(t)和g(t)的互模糊函數(shù)(Ambiguity function，AF)定義為:

其中τ，v分別為時(shí)延和多普勒頻率。模糊函數(shù)可以認(rèn)為是信號在時(shí)域和頻域的二維相關(guān)，其峰值位置對應(yīng)兩路信號的時(shí)差和頻差。然而，當(dāng)信號較長時(shí)，二維搜索模糊函數(shù)峰值的計(jì)算量過大，難以實(shí)時(shí)處理。

我們定義Pfg(v)為信號f(t)和g(t)的模糊函數(shù)χfg(τ，v)在頻率軸上的投影，文獻(xiàn)［5］給出了將模糊函數(shù)投影到頻率軸的快速算法:

其中F(v)和G(v)分別為信號f(t)和g(t)的傅立葉變換。式(5)將計(jì)算模糊函數(shù)在頻率軸上的投影簡化為了兩路信號自相關(guān)乘積的傅立葉變換，因此，計(jì)算模糊函數(shù)在頻率軸上的投影只需要若干次FFT 即可實(shí)現(xiàn)。

3 CDMA 信號時(shí)/頻差估計(jì)

由于CDMA 信號中包含有多個(gè)用戶，且各用戶的時(shí)/頻差不同，直接對主星和鄰星接收信號做互模糊函數(shù)會產(chǎn)生多峰，當(dāng)用戶時(shí)/頻差接近時(shí)，峰值難以分辨，無法精確估計(jì)時(shí)/頻差。在文獻(xiàn)［4］中，通過對主星CDMA 信號逆向分析獲取各用戶的特征波形和通信內(nèi)容，將各用戶信號進(jìn)行重構(gòu)。若將重構(gòu)的主星各用戶信號分別與鄰星信號做互模糊函數(shù)，能夠有效去除用戶間的干擾，得到只有單峰的互模糊函數(shù)，最終能夠提高時(shí)/頻差估計(jì)精度。然而，利用重構(gòu)的主星各用戶信號計(jì)算完整的模糊函數(shù)，運(yùn)算量大的問題仍然沒有解決。為了減少計(jì)算模糊函數(shù)的運(yùn)算量，文獻(xiàn)［4］利用現(xiàn)實(shí)中多普勒頻差遠(yuǎn)小于采樣頻率的特點(diǎn)，提出對混合積信號積分抽取的方法來實(shí)現(xiàn)CDMA 信號各用戶時(shí)/頻差快速估計(jì)，其實(shí)質(zhì)是通過對混合積信號降采樣來降低計(jì)算模糊函數(shù)的運(yùn)算量。

由于CDMA 信號中各用戶的特征碼采用相互正交的偽隨機(jī)編碼序列，因而CDMA 各用戶發(fā)射信號具有尖銳的自相關(guān)函數(shù)，而各用戶間的互相關(guān)函數(shù)值接近零。對于偽隨機(jī)序列，其模糊函數(shù)為圖釘型［6］，存在一個(gè)很尖的主瓣，主瓣峰值遠(yuǎn)高于旁瓣高度。若將主星重構(gòu)的各用戶信號與鄰星接收信號的互模糊函數(shù)在頻率軸上進(jìn)行投影將得到一個(gè)具有很高尖峰的曲線，投影的峰值的位置對應(yīng)原于模糊函數(shù)峰值的頻率坐標(biāo)，由投影的峰值位置可以估計(jì)出用戶雙星接收信號的頻差，對雙星信號補(bǔ)償頻差后通過一次相關(guān)，由相關(guān)峰位置即可估計(jì)出用戶雙星接收信號的時(shí)差。根據(jù)上面的分析，利用式(5)可以實(shí)現(xiàn)模糊函數(shù)在頻率軸上投影的快速計(jì)算，因此，本文提出了基于模糊函數(shù)在頻率軸上投影的CDMA 信號時(shí)/頻差估計(jì)快速方法，其具體流程為:

(1)，對于主星重構(gòu)的第k個(gè)用戶信號sk(t)和鄰星接收信號r2(t)，按式(5)計(jì)算互模糊函數(shù)在頻率軸上的投影Pskr2(v)。

(2)，搜索Pskr2(v)的峰值，記峰值位置為v0，則第k個(gè)用戶的多普勒頻差估計(jì)為。

步驟(4)，對重構(gòu)的各用戶信號依次按上述步驟處理，直到估計(jì)出所有用戶的時(shí)/頻差。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

假設(shè)仿真的CDMA 通信系統(tǒng)中包含8 個(gè)用戶，各用戶使用長度為31 的gold 偽隨機(jī)序列作為用戶特征碼。在T=5ms 的信號持續(xù)時(shí)間內(nèi)，8 個(gè)用戶同時(shí)進(jìn)行通信，數(shù)字通信符號傳輸速率為322.58kbps，單個(gè)符號的傳輸時(shí)間Tb=3.1μs，每傳輸一位符號都需要用31 位的用戶特征碼進(jìn)行調(diào)制，因此用戶特征碼碼片持續(xù)時(shí)間為Tc=0.1μs，接收信號的采樣率為20MHz。雙星接收的8 用戶CDMA 信號中各用戶對應(yīng)的時(shí)延差為［0，0.2，1，-1，2，-4，-0.3，5］(μs)，多普勒頻差為［0，1，50，74，12，-4，6.8，-8］(KHz)，為了驗(yàn)證本方法的性能，特別選取第一個(gè)用戶和第二個(gè)用戶的時(shí)/頻差參數(shù)差距很小。

圖1 為主星和鄰星接收信號在信噪比為0dB 的情況下互模糊函數(shù)的局部仿真圖。從圖1 中可以明顯看出，CDMA 信號的模糊函數(shù)為圖釘型，存在若干個(gè)又高又窄的峰值，每一個(gè)峰值對應(yīng)于一個(gè)用戶的時(shí)/頻差。由于第一個(gè)用戶和第二個(gè)用戶時(shí)/頻差相距較近，對應(yīng)的模糊函數(shù)峰值部分重疊而無法清晰分辨，因此圖1 中的模糊函數(shù)只能看到7 個(gè)明顯峰值。

圖1 雙星接收信號的互模糊函數(shù)

為了避免用戶間的干擾，本文利用從主星接收信號中逆向分析得到的各用戶重構(gòu)信號進(jìn)行時(shí)/頻差估計(jì)。圖2 為第二個(gè)用戶的主星重構(gòu)信號與鄰星接收信號之間的局部互模糊函數(shù)。對比圖1 和圖2可以看出，由于主星重構(gòu)信號中只包含單個(gè)用戶的信號，利用主星重構(gòu)信號得到的模糊函數(shù)只存在單峰且模糊函數(shù)旁瓣更低，因此利用主星重構(gòu)信號能夠大大降低各用戶間的交叉干擾，進(jìn)而更準(zhǔn)確地估計(jì)出各個(gè)用戶的時(shí)/頻差。

圖2 用戶2 主星重構(gòu)信號與鄰星信號的互模糊函數(shù)

從圖1 和圖2 中可以看出，由于CDMA 信號中用戶特征碼具有偽隨機(jī)性，CDMA 信號的模糊函數(shù)為圖釘型，其具有又高又陡的主瓣且主瓣峰值遠(yuǎn)高于旁瓣高度，因此CDMA 信號模糊函數(shù)在頻率軸上投影的峰值點(diǎn)將對應(yīng)其模糊函數(shù)峰值點(diǎn)的頻率坐標(biāo)。圖3(a)為用戶2 主星重構(gòu)信號與鄰星接收信號間的模糊函數(shù)在頻率軸上投影的曲線。由圖3(a)可以看出CDMA 信號在頻率軸上的投影將產(chǎn)生一個(gè)明顯的峰值，根據(jù)圖3 中峰值的位置，可以估計(jì)出第二個(gè)用戶的頻差為0.999 kHz。對雙星接收信號補(bǔ)償頻差后再做相關(guān)，利用相關(guān)峰位置可以估計(jì)出該用戶的時(shí)差。圖3(b)為兩路信號補(bǔ)償頻率后相關(guān)運(yùn)算結(jié)果的仿真圖，由相關(guān)峰位置可以估計(jì)出雙星接收信號的時(shí)差為0.2μs。利用上述方法，可以分別估計(jì)出雙星接收的CDMA 信號中各用戶的時(shí)差為［0，0.2，1，-1，2，-4，-0.3，5］(μs)，頻差為［0，0.999，49.997，73.996，11.999，-4，6.8，-8］(kHz)。文獻(xiàn)［4］中利用各用戶主星重構(gòu)信號，提出了基于積分抽取的CDMA 時(shí)/頻差估計(jì)方法，而本文在其基礎(chǔ)上，利用模糊函數(shù)在頻率軸上的投影實(shí)現(xiàn)CDMA 信號時(shí)/頻差的快速估計(jì)。下面通過對比這兩種方法的復(fù)乘次數(shù)，說明本方法在運(yùn)算速度上的優(yōu)勢。

圖3 CDMA 信號時(shí)/頻差估計(jì)仿真

對于文獻(xiàn)［4］中提出的積分抽取算法，假設(shè)雙星接收信號長度為N且抽取倍數(shù)為D，則計(jì)算一次混合積信號需要N次復(fù)乘，抽取后混合積長度降為N/D，對抽取的混合積做一次FFT 的運(yùn)算量為N D，計(jì)算模糊函數(shù)需要重復(fù)N次上述過程，則用文獻(xiàn)［4］中提出的算法估計(jì)時(shí)/頻差需要的運(yùn)算量約為。

對于本文提出的算法，同樣假設(shè)信號長度為N，由式(5)可以看出，計(jì)算模糊函數(shù)在頻率軸上投影只需要計(jì)算5 次長度為N的FFT，得到了頻差估計(jì)后，對信號補(bǔ)償頻率，最后通過相關(guān)實(shí)現(xiàn)時(shí)差估計(jì)，本文提出的算法需要的運(yùn)算量約為5Nlog2N+N+3(2N-1)log2(2N-1)。

對于上面仿真的參數(shù)，得到信號長度N=100000，假設(shè)文獻(xiàn)［4］中的方法使用的抽取倍數(shù)為D=100 。表1 為本文提出的方法和文獻(xiàn)［4］中的方法在運(yùn)算量上的對比，可以看出，本文提出的算法在運(yùn)算量上具有顯著的優(yōu)勢，即使當(dāng)利用文獻(xiàn)［4］中提出的算法抽取倍數(shù)達(dá)到D=100 倍的情況下，本文算法在運(yùn)算量上仍然具有明顯的優(yōu)勢。

表1 積分抽取與本文方法運(yùn)算量對比

5 結(jié)論

針對雙星定位問題中，現(xiàn)有CDMA 信號時(shí)/頻差估計(jì)方法運(yùn)算量較大的問題，本文提出了基于模糊函數(shù)在頻率軸投影的CDMA 信號時(shí)/頻差估計(jì)方法。針對CDMA 信號模糊函數(shù)為圖釘型的特點(diǎn)，本文通過求模糊函數(shù)在頻率軸上的投影即可實(shí)現(xiàn)CDMA 信號間時(shí)/頻差的估計(jì)。仿真結(jié)果說明本文提出的方法能夠快速估計(jì)CDMA 信號中各用戶的時(shí)/頻差，相比已有方法，運(yùn)算量顯著減少。

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