基于OpenSees 的形狀記憶合金材料本構(gòu)模型的二次開發(fā)①

胡曉斌，王 琪，劉 坤

(武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，湖北 武漢430072)

0 引 言

形狀記憶合金(Shape Memory Alloy，簡(jiǎn)稱SMA)是一類對(duì)形狀有記憶功能的材料，常用的包括Ni 基及Cu 基合金，如Ni－Ti、Cu－Al－Be 合金.SMA 材料以其特有的形狀記憶、超彈性、大變位、良好的耐腐蝕及耐疲勞性能等優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用到航空航天、機(jī)器人、醫(yī)療等領(lǐng)域.由于具有超彈性性能，在卸載后沒有殘余變形，近年來SMA 材料來在土木工程領(lǐng)域(特別是結(jié)構(gòu)減震)得到了廣泛地研究和應(yīng)用［1］.

為探明SMA 材料的力學(xué)性能，國(guó)內(nèi)外部分學(xué)者通過試驗(yàn)手段進(jìn)行了深入的研究［2～4］，并提出了不同的描述其單軸力學(xué)行為的本構(gòu)模型.根據(jù)是否考慮加載速率的影響，SMA 本構(gòu)模型可以分為率相關(guān)及率無關(guān)模型.相對(duì)于前者，后者更為簡(jiǎn)單，計(jì)算效率更高，從而在工程中得到了更為廣泛地應(yīng)用.在率無關(guān)模型方面，Graesser 等［5］將Ozdemir 模型［6］進(jìn)行了改進(jìn)，提出了Graesser－Cozzarelli 模型.在此模型的基礎(chǔ)上，Wilde 等［7］進(jìn)一步考慮了奧氏體向馬氏體轉(zhuǎn)化完成后的硬化，提出了Wilde模型.

本文首先將Wilde 模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，提出了一種修正的Wilde 模型，并給出了FS 模型中耗能參數(shù)的取值方法，然后利用OpenSees 軟件提供的二次開發(fā)平臺(tái)，編寫了相應(yīng)的新材料，并與試驗(yàn)數(shù)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所開發(fā)材料的準(zhǔn)確性.

1 SMA 材料本構(gòu)模型

1.1 修正Wilde 本構(gòu)模型

本節(jié)對(duì)Wilde 模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，提出了一種修正的Wilde 模型，以提高計(jì)算效率，其應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系表示如下:

式中:σ，ε 分別表示應(yīng)力和應(yīng)變，其導(dǎo)數(shù)表示對(duì)時(shí)間求導(dǎo);E 表示初始彈性模量，Em表示馬氏體彈性模量，σy表示“屈服”應(yīng)力(即奧氏體開始向馬氏體轉(zhuǎn)化的應(yīng)力);n，c 是常數(shù)(值得注意的是，對(duì)于上升段和下降段，n 需取不同的值);sgn()是符號(hào)函數(shù);K 定義如下:

式中:H()表示階躍函數(shù);β 表示背應(yīng)力，計(jì)算如下:

式中α，fT，a，b 均為常數(shù);uⅠ，uⅡ，uⅢ定義如下:

式中:εm為奧氏體完全轉(zhuǎn)變成馬氏體的應(yīng)變，ε1為上升段第二段的起始應(yīng)變(見圖1).

圖1 所示為修正Wilde 模型的示意圖.由式(1)、(6)～(8)可以看出:上升段由三段構(gòu)成，分別對(duì)應(yīng)于式(1)右邊的三項(xiàng)，第一段為曲線，第二、三段分別為直線;下降段為曲線，對(duì)應(yīng)于式(1)右邊的第一項(xiàng).該模型較為復(fù)雜，需要12 個(gè)參數(shù)才能完全確定下來.

圖1 修正Wilde 模型

圖2 FS 模型

1.2 FS 模型

FS 模型是描述SMA 材料力學(xué)性能的一種常用的簡(jiǎn)化模型［8］，如圖2 所示.其中，E 表示奧氏體彈性模量，Em表示馬氏體彈性模量，σy，εy分別表示屈服應(yīng)力及屈服應(yīng)變，εm表示奧氏體完全轉(zhuǎn)變成馬氏體的應(yīng)變，α 表示屈服后模量系數(shù)，β 表示耗能參數(shù).相對(duì)于修正Wilde 模型，該模型較為簡(jiǎn)單，僅需要6 個(gè)參數(shù)即可完全確定.

對(duì)于FS 模型，耗能參數(shù)β 如何確定比較關(guān)鍵.如圖2 所示，設(shè)ε′為應(yīng)變軸上的一點(diǎn)，其在上下平臺(tái)段對(duì)應(yīng)的應(yīng)力差為.由幾何關(guān)系，易得:

式(9)表明可由給定應(yīng)變點(diǎn)的應(yīng)力差求出耗能參數(shù).值得注意的是，對(duì)于在上下平臺(tái)段均有值的應(yīng)變點(diǎn)，其應(yīng)力差是不變的.

對(duì)于修正Wilde 模型或?qū)嶋H的實(shí)驗(yàn)曲線，不同應(yīng)變點(diǎn)的應(yīng)力差并不相同.為求出耗能參數(shù)β，可在給定的區(qū)間內(nèi)取若干個(gè)應(yīng)變點(diǎn)(如圖3 所示)，對(duì)于每個(gè)應(yīng)變點(diǎn)εi，利用式(9)求出相應(yīng)的耗能參數(shù)，然后取其平均值.為簡(jiǎn)單起見，本文取應(yīng)變區(qū)間為［εyεm］，εy可由下式近似計(jì)算:

圖3 耗能參數(shù)β 的計(jì)算

2 SMA 材料在OpenSees 中的二次開發(fā)

OpenSees 是一個(gè)開源性的分析平臺(tái)，其源代碼采用C++語(yǔ)言編制，用戶可以通過編寫類為系統(tǒng)添加新的材料和單元，從而拓展其功能.OpenSees 材料庫(kù)的層次圖如圖4 所示.其中，類Material 位于頂層，是所有材料的基類，從其派生出 三 個(gè) 子 類， 即 SectionForceDeformation，UniaxialMaterial 及 NDMaterial， 其 中UniaxialMaterial 用來定義單軸材料［9］，其子類包括Concrete01、Steel01 等.本節(jié)根據(jù)前述的修正Wilde 模型及FS 模型，分別開發(fā)了繼承自UniaxialMaterial 的子類MWilde 及FS.

圖4 材料層次圖

式(11)，(12)為一階微分方程，為簡(jiǎn)單起見，本文采用歐拉法求解.

3 SMA 材料的驗(yàn)證及對(duì)比

為驗(yàn)證所開發(fā)材料的準(zhǔn)確性，本節(jié)進(jìn)一步采用前節(jié)所開發(fā)的MWilde 及FS 材料，對(duì)循環(huán)加載下Ni－Ti 合金力學(xué)性能試驗(yàn)進(jìn)行模擬，試驗(yàn)加載頻率分別為0.001 Hz 及2 Hz［10］.由于修正Wilde 模型及FS 模型均是率無關(guān)模型，為反映SMA 材料的率相關(guān)特性，MWilde 及FS 材料的部分參數(shù)在不同頻率下的取值是不同的，分別如表1，2 所示.

表1 MWilde 材料參數(shù)

表2 FS 材料取值

對(duì)于不同的加載頻率，試驗(yàn)與計(jì)算所得的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系對(duì)比如圖5 所示.可以看出:(1)從總體上來講，二種材料的計(jì)算結(jié)果均與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，表明所開發(fā)的材料均具有較好的分析精度;(2)相對(duì)于FS 材料，MWilde 材料計(jì)算精度更高，能更好地反映SMA 材料的非線性力學(xué)特性，但其計(jì)算效率較差;(3)當(dāng)SMA 材料馬氏體轉(zhuǎn)化完成前，F(xiàn)S 材料計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好;當(dāng)完全進(jìn)入馬氏體階段后，F(xiàn)S 材料計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差較大，會(huì)低估SMA 材料的耗能能力.

圖5 計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)對(duì)比

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)SMA 材料，首先提出了一種修正的Wilde 模型，并給出了FS 模型中耗能參數(shù)的取值方法，然后基于OpenSees 開發(fā)了相應(yīng)的新材料，并在材料層次上進(jìn)行了驗(yàn)證.可以得出如下主要結(jié)論:

(1)修正Wilde 模型和FS 模型的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，表明本文所開發(fā)的材料均具有較高的計(jì)算精度.

(2)相對(duì)于FS 模型，修正Wilde 模型能更好地反映SMA 材料的非線性力學(xué)特性，計(jì)算精度較高，但其計(jì)算效率較低.

(3)當(dāng)SMA 馬氏體轉(zhuǎn)化完成前，F(xiàn)S 模型計(jì)算精度較高;當(dāng)馬氏體轉(zhuǎn)化完成后，F(xiàn)S 模型會(huì)低估SMA 材料的耗能能力.

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