例談一題多解

董明主

（安徽省蕪湖縣一中）

一題多解有利于開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，還可以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的技能。

題目：如圖1 所示，一質(zhì)點(diǎn)自傾角為θ 的斜面的上方點(diǎn)O，沿一光滑斜槽OA 下滑.欲使此質(zhì)點(diǎn)到達(dá)斜面所需的時(shí)間最短，則斜槽OA 與豎直線OB 所成的角β 應(yīng)為何值？

圖1

圖2

圖3

解法一：如圖2 所示，作一過(guò)點(diǎn)O 且與斜面相切的圓，切點(diǎn)為A，圓心為O1，OB 為過(guò)點(diǎn)O 的一條直徑，如圖所示。由結(jié)論可知，從點(diǎn)O 沿不同的光滑斜槽到達(dá)圓周上各點(diǎn)的時(shí)間相同，沿光滑斜槽OA 到達(dá)A 也就到達(dá)斜面，而沿其他不同的斜槽到達(dá)圓周上的時(shí)間雖然相同，但沒(méi)有到達(dá)斜面，不符合題意。所以，沿OA 斜槽所需的時(shí)間最短。

如圖連接O1A，∠AO1B=θ，得∠AOB=θ/2，即∠β=θ/2

解法二：如圖3 所示，由O 點(diǎn)向斜面引垂線OC，設(shè)OC 的長(zhǎng)為b（定值），沿任一光滑槽OA 到達(dá)斜面所用時(shí)間為t，OA 與豎直線OB 所成夾角為β，由牛頓第二定律，沿OA 下滑的加速度a=gcosβ，OA=b/cos（θ－β） OA=at2/2

根據(jù)不等式可得當(dāng)β=θ－β 即β=θ/2 時(shí)，t 最小。

解法三：基于解法二的結(jié)果

令分母f（β）=cosβcos（θ－β）=cosβ（cosθcosβ＋sinθsinβ）=cos2βcosθ＋sinθ（sin2β）/2

對(duì)f（β）求導(dǎo)可得：f′（β）=2cosβ（－sinβ）cosθ＋sinθ·cos2β

當(dāng)f 取得極大值時(shí)，則f′=0

即sinθ·cos2β=2cosβ·sinβ·cosθ

化簡(jiǎn)sinθ·cos2β=cosθ·sin2β 得到tanθ=tan2β，因?yàn)棣隆ⅵ?90°

所以θ=2β 即β=θ/2

解法四：基于解法二的結(jié)果，令y=cosβcos（θ－β），然后和差化積可得y=cosθcos（θ－2β）

因?yàn)棣?為定值，所以當(dāng)cos（θ－2β）=1 即θ=2β 取得最大值時(shí)，y也取得最大值，t 取得最小值。