二級(jí)倒立擺廣義通用模型控制器的設(shè)計(jì)

趙 凱 孫 帥 朱貫彪 李福樂(lè) 郭丙君

（華東理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，中國(guó) 上海200237）

0 前言

二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的多變量、非線性、強(qiáng)耦合和快速運(yùn)動(dòng)的高階不穩(wěn)定系統(tǒng)，是檢驗(yàn)各種新的控制理論和方法有效性的典型理想模型。 在其控制過(guò)程中，能有效地反映諸如鎮(zhèn)定性、魯棒性、隨動(dòng)性以及跟蹤等許多關(guān)鍵問(wèn)題。 針對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，應(yīng)用Lie 導(dǎo)數(shù)概念對(duì)于廣義通用模型控制器[1]進(jìn)行設(shè)計(jì)，它可以將被控對(duì)象的模型嵌入到控制器中，使得閉環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)線性系統(tǒng)，難點(diǎn)是由于被控對(duì)象是高階系統(tǒng)，應(yīng)用Lie 導(dǎo)數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，系統(tǒng)的階有可能大于1，這樣系統(tǒng)的調(diào)節(jié)參數(shù)比較多，這對(duì)于調(diào)節(jié)器參數(shù)的選擇帶來(lái)困難，需要在實(shí)踐中根據(jù)具體的被控對(duì)象進(jìn)行探索， 找到一組比較好的控制調(diào)節(jié)器參數(shù)，使得系統(tǒng)獲得良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，同時(shí)也能兼顧穩(wěn)定性和魯棒性。

1 廣義通用模型控制原理[3]

通用模型控制(CMC)則是將過(guò)程模型直接嵌入到控制器中，在沒(méi)有控制約束以及模型精確的情況下，可以使得閉環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)，控制器參數(shù)具有明顯的物理意義，而且參數(shù)整定方便[4]。

所有這些非線性通用模型控制策略均有一個(gè)缺點(diǎn)，它只適用于過(guò)程相對(duì)階為1 的情況，應(yīng)用微分幾何非線性控制方法中Lie 導(dǎo)數(shù)的概念，把通用模型控制方法推廣至相對(duì)階大于1 的情形，提出了一種廣義通用模型控制的方法， 在沒(méi)有控制約束以及模型精確的情況下，可以使得閉環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)高階線性系統(tǒng)，該控制器參數(shù)具有明顯的物理意義，可應(yīng)用主導(dǎo)極點(diǎn)法來(lái)整定控制器參數(shù)，而且參數(shù)整定方便。

考慮如下多輸入多輸出非線性系統(tǒng)：

我們稱在x0的相對(duì)階為， 再考慮非線性多輸入多輸出系統(tǒng)式(2)、(3)，假設(shè)其相對(duì)階，則考慮標(biāo)稱軌跡

兩邊分別對(duì)t 求導(dǎo)，則有

圖1 廣義通用模型控制策略

應(yīng)該指出，廣義通用模型控制器將被控過(guò)程輸入與輸出之間的相對(duì)階推廣到大于1 的情形，被控過(guò)程仍要求具有可逆的動(dòng)態(tài)(如最小相位系統(tǒng))以及的逆存在。

2 倒立擺廣義通用模型控制器的設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)建模[2]

二級(jí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)分析示意圖如圖2

圖2 二級(jí)倒立擺運(yùn)動(dòng)分析示意圖

倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下：小車(chē)系統(tǒng)的等效質(zhì)量M=1.32Kg，擺桿1 質(zhì)量m1=0.04Kg， 擺桿1 轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心距離l1=0.09m， 擺桿2 質(zhì)量m2=0.132Kg，擺桿2 轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心距離l2=0.27m，質(zhì)量塊質(zhì)量m3=0.208Kg，F(xiàn)：作用在系統(tǒng)上的外力，θ1：擺桿1 與垂直向上方向的夾角，θ2：擺桿2 與垂直向上方向的夾角。

利用拉格朗日方程得出二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型，， 并經(jīng)線性化處理可得：

其中

3 仿真實(shí)驗(yàn)

倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下：小車(chē)系統(tǒng)的等效質(zhì)量M=1.32Kg，擺桿1 質(zhì)量m1=0.04Kg， 擺桿1 轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心距離l1=0.09m， 擺桿2 質(zhì)量m2=0.132Kg，擺桿2 轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心距離l2=0.27m，質(zhì)量塊質(zhì)量m3=0.208Kg。 系統(tǒng)仿真模型圖如圖3 所示：

圖3 系統(tǒng)仿真模型圖

仿真結(jié)果如圖4、圖5 所示：

圖4 擺桿角度的仿真結(jié)果

圖5 小車(chē)位置的仿真結(jié)果

觀察圖4、圖5 可發(fā)現(xiàn)，采用通用模型能夠更好地抗干擾，具有更好的跟隨性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了直線二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，使用Simulink 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真，經(jīng)仿真實(shí)驗(yàn)表明，應(yīng)用Lie 導(dǎo)數(shù)概念結(jié)合廣義通用模型控制器原理對(duì)于二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以將被控對(duì)象的模型嵌入到控制器中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了設(shè)計(jì)的有效性，推廣了廣義通用模型控制器的應(yīng)用范圍，具有一定的參考價(jià)值。

［1］李志剛. 廣義通用模型控制器研究[D]. 華東理工大學(xué),2006.

［2］王海英,袁麗英,吳勃. 控制系統(tǒng)的MATLAB 仿真與設(shè)計(jì)[M]. 北京：高等教育與出版社，2009：332-335.

［3］姚黎婷,楊浩,孫雅麗,等. 直流調(diào)速系統(tǒng)廣義通用模型控制器的設(shè)計(jì)及應(yīng)用[J]. 自動(dòng)化與儀器儀表, 2014(8)：90-92.

［4］郭丙君,俞金壽,基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的通用模型自適應(yīng)控制[J]. 工業(yè)儀表與自動(dòng)化裝置,2006,2,10-13,32.