基于WFCM算法在MRI圖像分割中的應(yīng)用

摘 "要： 模糊C均值聚類（FCM）算法是一種基于非監(jiān)督聚類算法。樣本加權(quán)模糊C均值聚類（WFCM）算法是FCM算法的改進(jìn)，該算法能夠明顯提高收斂速度和聚類的準(zhǔn)確性。無論是FCM算法還是WFCM算法，對(duì)噪聲都相對(duì)敏感，而且聚類數(shù)目仍然需要人工確定。在此提出一種改進(jìn)算法，首先通過偏微分方程（PDE）降噪算法對(duì)原始腦MRI醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行處理;其次利用聚類有效性確定最佳聚類數(shù)目，對(duì)WFCM算法進(jìn)行改進(jìn);最后利用本文改進(jìn)算法對(duì)圖像進(jìn)行聚類分割。實(shí)驗(yàn)表明，該方法是一種具有自動(dòng)分類能力、抗噪性較好的模糊聚類圖像分割算法。

關(guān)鍵詞： 圖像分割; PDE降噪; 聚類有效性; 樣本加權(quán); 模糊聚類

中圖分類號(hào)： TN964?34 " " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A " " " " " " " " " " " " " "文章編號(hào)： 1004?373X（2015）06?0090?04

Application of an improved WFCM?based algorithm in MRI image segmentation

HAN Hong?wei， MIAO Jia?qing

（Engineering amp; Technical College， Chengdu University of Technology， Leshan 614000， China）

Abstract： Fuzzy C?means clustering （FCM） algorithm is an unsupervised clustering algorithm. The sample weighted fuzzy C?means clustering （WFCM） algorithm is an improved FCM algorithm， which can significantly improve the speed of convergence and accuracy of clustering. Both FCM algorithm and WFCM algorithm are relatively sensitive to noise， but still need to determine the number of the clusters manually. In this paper， an improved algorithm is proposed， in which the noise reduction algorithm of partial differential equations （PDE） is used to process the original brain MRI image， and the cluster validity is adopted to determine the optimal number of clusters to improve WFCM algorithm and execute the image segmentation. Experiment results show that the improved algorithm has a capability of automatic classification and better noise immunity.

Keywords： image segmentation; PDE noise reduction; validity of clustering; sample weighting; fuzzy clustering

0 "引 "言

圖像分割是圖形處理的基本問題之一，是目標(biāo)的特征提取、識(shí)別與跟蹤的基礎(chǔ)。由于腦MRI醫(yī)學(xué)圖像邊界數(shù)據(jù)的模糊和整體圖像數(shù)據(jù)的噪聲干擾，使得醫(yī)學(xué)圖像分割問題比較困難[1]。由于腦MRI醫(yī)學(xué)圖像在一定程度上存在著不確定性，而模糊理論則正好對(duì)圖像的這種不確定性有著較好的描述能力，因此模糊聚類被應(yīng)用于圖像分割問題中，并取得了較好的效果。而模糊C均值（FCM）聚類算法[2]是目前流行的圖像分割方法之一。該算法適用于存在模糊性和不確定性圖像的分割。

但是模糊C均值聚類這種算法也存在著一些明顯的不足。比如沒有充分利用圖像的空間信息、聚類數(shù)目無法自動(dòng)確定、計(jì)算量大等問題[3]。文獻(xiàn)[4]提出了樣本加權(quán)的模糊C均值聚類（WFCM）算法，作者認(rèn)為樣本在聚類過程中所起的作用不一樣，對(duì)聚類結(jié)果產(chǎn)生的影響就不同，因此給每個(gè)樣本賦予一定的權(quán)值對(duì)FCM目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行修改，同時(shí)修改迭代公式。該算法提高了收斂速度和聚類的準(zhǔn)確性，但是仍然無法克服人工確定聚類數(shù)的缺點(diǎn)，而且抗噪表現(xiàn)不理想。本文在該算法的基礎(chǔ)上首先進(jìn)行了偏微分方程圖像降噪處理， 其次利用聚類的有效性進(jìn)行最佳聚類數(shù)目確定， 最后進(jìn)行樣本加權(quán)改進(jìn)。這樣能夠得到一種能自動(dòng)給出最佳分類、抗噪性更好的改進(jìn)算法。本文使用的腦MRI醫(yī)學(xué)圖像由西門子0.35T永磁核磁共振儀直接拍攝提供。

1 "偏微分方程降噪方法

1.1 "基于各向異性擴(kuò)散PDE降噪模型

基于PDE的圖像處理方法在醫(yī)學(xué)圖像降噪領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，因?yàn)樗谄交肼暤耐瑫r(shí)，可以使得醫(yī)學(xué)圖像的細(xì)節(jié)，如血管信息， 病灶區(qū)域邊緣和醫(yī)學(xué)紋理信息等得到保護(hù)[5]。利用偏微分方程進(jìn)行圖像降噪的方法比較多，其中Catte降噪模型最具有代表性。Catte降噪模型是P?M降噪模型的改進(jìn). 下面介紹P?M圖像降噪方法。Perona和Malik于1990年首先提出了各向異性擴(kuò)散PDE模型， 即P?M模型[6]， 如式（1）所示：

[?u（x，y，t）?t=div（g（?u）?u）u（x，y，0）=u0（x，y）] "（1）

式中：[g（?u）]被稱為各項(xiàng)異性擴(kuò)散函數(shù)， Perona和Malik給出[g（?u）]函數(shù)的經(jīng)典選擇， 如式（2）所示：

[g（?u）=exp?uK2] （2）

或選擇：

[g（?u）=11+（?uK）2] （3）

式中：參數(shù)[K]是邊緣閾值，故而對(duì)于函數(shù)[g（?u）]中[K]的取值十分重要， 假若[K]取值過大， 腦MRI醫(yī)學(xué)圖像平滑過渡會(huì)直接導(dǎo)致醫(yī)學(xué)圖像的邊緣模糊，醫(yī)學(xué)信息細(xì)節(jié)丟失; 假若[K]取值太小， 腦MRI圖像較早的停止了平滑擴(kuò)散進(jìn)而導(dǎo)致圖像降噪效果不理想[7]。

現(xiàn)在來了解各向異性擴(kuò)散的PM方程中的常量[K]對(duì)擴(kuò)散的影響， 如式（4）所示可知：

[Φ（?u）=g（?u）?u] （4）

首先對(duì)于梯度[?u]增大， 則[Φ（?u）]在零點(diǎn)附近的值趨于零， 當(dāng)[?u≈K]時(shí)函數(shù)[Φ（?u）]取得最大值， 然后函數(shù)[Φ（?u）]的值又下降到零， 故而函數(shù)[Φ（?u）]的擴(kuò)散特征可進(jìn)而表示為： 當(dāng)[?ugt;K]時(shí)， 各向異性擴(kuò)散退化為各項(xiàng)同性擴(kuò)散; 當(dāng)[?ult;K]時(shí)， 函數(shù)[Φ（?u）]的值趨于零， 各向異性擴(kuò)散是很微弱的， 這樣就便于腦MRI醫(yī)學(xué)圖像的邊緣，血管等醫(yī)學(xué)細(xì)節(jié)信息的保留。

PM方程的各向異性擴(kuò)散的主要原理是： 沿著腦MRI圖像的法向進(jìn)行相應(yīng)的濾波增強(qiáng)腦MRI圖像的邊緣的敏感性， 而沿著腦MRI醫(yī)學(xué)圖像的切向進(jìn)行濾波則降低噪聲。P?M方程可重寫成如下形式：

[?u?t=11+λ2?u2uξξ+1-λ2?u2（1+λ2?u2）2uηη] （5）

式中：[λgt;0（λ=1k）]是參數(shù);[η=?u?u]; [ξ=?u⊥?u⊥][（?u⊥=（-uy，ux））]; [ξ]，[η]分別是腦MRI圖像的切向和法向兩個(gè)方向。同理，式（5）可重寫成如式（6）的形式：

[?u?t=?u=uξξ+uηη] （6）

對(duì)比式（5）和式（6）可見， 上述的降噪方法雖然可以實(shí)現(xiàn)腦MRI圖像的醫(yī)學(xué)細(xì)節(jié)信息的保留和圖像降噪兩個(gè)方面。由于該偏微分方程的所求得的解并不是惟一的， 就是說該偏微分方程是一個(gè)病態(tài)的PDE問題[8]。

各向異性擴(kuò)散的P?M模型在一定程度上改進(jìn)了各項(xiàng)同性擴(kuò)散所存在的缺陷，但是P?M模型是一個(gè)病態(tài)問題， 為了解決這個(gè)問題使用正則化方法。利用[Gσ??u]替換掉式（4）中的[?u]來改進(jìn)這個(gè)各向異性擴(kuò)散的P?M模型， 其中[Gσ]是高斯核函數(shù). 則P?M模型可以改進(jìn)為如式（7）的形式：

[?u（x，y，t）?t=div[g（Gσ??u）?u]] （7）

式中[Gσ??u=?（Gσ?u）=?Gσ?u]， 同時(shí)式（7）也被稱為正則化的各向異性擴(kuò)散P?M方程， 也被稱為Catte降噪模型. 對(duì)于上述的P?M模型， 改進(jìn)了的Catte降噪模型主要有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

（1） 利用 Catte降噪模型降低腦MRI圖像中的噪聲點(diǎn)， 效果非常明顯， 與未改進(jìn)的P?M模型相比， Catte降噪模型首先平滑了圖像， 即首先進(jìn)行了腦MRI圖像的降噪。

（2） Catte降噪模型最為主要的思想是在各項(xiàng)異性的擴(kuò)散中加入了各項(xiàng)同性的擴(kuò)散。

1.2 "基于Catte降噪模型降噪效果分析

圖1是Catte模型對(duì)高噪聲原始腦MRI醫(yī)學(xué)圖像[u0（x，y）]降噪結(jié)果。

lt;E：＼王芳＼現(xiàn)代電子技術(shù)201506＼現(xiàn)代電子技術(shù)15年38卷第6期＼Image＼38t1.tifgt;

圖1 各項(xiàng)異性擴(kuò)散的Catte模型降噪結(jié)果

由圖1可以看出， 當(dāng)?shù)螖?shù)增大時(shí)圖像的模糊程度也隨之增大，信息細(xì)節(jié)的丟失增多， 同時(shí)迭代次數(shù)增加將加大計(jì)算時(shí)間，故而對(duì)于相應(yīng)的迭代次數(shù)的選取人為參與因素較大。所以合理地選擇控制迭代次數(shù)使得去除噪聲的同時(shí)保留腦MRI醫(yī)學(xué)圖像的醫(yī)學(xué)細(xì)節(jié)是十分重要的。在進(jìn)行降噪效果分析時(shí)發(fā)現(xiàn)， 對(duì)于各項(xiàng)同性的降噪模型所存在的缺點(diǎn)大幅度的進(jìn)行了改進(jìn)，同時(shí)發(fā)現(xiàn)Catte降噪模型迭代速度較慢， 并且在進(jìn)行相同的迭代次數(shù)時(shí)式（3）的平滑程度較式（2）弱，故而對(duì)于擴(kuò)散函數(shù)的選擇十分重要。

2 "樣本加權(quán)模糊C均值聚類算法

2.1 "FCM算法

FCM算法[2]是目前比較流行的一種模糊聚類算法，它適合于圖像中存在不確定性和模糊性的特點(diǎn)，同時(shí)FCM算法是屬于無監(jiān)督的分類方法，聚類過程中不需要任何人工的干預(yù)，很適合于自動(dòng)分割的應(yīng)用領(lǐng)域。式（8）給出了基于目標(biāo)函數(shù)的一般描述：

[min JmU，P=k=1ni=1cμikmdik2， " m∈1，∞s.t. U∈Mfc] "（8）

式中[U=μik]為模糊隸屬度矩陣，[P=[pi]i=1，2，…，c]表示第[i]類的聚類原型矢量，[dik]表示第[i]類中的樣本[xk]與第[i]類的典型樣本[pi]之間的失真度，這里采用的是兩個(gè)矢量間的歐式距離。[JmU，P]表示各類中樣本與其典型樣本的誤差平方和，[m]為加權(quán)指數(shù)，又稱作平滑參數(shù)。盡管從數(shù)學(xué)角度看，[m]的出現(xiàn)不自然，但是如果不對(duì)隸屬度加權(quán)，從硬聚類目標(biāo)函數(shù)到模糊聚類目標(biāo)函數(shù)的推廣將是無效的。根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法可得兩個(gè)優(yōu)化迭代公式如下：

[μik=1j=1cdikdjk2m-1] （9）

[pi=1k=1nμikmk=1nμikmxk] （10）

由以上算法不難看出，整個(gè)計(jì)算過程就是反復(fù)修改聚類中心和分類矩陣的過程，因此常稱這種方法為動(dòng)態(tài)聚類或者逐步聚類法。幾經(jīng)修補(bǔ)，該算法的收斂性已經(jīng)得以證明：FCM算法能從任意給定初始點(diǎn)開始沿一個(gè)迭代子序列收斂到其目標(biāo)函數(shù)[JmU，P]的局部極小點(diǎn)或鞍點(diǎn)[1]。

2.2 "加權(quán)的模糊聚類算法（WFCM）

FCM算法是目前比較流行的一種模糊聚類算法，然而經(jīng)典算法本身并不完善。下面介紹這個(gè)改進(jìn)的WFCM算法：正如前文所述，在聚類過程中，F(xiàn)CM算法是基于傳統(tǒng)的歐式距離，每個(gè)樣本對(duì)聚類的貢獻(xiàn)是沒有差別的，實(shí)際上，每個(gè)樣本所起的作用是不一樣，對(duì)聚類結(jié)果產(chǎn)生的影響不同。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，那些包含樣本點(diǎn)比較多，分散的或孤立的樣本點(diǎn)會(huì)對(duì)聚類結(jié)果產(chǎn)生不良影響，而樣本數(shù)比較均勻的類別則有助于算法得到良好的聚類結(jié)果。因此，對(duì)原來的算法進(jìn)行優(yōu)化是很有必要，從而體現(xiàn)出不同樣本的作用差異[9]。

模糊聚類是按照事物之間的相似性來分類的，相似性一般用距離來度量，如果樣本之間的距離越小，說明這兩個(gè)樣本之間越相似或越接近，與其他樣本之間的平均相似度越高，則它對(duì)聚類產(chǎn)生的正面影響就越大[10]。所以，對(duì)于某個(gè)樣本而言，它周圍的樣本點(diǎn)越多，獲得的平均相似度就高，就有利于聚類，應(yīng)該被賦予較大的權(quán)值。首先，定義樣本間的平均相似度如下：

[zk=1nj=1ndxk，xj] （11）

式中[dxk，xj]表示樣本[xk]和[xj]之間的歐式距離。那么樣本的權(quán)值可表示為：

[ωk=k=1nzkzk] "（12）

可以看出，[d]越小，即樣本[xk]與其他樣本越相似，則[zk]的值越小，權(quán)值[ωk]就越大。這樣根據(jù)各自權(quán)值的大小，每個(gè)樣本的重要性就能很好地區(qū)分出來。

確定樣本點(diǎn)的權(quán)值后，原來的聚類目標(biāo)函數(shù)就變?yōu)椋?/p>

[JmU，P=k=1ni=1cωkμikmdik2] （13）

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法可得到相應(yīng)的迭代公式：

[μik=h=1cdikdhk2m-1-1] （14）

[pi=k=1nωkμikmxkk=1nωkμikm] （15）

該算法能明顯提高收斂速度和聚類的準(zhǔn)確性，具有一定的優(yōu)越性。

3 "改進(jìn)的WFCM算法

WFCM算法是改進(jìn)的FCM算法，該算法能明顯提高收斂速度和聚類的準(zhǔn)確性，但是該算法仍然無法克服人工確定類數(shù)的缺點(diǎn)，而且抗噪性不理想，本文在改算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，得到一種能自動(dòng)給出最佳分類、抗噪性更好的改進(jìn)算法。為了降低算法對(duì)噪聲的敏感性，本文利用PDE降噪算法對(duì)原圖像進(jìn)行前期處理;為了確定最佳的聚類類數(shù)[11]，本文引入聚類有效性方法對(duì)WFCM進(jìn)行初始化，然后利用WFCM算法對(duì)降噪后的圖像進(jìn)行分割。

3.1 "聚類有效性

FCM算法本身并不能確定聚類的數(shù)目，為了能得到最優(yōu)聚類數(shù)目，本文采用Xie?Beni指標(biāo)[10]作為模糊聚類有效性函數(shù)。下面定義模糊劃分的平均緊致度和類間分離度：

[Com=1ni=1cj=1numijVi-Xj2] （16）

[Sep=mini≠j?1，…，cVi-Xj2] （17）

式中：[Xj]為數(shù)據(jù)點(diǎn);[Vi]為聚類中心;[c]表示聚類的數(shù)量;[n]表示數(shù)據(jù)對(duì)象的數(shù)量。則Xie?Beni指數(shù)[S]定義為緊致度和分離度的比值：

[S=i=1cj=1numijVi-Xj2nmini≠j?1，…，cVi-Xj2] （18）

從上式可以看出，同一聚類中數(shù)據(jù)點(diǎn)的緊致度越高且不同聚類間的分離度越高，[S]的值就越小，聚類的劃分也就越合理。因此，要得到最佳聚類個(gè)數(shù)[c]，可以選定不同的[c2≤c≤n-1]，并選取具有最小[S]值的作為最佳聚類數(shù)。

3.2 "本文改進(jìn)算法

結(jié)合PDE降噪算法和聚類有效性測(cè)度對(duì)WFCM改進(jìn)的本文算法步驟如下：

（1） 利用PDE降噪算法對(duì)原圖像進(jìn)行降噪;

（2） 輸入降噪后的數(shù)據(jù)，首先令[c=2]，初始化[xi]相對(duì)于聚類[i]的隸屬度[uij]，并根據(jù)式（12）計(jì)算權(quán)值[ωj];

（3） 根據(jù)式（14）計(jì)算或更新模糊隸屬度[uij];

（4） 根據(jù)式（15）計(jì)算或更新模糊聚類中心[pi];

（5） 判斷[pb-pb+1lt;ε]是否成立，若否，轉(zhuǎn)步驟（3）;

（6） 根據(jù)式（18）計(jì)算[S]的值;

（7） 令[c=c+1]，判斷[clt;n]是否成立，若否，轉(zhuǎn)步驟（3），找出[S]最小時(shí)的[c]值就是最優(yōu)聚類個(gè)數(shù)[c*]。

4 "仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)算法的分割效果，本文選取由西門子0.35T永磁核磁共振儀拍攝的腦MRI醫(yī)學(xué)圖像（如圖2（a）），在相同的Matlab環(huán)境下，分別利用FCM、WFCM和本文算法對(duì)原圖進(jìn)行分割。

在利用本文改進(jìn)算法進(jìn)行分割時(shí)，經(jīng)過反復(fù)實(shí)驗(yàn)確定模糊加權(quán)指數(shù)[m]取2時(shí)，聚類效果最好。同時(shí)分別計(jì)算了[c]取2～15時(shí)的[S]值，當(dāng)[c=5]時(shí)，[S]值最小，此時(shí)聚類效果最好，為了能夠比較算法效果，對(duì)于FCM和WFCM算法本文也選取聚類數(shù)為5。分割結(jié)果如圖2所示。從分割結(jié)果來看，本文算法聚類效果比前兩種算法好的多，這是因?yàn)楸疚牟捎玫腜DE降噪算法在降低噪聲的同時(shí)，能夠保留細(xì)節(jié)，而且能夠自動(dòng)確定最佳聚類數(shù)目，達(dá)到準(zhǔn)確分割的目的。

5 "結(jié) "論

本文根據(jù)MRI醫(yī)學(xué)圖像的特點(diǎn)，提出一種基于WFCM的改進(jìn)算法，該算法首先利用PDE降噪算法進(jìn)行降噪，然后根據(jù)Xie?Beni指數(shù)，在沒有先驗(yàn)知識(shí)的條件下，確定了最佳聚類數(shù)目，以此對(duì)WFCM算法進(jìn)行初始化，得到本文改進(jìn)的 WFCM算法。利用該算法對(duì)MRI醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行分割，結(jié)果表明該算法比WFCM算法有更高的聚類準(zhǔn)確性，效果更好。

lt;E：＼王芳＼現(xiàn)代電子技術(shù)201506＼現(xiàn)代電子技術(shù)15年38卷第6期＼Image＼38t2.tifgt;

圖2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

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