求函數(shù)值域中的大類總結(jié)思維方法

周立偉

摘 要：函數(shù)值域的求法是高中數(shù)學(xué)中教材并不直接說明，但是卻具有較大實用價值的一個重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點。嘗試采用大類總結(jié)的思維方式，對各種常規(guī)函數(shù)的值域求法進(jìn)行一個跨章節(jié)跨知識點的集中總結(jié)。所謂大類總結(jié)，指的是打亂章節(jié)設(shè)置和知識點排列，從思維方法的類別上入手，把不同知識點整理到同一板塊的題型中去，形成立體的知識網(wǎng)絡(luò)。

關(guān)鍵詞：函數(shù) 值域 大類總結(jié)

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）11（b）-0241-02

通過近幾年數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)方面有著不小的問題。究其原因，主要在于學(xué)生從初中的數(shù)學(xué)思維層次躍升到中職或者高中的數(shù)學(xué)層次時，有很多不適應(yīng)的地方。筆者所從教的中職數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容基本和高中內(nèi)容相同，因此，以下均簡稱為高中數(shù)學(xué)。

如果初中數(shù)學(xué)的特點用“方程”二字可以概括的話，那么高中數(shù)學(xué)的特點就可以用“函數(shù)”二字進(jìn)行總結(jié)。高中數(shù)學(xué)在很多的知識點里，均引入了變量和參數(shù)的概念，從初中機械的公式套用，轉(zhuǎn)變到現(xiàn)在的靈活多變，分類討論和數(shù)形結(jié)合的基本思維方法，更是貫穿始終，成為高中數(shù)學(xué)的一大亮點，當(dāng)然，同時也成為了很多學(xué)生心目中的一大難點。

在從事數(shù)學(xué)教學(xué)實踐的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，如果不能及時引導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)思維的跨越，則學(xué)生根本無法應(yīng)對數(shù)學(xué)中如此龐雜和靈活的解題技巧，也達(dá)不到高考的基本要求。因此，在不斷地改進(jìn)教學(xué)方法的同時，筆者也在進(jìn)行很多思考，試圖能把許多學(xué)生望而生畏的數(shù)學(xué)，變得豐富多彩一些和簡單易學(xué)一些。在這些筆者嘗試過的教學(xué)方法中，“大類總結(jié)”是一個非常有實效的方法。這種方法打亂章節(jié)設(shè)置和知識點排列，從思維方法的類別上入手，把不同知識點整理成一串，用具體思維過程作為其聯(lián)系的紐帶。這種總結(jié)與循序漸進(jìn)的章節(jié)學(xué)習(xí)配合起來，能構(gòu)成一張縱橫交錯的立體知識結(jié)構(gòu)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益。

針對學(xué)生們普遍叫難的函數(shù)值域求法，筆者根據(jù)上述的教學(xué)思維理念，做了一個書面的嘗試，并在幾個年級進(jìn)行了實驗。現(xiàn)將大致過程和內(nèi)容記錄如下。

基本初等函數(shù)分為：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。若將其中的幾個綜合起來，則可以得到一些更復(fù)雜的函數(shù)。但是萬變不離其宗，圍繞著基本初等函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，很多值域的問題還是可以得到解決的。

函數(shù)值域的常規(guī)解法，可大致分為以下九類。

（1）配方法。

二次函數(shù)或形如類的函數(shù)。二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合。

（3）換元法。

換元法指的是通過觀察，也可通過解析式變形，在函數(shù)的解析式中，得出一些具有相同形式的元素，設(shè)其整體為一個新的變量，達(dá)到換元的目的。但是，使用換元法時要注意跟學(xué)生強調(diào)，務(wù)必考慮這個新變量的取值范圍。

例3：求下列函數(shù)的值域。

以上9類求函數(shù)值域的求法，筆者對學(xué)生戲稱為“獨孤九劍”，在使用時要能針對具體題型進(jìn)行方法歸類，在記憶和鞏固的時候一定要特征鮮明，并且不斷地進(jìn)行練習(xí)和加強。

此項內(nèi)容若編寫成教案，應(yīng)該合理安排課時，再多添加一些新的練習(xí)題，并可根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行刪減。根據(jù)筆者實踐，普通高中學(xué)生對該思維方法掌握得較好，內(nèi)容較適中，但中專學(xué)生基礎(chǔ)略差，上述9類方法要刪去一些，根據(jù)2015年上海市教委教研室頒布的新的《中職數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，有些內(nèi)容作了較大的調(diào)整，因此，在具體教學(xué)時，要再進(jìn)行例題的組合和整理。此外，這些求函數(shù)值域的辦法，也可以在學(xué)生的數(shù)學(xué)課外興趣班里進(jìn)行嘗試，對于學(xué)生全面了解《函數(shù)》這一章的知識結(jié)構(gòu)和前后傳承，有很大的幫助。

由于大類總結(jié)的方法往往打破了教材上的章節(jié)界限，因此，可能需要在相應(yīng)章節(jié)教授完畢后，以專題或者復(fù)習(xí)課的方式拿出來進(jìn)行講授。這樣對于構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)科的知識縱向網(wǎng)絡(luò)是有很大幫助的。如果高三或者高復(fù)班的教師用來進(jìn)行高考第二輪復(fù)習(xí)，也應(yīng)具有一定的實用價值。

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