Kalman濾波在GPS非差相位精密單點(diǎn)定位中的應(yīng)用

符新新，高俊強(qiáng)，石 巖

（南京工業(yè)大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，江蘇 南京210000）

精密單點(diǎn)定位是利用GPS衛(wèi)星精密星歷及精密衛(wèi)星鐘差［1］，對(duì)單臺(tái)接收機(jī)采集的偽距觀測(cè)值或相位觀測(cè)值進(jìn)行非差定位處理，GPS非差定位精度可達(dá)分米級(jí)甚至是厘米級(jí)。目前，在高精度GPS定位中主要采用雙差模型進(jìn)行定位，但雙差模型作業(yè)時(shí)需至少1臺(tái)接收機(jī)在基準(zhǔn)站上連續(xù)觀測(cè)，并且雙差觀測(cè)值本身存在數(shù)學(xué)相關(guān)，很難形成相互獨(dú)立的雙差觀測(cè)值，對(duì)質(zhì)量控制不利［2］，而非差模型在進(jìn)行精密單點(diǎn)定位時(shí)可以利用單臺(tái)接收機(jī)進(jìn)行獨(dú)立作業(yè)，并且可以得到高精度坐標(biāo)，因此，很有研究?jī)r(jià)值。

卡爾曼濾波是一個(gè)不斷預(yù)測(cè)、修正的過程，它是在線性無(wú)偏最小方差估計(jì)原理下推得的一種方法，求解時(shí)不需要存儲(chǔ)大量觀測(cè)數(shù)據(jù)，當(dāng)?shù)玫叫碌挠^測(cè)值就可隨時(shí)算出新的參數(shù)濾波值［3］，因此，利用卡爾曼濾波能夠較好實(shí)現(xiàn)GPS非差相位精密單點(diǎn)定位，得到運(yùn)動(dòng)中物體的位置與速度，提高定位的精度，滿足用戶的需要，它為低軌衛(wèi)星精密實(shí)時(shí)軌道結(jié)算提供了可能性［4］。近年來，卡爾曼濾波在GPS動(dòng)態(tài)定位數(shù)據(jù)處理以及INS／GPS組合系統(tǒng)導(dǎo)航計(jì)算等領(lǐng)域都得到深入研究與廣泛應(yīng)用［5］。

標(biāo)準(zhǔn)的卡爾曼濾波計(jì)算過程比較簡(jiǎn)單，只要建立的函數(shù)模型符合真實(shí)情況，就可以得到較好的濾波結(jié)果。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化的狀態(tài)方程會(huì)產(chǎn)生較大的噪聲誤差，只是狀態(tài)變量的一步預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確，而且觀測(cè)方程一般也不是線性的［6］，在進(jìn)行線性化過程中量測(cè)矩陣僅取至泰勒級(jí)數(shù)展開的一次項(xiàng)并且略去二次及以上高階項(xiàng)，而舍棄高階項(xiàng)就容易產(chǎn)生誤差，如果在濾波過程中加入迭代擴(kuò)展的卡爾曼濾波則可以解決這個(gè)問題。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 GPS非差觀測(cè)模型

由雙頻非差觀測(cè)方程得到消除了電離層誤差的組合觀測(cè)方程

可以看出，此觀測(cè)方程是非線性方程，需要對(duì)其進(jìn)行線性化。在GPS非差精密單點(diǎn)定位中，首先利用衛(wèi)星鐘差估計(jì)值消去衛(wèi)星鐘差項(xiàng)，而GPS衛(wèi)星坐標(biāo)則可以利用精密星歷算出［7］。設(shè)接收機(jī)的參數(shù)估計(jì)值＾r(nóng)i＝ri，0＋Δri，其中，ri，0為接收機(jī)的近似初始值，Δri為修正量，計(jì)算出的近似鐘誤差為，將δti，L＝＋Δδti，L利用接收機(jī)初始坐標(biāo)值進(jìn)行線性化處理，略去高次項(xiàng)得到：

1.2 迭代擴(kuò)展卡爾曼濾波模型

在利用卡爾曼濾波處理動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)之前，需要建立濾波的動(dòng)態(tài)方程和觀測(cè)方程。GPS非差精密單點(diǎn)定位中很難用精確的數(shù)學(xué)公式表示動(dòng)態(tài)模型，實(shí)際應(yīng)用中通常在精度損失較小的情況下進(jìn)行簡(jiǎn)化。然而在標(biāo)準(zhǔn)的卡爾曼濾波方程中，要求觀測(cè)方程是線性方程，動(dòng)態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲是白噪聲，而實(shí)際狀態(tài)參數(shù)與觀測(cè)量都是非線性函數(shù)，所以必須對(duì)觀測(cè)方程進(jìn)行線性化處理。

GPS非差精密單點(diǎn)定位的卡爾曼濾波模型為

式中：Xk，Lk分別為歷元k的狀態(tài)向量與觀測(cè)向量；φk／k－1，Γk－1分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與動(dòng)態(tài)噪聲矩陣；Ωk－1，Wk分別為系統(tǒng)噪聲向量與觀測(cè)噪聲向量；Hk（Xk）表示Lk與Xk間的函數(shù)關(guān)系。

假設(shè)一物體在k時(shí)刻的三維運(yùn)動(dòng)用離散的動(dòng)態(tài)模型可以描述為

在GPS非差相位精密單點(diǎn)定位中，對(duì)于觀測(cè)方程，則將其在＾Xk／k－1處線性化，可以得到線性化后的觀測(cè)方程為

其中，ηk的作用是附加于觀測(cè)噪聲上，為增大觀測(cè)噪聲而引進(jìn)的線性化誤差，由于ηk與｜Xk－＾Xk／k－1｜2是同階的，在濾波初始段ηk的方差比較大，而預(yù)報(bào)誤差（Xk－＾Xk／k－1）的方差會(huì)隨著濾波的不斷遞推而逐步下降，ηk的方差隨著k的增大也會(huì)逐步下降，因此，量測(cè)方程的非線性主要影響的是濾波初始計(jì)算精度，而對(duì)之后濾波遞推的精度影響很小。

迭代擴(kuò)展的卡爾曼濾波方法的原理是首先將觀測(cè)方程在各個(gè)時(shí)刻線性化，然后進(jìn)行迭代計(jì)算，并重復(fù)整個(gè)濾波過程，對(duì)于非線性觀測(cè)方程，迭代擴(kuò)展卡爾曼濾波所求參數(shù)估值與真值較為接近，濾波得到的最后估值較為合理，可以很好地解決當(dāng)初始值很差或擾動(dòng)很大線性化不能很好地表示系統(tǒng)的問題。

根據(jù)卡爾曼濾波的觀測(cè)方程，在任意時(shí)刻k迭代計(jì)算估計(jì)值的步驟為：第一步，先確定迭代初始值就是Xk的一步預(yù)報(bào)狀態(tài)向量再將觀測(cè)方程作線性化處理，把計(jì)算得到的濾波值作為；第二步，在處 將 觀測(cè)方程重新進(jìn)行線性化處理并重復(fù)整個(gè)濾波過程，將新的估計(jì)值作為；如果狀態(tài)向量的分量不滿足條件（ε是 預(yù) 先 給 定 的 迭 代 限 值并取ε＝1mm），則回到第二步驟，否則迭代過程結(jié)束。

2 算例分析

卡爾曼濾波可以實(shí)時(shí)計(jì)算移動(dòng)中用戶的三維坐標(biāo)與速度。實(shí)驗(yàn)中，用戶手持GPS接收機(jī)并以正常的速度行走，然后采集10s采樣率的300個(gè)歷元的原始觀測(cè)數(shù)據(jù)，將這些原始觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代擴(kuò)展卡爾曼濾波的實(shí)時(shí)模擬估計(jì)。模擬估計(jì)結(jié)果與該城市基準(zhǔn)站進(jìn)行RTK觀測(cè)實(shí)驗(yàn)的點(diǎn)位結(jié)果坐標(biāo)值比較，結(jié)果如圖1所示。

圖1 迭代擴(kuò)展的卡爾曼濾波計(jì)算結(jié)果和實(shí)時(shí)RTK計(jì)算的結(jié)果比較

由圖1可知，在計(jì)算中，設(shè)置ε＝1mm的限值，經(jīng)過幾步迭代計(jì)算就可以達(dá)到很好的收斂效果。用該方法處理該組數(shù)據(jù)，它與RTK測(cè)得的三維坐標(biāo)值相差很小，X，Z方向都在5cm之內(nèi)，Y方向也在10cm之內(nèi)，充分說明迭代擴(kuò)展卡爾曼濾波可以有效消除線性化所帶來的誤差。

3 結(jié)束語(yǔ)

首先闡述了GPS非差相位精密單點(diǎn)定位觀測(cè)模型，提出卡爾曼濾波模型，對(duì)其狀態(tài)方程與觀測(cè)方程的建立進(jìn)行詳細(xì)闡述，并采用迭代擴(kuò)展卡爾曼濾波算法解決了由于非差相位非線性方程線性化帶來的線性誤差，引入實(shí)例加以驗(yàn)證，從而證明該方法具有一定的實(shí)際價(jià)值。

如果濾波所使用的系統(tǒng)模型中系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測(cè)矩陣不準(zhǔn)也會(huì)引起濾波的發(fā)散問題，濾波結(jié)果也會(huì)使實(shí)際的濾波誤差變大，如何克服這種發(fā)散現(xiàn)象還需要進(jìn)一步研究。

［1］ 劉智敏，林文介.GPS非差相位精密單點(diǎn)定位技術(shù)的發(fā)展［J］.桂林工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，24（3）：340－344.

［2］ 陳小明.高精度GPS動(dòng)態(tài)定位的理論與實(shí)踐［D］.武漢：武漢測(cè)繪科技大學(xué)，1997.

［3］ 淘本藻.卡爾曼濾波模型誤差的識(shí)別［J］.地殼形變與地震，1999，11（4）：15－20.

［4］ 董緒榮，陶大欣.一個(gè)快速Kalman濾波方法及其在GPS動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，1997，26（3）：221－227.

［5］ 宋迎春.動(dòng)態(tài)定位中的卡爾曼濾波研究［D］.南京：中南大學(xué)，2006.

［6］ 郭杭.迭代擴(kuò)展卡爾曼濾波用于實(shí)時(shí)GPS數(shù)據(jù)處理［J］.武漢測(cè)繪科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，24（2）：112－114.

［7］ 劉經(jīng)南，葉世榕.GPS非差相位精密單點(diǎn)定位技術(shù)探討［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，27（3）：234－239.