基于改進(jìn)小波變換和Zernike 矩的亞像素邊緣檢測算法

文 濤， 左東廣， 李站良， 衛(wèi)賓華

(第二炮兵工程大學(xué)，西安 710025)

0 引言

邊緣檢測作為計算機(jī)視覺和數(shù)字圖像處理中的關(guān)鍵技術(shù)，其目的是要找出周圍像素灰度有屋頂變化或階躍變化的像素點(diǎn)的集合［1］，從而為人們分析圖像或描述目標(biāo)提供有價值的信息。經(jīng)典的邊緣檢測算法可以分為基于查找的邊緣檢測算法、基于零穿越的邊緣檢測算法和Canny 邊緣檢測算法3 類［2］。其中:基于查找的算法是基于一階導(dǎo)數(shù)的邊緣檢測算法，該算法通過尋找圖像一階導(dǎo)數(shù)中的最大和最小值來檢測邊界，常用的微分算子有Roberts 算子、Sobel 算子、Prewitt算子等;基于零穿越的算法是基于二階導(dǎo)數(shù)的邊緣檢測算法，該算法通過尋找圖像二階導(dǎo)數(shù)零穿越來檢測邊界，但是這種算法得到的邊緣容易受噪聲的影響。為此，美國學(xué)者M(jìn)ARR 將高斯低通濾波和拉普拉斯邊緣檢測結(jié)合在一起，提出了高斯—拉普拉斯算子(LOG)。

隨著數(shù)字圖像處理技術(shù)的廣泛應(yīng)用，人們對邊緣檢測算法的檢測效果要求也在不斷提高:一方面，人們希望檢測算法能夠?qū)?qiáng)噪聲條件下弱目標(biāo)做出檢測［3］;另一方面，人們希望邊緣檢測的定位精度從像素級提高到亞像素級。雖然傳統(tǒng)的邊緣檢測算法原理簡單且實時性好，但其無法滿足高精確定位和強(qiáng)抗干擾性能的雙重要求。

文獻(xiàn)［4］中提出了一種基于小波系數(shù)的多尺度邊緣增強(qiáng)算法，實現(xiàn)了SAR 圖像的自動邊緣增強(qiáng)和檢測;文獻(xiàn)［5］利用多尺度小波變換的邊緣檢測方法實現(xiàn)了對帶有噪聲的印刷電路板圖像邊緣的精確提取;文獻(xiàn)［6］提出了改進(jìn)的形態(tài)梯度算子和Zernike 矩的邊緣檢測算法，該方法能夠很好地滿足電荷耦合器件測量系統(tǒng)所需要的亞像素邊緣檢測。

因此，本文將小波變換和Zernike 矩結(jié)合起來，提出了一種多尺度模極大值亞像素邊緣檢測算法，該方法首先結(jié)合小波變換和小波模極大值原理，將邊緣點(diǎn)由粗到細(xì)地搜索出來，實現(xiàn)邊緣的準(zhǔn)確、有效定位，然后再用改進(jìn)后的Zernike 矩算子對圖像進(jìn)行進(jìn)一步的亞像素邊緣提取。實驗結(jié)果證明，該方法與經(jīng)典的邊緣檢測算法相比，抗噪能力強(qiáng)且邊緣定位精度高，能夠滿足高精度圖像測量應(yīng)用。

1 小波模極大值邊緣檢測原理

通俗地講，小波模極大值就是將小波函數(shù)與信號進(jìn)行卷積運(yùn)算，然后對計算結(jié)果取模，最后找到最大值。在圖像處理中，小波變換的模極大值對應(yīng)著圖像的突變點(diǎn)，如噪聲和邊緣信息，因此，可以通過計算圖像小波變換的模極大值來提取圖像的邊緣信息。

式中，ψx和ψy均滿足積分為零的條件，可以將其看成兩個二維小波函數(shù)。一般情況下，θ(x，y)取為二維高斯函數(shù)，其表達(dá)式和一階偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為

式中，σ 為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

對于f(x，y)∈L2(R)的任意圖像來說，在尺度為s時的小波變換的兩個分量分別為

則小波變換在尺度s 下，梯度的模和幅角分別為

式中:f(x，y)為二維信號;L2(R)為函數(shù)空間。

梯度的模值Mxf(x，y)反映了圖像在點(diǎn)(x，y)處的灰度變化程度，梯度的幅角Axf(x，y)是梯度向量與水平方向的夾角。因此，圖像的邊緣特征點(diǎn)為沿著梯度方向上模為局部極大值的點(diǎn)。

2 亞像素邊緣檢測算法

2．1 Zernike 矩原理

Zernike 矩的復(fù)數(shù)域n 階多項式定義為

式中:m 和n 為整數(shù)，且n- |m|為非負(fù)的偶數(shù);ρ 為原點(diǎn)到(x，y)的矢量長度;i 為虛數(shù)單位;徑向多項式Rnm為

Zernike 多項式在單位圓內(nèi)是正交的，即

當(dāng)且僅當(dāng)n=p，m=q 時，式(7)成立，其中V*nm(ρ，φ)為Vpq(ρ，φ)的共軛。

連續(xù)圖像f(x，y)的二維Zernike 矩定義為

離散的數(shù)字圖像f(x，y)的Zernike 矩可以表示為

若圖像旋轉(zhuǎn)φ 角，則旋轉(zhuǎn)之前的Zernike 矩Znm和旋轉(zhuǎn)之后的Zernike 矩Znm' 之間有如下關(guān)系

從式(10)可看出，圖像旋轉(zhuǎn)前后只是相角發(fā)生了變化，而Zernike 矩的模不變，這個性質(zhì)被稱為旋轉(zhuǎn)不變性。

2．2 基于Zernike 矩的邊緣檢測算法原理

基于Zernike 矩的邊緣檢測算法原理是通過建立Zernike 矩與理想的亞像素模型的4 個邊緣參數(shù)的關(guān)系，分別求解矩而得到圖像模型的4 個邊緣參數(shù)，再將參數(shù)與預(yù)設(shè)的閾值進(jìn)行比較判斷，進(jìn)而精確定位邊緣點(diǎn)。平面亞像素階躍邊緣模型如圖1 所示，其中，h 為背景灰度，k 為階躍高度，l 為中心到邊緣的距離，φ 為l與x 軸之間的夾角。

根據(jù)Zernike 矩原理可知，m 和n 為整數(shù)，且n -|m|為非負(fù)的偶數(shù)，因此可以得到5 個不同階次的矩Z00，Z11，Z20，Z31，Z40。

根據(jù)式(6)可得部分徑向多項式Rnm值如表1 所示。

表1 中，r 為原點(diǎn)到點(diǎn)(x，y)的長度。根據(jù)式(5)和表1 可以計算出Zernike 矩的復(fù)數(shù)域多項式如表2所示。

圖1 理想平面亞像素邊緣模型Fig．1 The ideal model of sub-pixel edge

表1 Zernike 徑向多項式RnmTable 1 Zernike radial polynomials Rnm

表2 Zernike 矩的復(fù)數(shù)域多項式VnmTable 2 Complex domain polynomial of Zernike moments Vnm

在單位圓內(nèi)，由Zernike 矩定義和圖1b 中的階躍邊緣模型可以求得

解Z20' 和Z40' 的方程可得

解Z11' 和Z31'的方程可得

由式(10)可知

由圖1 可以看出，Im［Z11'］為關(guān)于y 的奇函數(shù)，因此Im［Z11'］=sin φRe［Z11］-cos φIm［Z11］=0，故

至此，平面亞像素階躍邊緣模型的4 個參數(shù)已經(jīng)全部確定，由圖1 可得，基于Zernike 矩的亞像素邊緣檢測式為

式中:(xs，ys)為亞像素坐標(biāo);(x，y)為圖1 中的原點(diǎn)坐標(biāo)。若Zernike 模板大小為N×N，則式(17)可以改寫為

2．3 7 ×7 模板設(shè)計

為了進(jìn)一步提高邊緣檢測精度，本文在文獻(xiàn)［7 -8］提出的5 ×5 模板的基礎(chǔ)上提出了7 ×7 模板，并將Z00，Z11，Z20的模板系數(shù)擴(kuò)展到了Z00，Z11，Z20，Z31，Z40，Zernike 矩的7 ×7 模板如圖2 所示。

圖2 Zernike 矩的7 ×7 模板Fig．2 The mask of size 7 ×7

在單位圓內(nèi)，不同區(qū)域像素灰度為常數(shù)，因此，式(8)可以改寫為

為了實現(xiàn)Zernike 矩的快速計算，定義Znm的模板為，由式(8)可知，將模板Mnm在圖像上移動，與模板覆蓋下的子圖進(jìn)行卷積運(yùn)算，即可得到圖像的Zernike 矩。

3 多尺度模極大值亞像素邊緣檢測算法

在對圖像進(jìn)行多尺度分解時，隨著尺度的增大，圖像會變得更加平滑，邊緣的定位精度會變得更差，而另一方面，圖像的信噪比會提高，抗噪能力會增強(qiáng)。因此，如果用大尺度來抑制信號的噪聲，而用小尺度來提高邊緣的定位精度，將會極大地提高邊緣檢測的效果，在此基礎(chǔ)上，再用改進(jìn)后的Zernike 矩算子對圖像進(jìn)行進(jìn)一步的亞像素邊緣提取。根據(jù)以上分析，設(shè)計多尺度模極大值亞像素邊緣檢測算法步驟如下所述。

1)選擇一個合適的小波基函數(shù)。文獻(xiàn)［9］中指出小波基的選取應(yīng)遵循3 個原則:

①邊緣在圖像中表現(xiàn)為高頻信號，因此濾波器應(yīng)當(dāng)是高通濾波器;

②檢測邊緣的小波應(yīng)當(dāng)是奇函數(shù);

③小波函數(shù)應(yīng)當(dāng)是窗口函數(shù)，最好是緊支窗口。實際上，上述的3 條準(zhǔn)則是小波函數(shù)的必要條件。而文獻(xiàn)［10］于1992 年將3 次B 樣條函數(shù)作為小波函數(shù)運(yùn)用在邊緣檢測中取得了很好的效果，因此，本文采用3 次B 樣條函數(shù)作為小波函數(shù)。

2)利用選取的小波函數(shù)對圖像進(jìn)行多層分解，本文選取分解層數(shù)J=3。

3)利用小波模極大值原理對各層進(jìn)行單尺度邊緣檢測，計算模極大值Es(x，y)和幅角As(x，y)，設(shè)置閾值Et，當(dāng)Es(x，y)＞Et，認(rèn)為Es(x，y)為邊緣信息。

4)將尺度為s 的邊緣Es的每一像素點(diǎn)(x，y)與s-1 尺度上對應(yīng)的3×3 鄰域共9 個點(diǎn)進(jìn)行比較，將模值和幅角相近的點(diǎn)確定為s-1 尺度的邊緣信息Es-1(x，y)，并將s-1 尺度上的其他邊緣信息舍棄，依次計算，當(dāng)s=1 時就得到了邊緣圖像E1(x，y)。

5)計算7×7 模板{M00，M11，M20，M31，M40}，將模板在邊緣圖像上移動，并與模板覆蓋下的子圖進(jìn)行卷積運(yùn)算，從而得到邊緣圖像的Zernike 矩{Z00，Z11，Z20，Z31，Z40}。

6)根據(jù)2．2 節(jié)中介紹的公式計算平面亞像素階躍邊緣模型的距離l 與角度φ，將其代入式(18)中計算亞像素坐標(biāo)。

4 實驗結(jié)果與分析

為了驗證算法的優(yōu)越性，在Visual Studio2010 平臺下利用C#語言設(shè)計了2 組對比實驗。

第一組實驗?zāi)康氖菫榱颂崛D像邊緣的亞像素坐標(biāo)，為此，在電腦上人工生成一幅大小為128 ×128 的二值圖像，如圖3 所示，在圖像中間插入了圓，圓心在(64，64)，半徑為40，亞像素邊緣檢測的部分結(jié)果如表3 所示。

圖3 二值圖像Fig．3 Binary image

表3 三角形斜邊亞像素檢測Table 3 The triangle hypotenuse subpixel coordinate detection

從表3 中可以看出，邊緣檢測的最大誤差為0．284像素，整體上誤差較小，亞像素邊緣定位精度較高。

為了測量某器件的幾何參數(shù)，本文構(gòu)建了一套基于圖像的自動化測量系統(tǒng)，該系統(tǒng)通過對該器件的投影圖像進(jìn)行采集處理，達(dá)到測量的目的，為了滿足可靠性好、精度高的測量要求，邊緣檢測算法必須具有高精確定位和強(qiáng)抗干擾性能的雙重優(yōu)勢。

因此，為了驗證算法的優(yōu)越性能，本文對采集到的帶有很強(qiáng)噪聲的圖像進(jìn)行邊緣檢測，邊緣檢測結(jié)果如圖4 所示。

圖4 邊緣檢測結(jié)果對比Fig．4 Comparison of edge detection results

從圖中可以看出，Sobel 算子和Prewitt 算子檢測斜向階躍邊緣效果較好，Roberts 算子和LOG 算子精度較高，LOG 算子受噪聲影響較Roberts 算子大，而Canny 算子雖然是基于精確定位和抗干擾的折衷推出的邊緣檢測算子，但在實際應(yīng)用中檢測效果也比較差，而基于改進(jìn)小波變換和Zernike 矩的亞像素邊緣檢測算法抗噪能力強(qiáng)，且定位精度高。

5 結(jié)論

本文研究了一種基于改進(jìn)小波變換和Zernike 矩的亞像素邊緣檢測算法，并進(jìn)行了邊緣檢測實驗。實驗結(jié)果表明，該方法的抗噪能力比較強(qiáng)，且定位精度比較高，在提取效果上明顯優(yōu)于經(jīng)典邊緣檢測算法，是一種穩(wěn)定可靠的圖像邊緣檢測算法。

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