基于多輸出高斯過程的超臨界翼型優(yōu)化

吳寬展，劉學(xué)軍，＊，呂宏強(qiáng)

（1.南京航空航天大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇南京 210016；2.南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院，江蘇南京 210016）

基于多輸出高斯過程的超臨界翼型優(yōu)化

吳寬展1，劉學(xué)軍1，＊，呂宏強(qiáng)2

（1.南京航空航天大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇南京 210016；2.南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院，江蘇南京 210016）

提出了一種基于多輸出高斯過程（MOGP）回歸模型和模擬退火算法相結(jié)合的翼型優(yōu)化方法。采用拉丁超立方抽樣方法在設(shè)計空間內(nèi)構(gòu)造一系列樣本點(diǎn)，其中優(yōu)化設(shè)計采用CST參數(shù)化方法對翼型的幾何外形進(jìn)行參數(shù)化表示。通過CFD流體計算得到其響應(yīng)值來建立初始的MOGP代理模型。以阻力最小化為設(shè)計目標(biāo)，考慮面積、升力等約束條件。通過單點(diǎn)優(yōu)化和多點(diǎn)優(yōu)化試驗(yàn)表明，發(fā)展的翼型優(yōu)化設(shè)計方法達(dá)到了優(yōu)化設(shè)計的目的，同時也說明基于MOGP模型的優(yōu)化設(shè)計方法在氣動優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用是可行的。

翼型優(yōu)化設(shè)計；輸出高斯過程；CST參數(shù)化方法；模擬退火算法；超臨界翼型

0 引 言

隨著計算機(jī)計算能力的提升與計算技術(shù)的發(fā)展，CFD（計算流體動力學(xué)）軟件已經(jīng)成為流場分析、流場計算、流場預(yù)測的重要工具。在翼型氣動優(yōu)化過程中，由于需要在翼型設(shè)計空間大量調(diào)用高精度流場計算模擬，基于CFD的優(yōu)化計算會受到時間、財力的限制。一個解決方案是采用代理模型［1］技術(shù)（又稱響應(yīng)面技術(shù)）構(gòu)建近似模型來代替復(fù)雜的CFD計算。近似模型描述了目標(biāo)函數(shù)（輸出）與設(shè)計變量（輸入）之間對應(yīng)關(guān)系。通過近似模型計算目標(biāo)函數(shù)值節(jié)省了大量計算時間并且可以搜索更廣闊的設(shè)計空間。一些試驗(yàn)表明基于代理模型的優(yōu)化技術(shù)不僅高效而且可靠，已逐漸在工程上得到應(yīng)用［2－5］。

翼型設(shè)計領(lǐng)域中常用的代理模型主要有多項(xiàng)式模型，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，Kriging模型（單輸出高斯回歸模型）［3－6］等。高斯過程回歸模型本質(zhì)上是一種基于貝葉斯框架的回歸方法，有著嚴(yán)格的統(tǒng)計學(xué)理論基礎(chǔ)。高斯模型能很好地處理小樣本、非線性等復(fù)雜的問題。利用統(tǒng)計學(xué)方法來尋找輸入變量與輸出變量之間的條件分布，從而建立兩者的回歸方程。高斯回歸模型分為單輸出高斯過程（Single Output Gaussian Process，即Kriging）回歸模型［7］和多輸出高斯過程（Multiple Output Gaussian Process，MOGP）回歸模型［8－9］。單輸出模型對每個輸出端口分別建模，忽略了端口之間的潛在相關(guān)性。MOGP回歸模型則為各個輸出端口之間建立了協(xié)方差矩陣來模擬它們之間可能存在的依賴關(guān)系，每個端口都可以利用其它輸出端口來提升自己的預(yù)測性能。

在先前的工作中，我們驗(yàn)證了MOGP模型相比Kriging模型在多響應(yīng)之間存在顯著相關(guān)性時，能進(jìn)一步提高代理模型在超臨界翼型設(shè)計中的預(yù)測精度［10］。本文將CST參數(shù)化方法、MOGP多響應(yīng)代理模型與模擬退火算法相結(jié)合設(shè)計了一種翼型優(yōu)化設(shè)計方法，并將該方法應(yīng)用到超臨界翼型的優(yōu)化設(shè)計中。通過單點(diǎn)和多點(diǎn)兩個翼型優(yōu)化算例證明了提出方法的有效性。

1 多輸出高斯過程模型

MOGP設(shè)含有D個函數(shù)的集合，｛fd（x）｝Dd＝1，其中每一個函數(shù)都可以被表示成一個光滑核函數(shù)，｛Gd（x）｝Dd＝1，和一個隱含函數(shù)u（x）的卷積，即：

更一般的，可以認(rèn)為每一個光滑核函數(shù)和隱函數(shù)都是由若干個子函數(shù)線性組合而成，

每一個子函數(shù)都擁有相同的協(xié)方差函數(shù)，且相互獨(dú)立。

多輸出高斯過程卷積的光滑核函數(shù)和隱函數(shù)的選擇有多種，但在實(shí)際應(yīng)用中，一般采取高斯形式，使光滑核函數(shù)和隱函數(shù)擁有相同的高斯形式，其可行性已由Boyle和Frean證明［8］，光滑核函數(shù)表示為：

其中，Sd，q為依賴于輸出端口fd（x）和隱函數(shù)μq（x）的方差系數(shù)，P－1d為輸出端口的精度矩陣。

隱含過程的協(xié)方差函數(shù)可以表示為：

在上面的表達(dá)式中，Λq是關(guān)于隱函數(shù)的精度矩陣。于是我們可以得到任意兩個輸出端口的協(xié)方差表達(dá)式：

給定卷積形式之后，模型的似然函數(shù)表示為：

其中，y為所有輸出端口的列向量；Kf，f為卷積過程的協(xié)方差矩陣，它的每個元素都是式（5）計算得到的；Σ是一個獨(dú)立的高斯白噪聲過程矩陣，是為每個輸出端口所加的一個擾動；θ表示該模型的超參數(shù)集合，使用最大似然估計計算出θ的值，記為θ＾。

給定新的輸入集合X＊后，模型輸出的預(yù)測分布為：

由于式（7）的協(xié)方差矩陣Kf，f表示的是所有輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差，所以MOGP可以為多輸出建模，能夠模擬多輸出端口之間的相關(guān)性。

2 CST翼型參數(shù)化方法

CST方法［11－13］是近年提出的一種可以使用較少的設(shè)計變量來精確描述復(fù)雜幾何外形的翼型參數(shù)化方法。該方法通過類函數(shù)定義了要描述的一般的幾何外形，型函數(shù)用來描述給定類函數(shù)的特性，具有設(shè)計變量可調(diào)節(jié)、設(shè)計空間廣等優(yōu)點(diǎn)。本文采用CST參數(shù)化方法對超臨界翼型進(jìn)行建模。

用CST參數(shù)化方法表示翼型的數(shù)學(xué)公式為：

其中c為翼型弦長，Δzte為翼型的后緣厚度，C（x／c）為類函數(shù)，S（x／c）為型函數(shù)，分別用以下式子表示：

對于C（x／c），當(dāng)N1、N2取不同的值時，可以定義不同分類的基本幾何形狀。本文中取N1、N2分別為0.5和1.0，方程（8）右邊的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別表示翼型的圓前緣和尖后緣，以保證參數(shù)化在翼型的軸向極值處具有很好的數(shù)學(xué)特性。

在方程（10）中，多項(xiàng)式系數(shù)bi｛｝表示了對給定翼型的設(shè)計變量，稱之為Bernstein系數(shù)，用以生成更復(fù)雜更實(shí)用的翼型，可通過最小二乘法擬合翼型得到。

3 CFD分析方法

流場控制方程采用守恒形式的N-S方程。N-S方程空間離散采用有限體積方法，對流通量采用Roe通量差分格式，湍流模型采用了κ－ε模型。采用粘性網(wǎng)格，網(wǎng)格在整個流場范圍內(nèi)的規(guī)模為387×104個單元，圖1表示了RAE2822翼型網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。圖2表示了該網(wǎng)格的Y＋分布。

為了驗(yàn)證計算程序的準(zhǔn)確性，圖3給出了RAE2822翼型馬赫數(shù)0.729，迎角2.31°狀態(tài)下計算與試驗(yàn)壓力分布對比?？梢钥闯?，CFD計算與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，能夠準(zhǔn)確捕捉到上翼面的激波。

圖1 RAE2822的網(wǎng)格圖示Fig.1 Grid for RAE2822

圖2 翼型RAE2822網(wǎng)格的Y＋分布Fig.2 Y＋distribution of RAE2822

圖3 壓力分布比較Fig.3 Comparison of pressure coefficient distributions

4 模擬退火算法

模擬退火算法［14］（Simulated Annealing，SA）的思想來源于熱力學(xué)中對固體退火過程的模擬，將固體加溫至融化，再讓其徐徐冷卻凝固成晶體。加溫時，固體內(nèi)部粒子隨者溫度升高處于不穩(wěn)定狀態(tài)，內(nèi)能增大，而溫度緩慢下降時，粒子內(nèi)能減小，固體內(nèi)部狀態(tài)趨于穩(wěn)定。在實(shí)際應(yīng)用中，將溫度t作模擬為控制參數(shù)，將內(nèi)能模擬為目標(biāo)函數(shù)值f，對于控制參數(shù)t的每一個取值，算法持續(xù)進(jìn)行“產(chǎn)生——新解——判斷——接受或舍棄”的迭代過程，并逐步衰減t值，算法終止時的當(dāng)前解記為所得近似最優(yōu)解。其中，使用Metroplis準(zhǔn)則作為判斷當(dāng)前解是否為新解替換的標(biāo)準(zhǔn)。這是基于蒙特卡羅迭代算法的一種啟發(fā)式隨機(jī)搜索過程。模擬退火算法適合處理傳統(tǒng)搜索方法難以解決的高度復(fù)雜的非線性問題。本文采用模擬退火算法作為翼型設(shè)計的優(yōu)化算法。

5 翼型優(yōu)化系統(tǒng)

5.1 試驗(yàn)設(shè)計

試驗(yàn)設(shè)計的目的是選擇一些有代表性的樣本點(diǎn)從而利用少量試驗(yàn)點(diǎn)得到較高精度的代理模型。試驗(yàn)設(shè)計的方法有多種，但主要有正交試驗(yàn)設(shè)計、均勻設(shè)計、中心復(fù)合設(shè)計和拉丁超立方設(shè)計等。拉丁超立方設(shè)計［15］（Latin Hypercube Sampling，LHS）是滿足空間試驗(yàn)設(shè)計中一種較為優(yōu)秀的試驗(yàn)設(shè)計方法，現(xiàn)在已經(jīng)獲得了廣泛的應(yīng)用。因此本文選用拉丁超立方設(shè)計來選取所需要的樣本點(diǎn)。

5.2 翼型優(yōu)化設(shè)計算法框架

基于MOGP多響應(yīng)代理模型的翼型優(yōu)化設(shè)計方法的步驟為：首先確立使用數(shù)學(xué)語言描述的優(yōu)化目標(biāo)，通過CST參數(shù)化方法確定合理的翼型設(shè)計空間（設(shè)計變量的個數(shù)及其取值范圍）；然后采用拉丁超立方抽樣在設(shè)計空間內(nèi)選取合適的初始樣本點(diǎn)，并使用CFD軟件計算出初始翼型所對應(yīng)的響應(yīng)值（升力系數(shù)、阻力系數(shù)等）；根據(jù)初始樣本點(diǎn)信息構(gòu)造MOGP模型；根據(jù)初始樣本點(diǎn)構(gòu)造MOGP代理模型。對代理模型進(jìn)行優(yōu)化分析，翼型的幾何約束采用罰函數(shù)法［16］處理，即對違反約束的個體適應(yīng)度施加一個懲罰項(xiàng)，使用模擬退火算法尋找最佳的設(shè)計變量取值，對搜索到的局部最優(yōu)值，將它加入到初始樣本點(diǎn)中，重新構(gòu)造模型，如此迭代計算，直到收斂到全局最優(yōu)點(diǎn)。圖4是基于MOGP模型與模擬退火算法的優(yōu)化流程圖。

圖4 優(yōu)化流程圖Fig.4 Flow chart of optimization

6 算例分析

6.1 單點(diǎn)翼型優(yōu)化設(shè)計

算例1。以超臨界翼型RAE2822為初始翼型，以面積、升力等作為約束條件，進(jìn)行單目標(biāo)減阻優(yōu)化設(shè)計，設(shè)計狀態(tài)為迎角2.79°，馬赫數(shù)0.734，雷諾數(shù)6.5×106。優(yōu)化問題可以描述為：

Minimize CD

Subject to CL＝0.7983

Area≥0.99Area0

在優(yōu)化設(shè)計過程中，取12維Bernstein系數(shù)作為設(shè)計變量，在給定的設(shè)計變量約束范圍內(nèi)，采用拉丁超立方抽樣選取121個初始試驗(yàn)點(diǎn)，建立初始MOGP模型，通過模擬退火算法得到單次搜索最優(yōu)解并加入原樣本集中，經(jīng)過21次循環(huán)后得到最終最優(yōu)解。表1給出了設(shè)計變量范圍與最終優(yōu)化結(jié)果，表2給出了基準(zhǔn)翼型和優(yōu)化后翼型的氣動力參數(shù)比較。由表可知，在滿足約束條件的前提下，優(yōu)化后的翼型阻力系數(shù)比基準(zhǔn)翼型減小了31%。圖5和圖6分別給出了原始外形與最終優(yōu)化得到的翼型的形狀以及壓力分布的比較。由圖可知，優(yōu)化翼型有著較小的前緣半徑，并且翼型的激波有著明顯的減小。

表1 設(shè)計變量約束范圍及優(yōu)化結(jié)果Table 1 Scope of design variable constraint and optimization result

表2 初始翼型和優(yōu)化翼型氣動力參數(shù)比較Table 2 Comparison of airfoil character between initial and optimized airfoil

圖5 優(yōu)化前后翼型形狀Fig.5 Comparison between initial and optimized airfoil configurations

圖6 優(yōu)化前后翼型表面壓力分布比較Fig.6 Comparison of airfoil pressure distribution between initial and optimized airfoil

6.2 多點(diǎn)翼型優(yōu)化設(shè)計

飛行器需要在一定的馬赫范圍內(nèi)均有良好的性能。通常只有一個設(shè)計狀態(tài)的單點(diǎn)優(yōu)化很難滿足要求，而多目標(biāo)優(yōu)化可以有效地將多個設(shè)計要求統(tǒng)一起來處理。這里我們對RAE2822翼型在馬赫數(shù)0.70和0.75進(jìn)行兩點(diǎn)優(yōu)化，并考察優(yōu)化翼型在馬赫數(shù)范圍0.68至0.76內(nèi)，阻力系數(shù)的發(fā)散情況。

對于多目標(biāo)的優(yōu)化問題，采用“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法”［17－19］處理多目標(biāo)函數(shù)。統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法，即將各個分目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一到一個總的目標(biāo)函數(shù)中去。在兩點(diǎn)翼型優(yōu)化中，假設(shè)第一設(shè)計點(diǎn)和第二設(shè)計點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)分別為F1（x）、F2（x），使用線性插值法將各個分目標(biāo)函數(shù)規(guī)格化為：

其中，αi、βi為目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值。為使各個分目標(biāo)能均勻一致的趨向各自的最優(yōu)目標(biāo)，根據(jù)各個目標(biāo)函數(shù)的重要性分別給予一個加權(quán)因子ω，于是，統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)可表示為：

本文中，目標(biāo)函數(shù)F1（x）、F2（x）分別代表待優(yōu)化翼型在低馬赫數(shù)與高馬赫數(shù)下的氣動性能參數(shù)，其權(quán)重是相同的，我們令加權(quán)因子ω1、ω2均為0.5。

算例2。設(shè)計狀態(tài)（1）：迎角2.79°，馬赫數(shù)0.70，雷諾數(shù)6.5×106；設(shè)計狀態(tài)（2）：迎角2.79°，馬赫數(shù)0.75，雷諾數(shù)6.5×106。

Minimize CD1，CD2

Subject to CL1＝0.7526

CL2＝0.7858

算例2采用了242個初始樣本點(diǎn)構(gòu)造MOGP代理模型，表3、表4給出了優(yōu)化結(jié)果。經(jīng)過優(yōu)化后，優(yōu)化翼型在兩個設(shè)計狀態(tài)下，阻力系數(shù)比基準(zhǔn)翼型分別減小了5.5%和23%。

表3 設(shè)計狀態(tài)1優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization result of design state 1

表4 設(shè)計狀態(tài)2優(yōu)化結(jié)果Table 4 Optimization result of design state 2

圖7給出了優(yōu)化前后的阻力發(fā)散特性。從圖7中可以看到，由于單點(diǎn)優(yōu)化只是局部地優(yōu)化了一個設(shè)計點(diǎn)（Ma＝0.73）的氣動性能，所以優(yōu)化后的翼型雖然在設(shè)計點(diǎn)處和高馬赫區(qū)域取得了良好的減阻效果，卻較為嚴(yán)重地惡化了低馬赫數(shù)條件下翼型的阻力特性。而多目標(biāo)優(yōu)化在設(shè)計點(diǎn)Ma＝0.70（低馬赫數(shù)區(qū)域）和設(shè)計點(diǎn)Ma＝0.75（高馬赫數(shù)區(qū)域）進(jìn)行了全局的優(yōu)化，所以優(yōu)化后的翼型在給定的馬赫數(shù)范圍0.68至0.76內(nèi)都有良好的減阻效果，極大地提高了阻力發(fā)散特性。

圖7 翼型單點(diǎn)與多點(diǎn)優(yōu)化阻力特性比較Fig.7 Drag character of airfoil at different optimization result

7 結(jié) 論

本文設(shè)計了一種基于機(jī)器學(xué)習(xí)算法和傳統(tǒng)優(yōu)化算法相結(jié)合的優(yōu)化方法，并用于超臨界翼型的優(yōu)化設(shè)計。其核心部分為采用訓(xùn)練后的MOPG模型作為氣動性能評估的代理模型，優(yōu)化算法采用的是模擬退火算法。根據(jù)所采用的優(yōu)化算例可以看出，基于MOGP模型的優(yōu)化設(shè)計方法有效地改善了初始基準(zhǔn)翼型的氣動性能。從優(yōu)化設(shè)計壓力分布來看，所采用的優(yōu)化方法能給出合理的翼型，并給出期望的壓力分布。優(yōu)化結(jié)果表明，所發(fā)展翼型優(yōu)化設(shè)計方法可以有效地應(yīng)用于超臨界翼型的多目標(biāo)氣動優(yōu)化設(shè)計，有著較好的工程應(yīng)用前景。

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A supercritical airfoil design based on multi-output surrogate model

Wu Kuanzhan1，Liu Xuejun1，＊，Lyu Hongqiang2
（1.College of Computer Science and Technology，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China；2.College of Aerospace Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

An airfoil optimization method based on a MOGP（Muliple Output Gaussian Process）model and the simulated annealing algorithm is developed.The Latin hypercube method is used to construct a series of sample points in the design space，where the CST parameterization method is used to define the airfoil geometry.The initial MOGP model is established based on the response values obtained by CFD（Computational Fluid Dynamics）calculation.The proposed numerical test is to minimize the drag coefficient with consideration of some constrained conditions such as the area of airfoil，the lift coefficient and so on.Experimental results show that the drag coefficient is significantly reduced and the aera of airfoil and the lift coefficient remains，which is exactly meet the expectation of the optimization.Furthermore，the proposed method can be extended to 3Dcases straightforwardly and is applicable to practical engineering problems.

airfoil design；MOGP；CST method；simulated annealing；supercritical airfoil

V211.3

：Adoi：10.7638／kqdlxxb-2014.0059

2014-06-30；

2014-10-10

國家自然科學(xué)基金（61170152）；航空基金重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室類（20151452021）

吳寬展（1988-），男，碩士，研究方向：機(jī)器學(xué)習(xí).E-mail：514400413＠qq.com

劉學(xué)軍＊，教授，研究方向：計算機(jī)科學(xué)與技術(shù).E-mail：xuejun.liu＠nuaa.edu.cn

吳寬展，劉學(xué)軍，呂宏強(qiáng).基于多輸出高斯過程的超臨界翼型優(yōu)化［J］.空氣動力學(xué)學(xué)報，2015，33（6）：728-732.

10.7638／kqdlxxb-2014.0059 Wu K Z，Liu X J，LV H Q.A supercritical airfoil design based on multi-output surrogate model［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2015，33（6）：728-732.

0258-1825（2015）06-0728-06