基于三角方法的Cauchy主值積分數值計算

胡婷婷，劉姣，金國祥

武漢工程大學計算機科學與工程學院，湖北 武漢 430205

基于三角方法的Cauchy主值積分數值計算

胡婷婷，劉姣，金國祥*

武漢工程大學計算機科學與工程學院，湖北 武漢 430205

用三角變量替換的方法把含Cauchy核的主值積分變換到［0，π）上含三角函數核的主值積分，用非等距結點的π（反）周期三角插值多項式作為工具去逼近新的主值積分的被積函數，構造出含Cauchy核主值積分的一個新的內插型求積公式，根據求積公式視結點個數的奇偶性不同給出了求積公式的不同表達式，推導出求積公式中求積系數的循環(huán)關系式．最后以一個實例在計算機上用Matlab編程實現，用得到的數值結果和圖像來說明所得求積公式的誤差漸進性．

Cauchy主值積分；三角插值；求積公式

0 引言

由于奇異積分解決了工程技術領域中的許多實際問題，近年來Cauchy主值積分

的數值計算問題受到許多學者的關注．這里只列出少量參考文獻［1－6］；由于Cauchy奇異核的特性，在構造（1）的各種求積公式時，基本上都采用去掉奇異性的方法，把式（1）轉化成通常意義下的廣義積分，然后用適當的代數多項式逼近新的廣義積分的被積函數而得到求積公式，大多數學者在構造式（1）的求積公式時，主要著眼于被積函數的各種逼近，很少用變量替換去變換Cauchy奇異核，而P．Kim和U．J．Choi在2000年對式（1）中積分變量進行三角變換，對變換后的主值積分用三角余弦插值多項式去逼近被積函數而得到一種內插型求積公式［7］．文獻［7］用三角變量變換式（1）的奇異核而得到的求積公式不同于以往式（1）的求積公式，實際上他們是在構造一個新的奇異核的主值積分求積公式；但文獻［7］也有不足，由于文獻［7］中沒使用［0，π）上的非等距結點的三角插值工具，他們只構造出［0，π）上2n個等距結點的求積公式，這在應用上會帶來諸多不便．與文獻［7］不同的是，本文構造式式（1）的求積公式時取消了對結點個數和等距的限制，并用一個實例來說明求積公式與原積分的誤差漸進性．

1 π（反）周期三角多項式插值

為了構造（1）的非等距結點求積公式，下面引用文獻［8］中的一些結果．

定義：如果三角多項式T（x）滿足：T（x＋π）＝T（x），稱T（x）是π周期三角多項式；如果T（x）滿足T（x＋π）＝－T（x），稱T（x）是π反周期三角多項式．

所有π周期三角多項式組成的集合記為ω．所有π反周期三角多項式組成的集合記為H．由文獻［8］可知：

設0≤x1＜x2＜…＜xn＜π，v(x)=sin(x-x1)…sin（xxn），vj(x)=v(x)/sin(x-xj)．

2 Cauchy主值積分的非等距結點求積公式

令τ＝cosy，t＝cosx，代入式（1）有［7］：

式（4）中h(y)=f(cosy)．

設0≤x1＜x2＜…＜xn＜π，下面分n的奇偶性構造（4）的求積公式，為此，用［0，π）上非等距結點的三角插值多項式去逼近式（4）中的h（y），即用

去逼近式（4）中的h（y）．

（1）當n＝2q＋1時，由引理知，式（5）中vj（x）是n－1＝2q階π周期三角多項式．由式（2）知:

構造式（4）的求積公式：

將式（6）代入有

其中

（2）當n＝2q時，同n＝2q＋1時一樣，得到式（4）的求積公式為

其中

可得到式（7）、式（8）中求積系數的遞推關系：

3 數值實例

設h（x）＝x2

n＝6，結點為0，0.3，0.7，1.0，1.2，1.5

圖1、圖2和圖3分別是結點個數，n＝4，6，8和n＝4，5，7，n＝4，6，8和n＝3，5，7時，Lagrange三角插值函數的圖像，并與原函數，h（x）＝x2進行對比分析，以此來說明插值函數的逼近效果.

圖1 n＝4，5，7時，插值函數圖像Fig.1 Interpolation function image as n＝4，5，7

圖2 n＝4，6，8時，插值函數圖像Fig.2 Interpolation function image as n＝4，6，8

圖3 n＝3，5，7時，插值函數圖像Fig.3 Interpolation function image as n＝3，5，7

從實驗結果可以看出，不需要取很大的n就可以達到比較好的逼近效果，當然n越大，誤差越小，下面數值積分結果也說明了這一點．

h（x）＝cos2x的數值積分結果：

求積公式的數值積分結果：

致謝

感謝湖北省教育廳對本項目的支持！

［1］杜金元．奇異積分的數值計算［J］．華中師范學院學報，1985（2）：15－28．

DU Jin-yuan．On the numerical evaluation of singular integrals［J］．Journal of central China teachers college，1985（2）：15－28．（in Chinese）

［2］路見可，杜金元．奇異積分方程的數值解法［J］．數學進展，1991，20（3）：278－293．

LU Jian-ke，DU Jin-yuan．The numerical solution ofsingularintegralequations［J］．Advancesin Mathematics，1991，20（3）：278－293．（in Chinese）

［3］HASEGAWA T，TORII T．An automatic quadrature for Cauchy principal value integrals［J］．Math Co-mp，1991（56）：741－754．

［4］HUNTER D B．Some Gauss-type formulae for the evaluation of Cauchy principal values of integrals［J］．Numer Math，1972（19）：419－424．

［5］金國祥．含Hilbert核的奇異積分帶重結點的求積公式［J］．數學雜志，1997，17（3）：427－432．

JIN Guo－xiang．Quadrature formulae with multiple nodes for singular integrals with Hilbert kernel［J］．Journal ofmathematics，1997，17（3）：427－432．（in Chinese）

［6］LU Jian-ke．A class of quadrature formulas of chebyshev type for singular integrals［J］．J Ma－Th Anal Appl，1984（100）：416－435．

［7］PhilsuKim，ChoiUJin．Aquadratureruleof interpolatory type for Cauchy integrals［J］．JComp Appl Math，2000（126）：207－220．

［8］Delvos．Hermiteinterpolationwithtrigonometric polynomials［J］．BIT，1993（33）：113-123．

Numerical computation of principal value integrals with Cauchy kernel based on trigonometric method

HU Ting－ting，LIU Jiao，JIN Guo－xiang
School of Computer Science and Engineering，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430205，China

Using the method of changing trigonometric variable，a principal value integral with Cauchy kernel was transformed to a principal value integral with trigonometric functions kernel．The new interpolatory－type quadrature formulae were constructed for the principal value integral with Cauchy kernel，in which the integrand of the new principal value integral was approximated using the tool ofπ－（antiperiodic）periodic trigonometric interpolation polynomial with nonequdistant nodes．The different representations of the quadrature formulae were made depending on the odd and even numbers of the nodes，and the recurrence relations of the quadrature coefficients were derived．Finally，the asymptotic error of the quadrature formulae was illustrated，using the numerical result and images from a case realized by Matlab．

Cauchy principal value integrals；trigonometric interpolation；quadrature formulae

O241.38 O174.41

A

10.3969/j.issn.1674-2869.2015.06.013

1674－2869（2015）06－0063－04

本文編輯：陳小平

2015-04-22

湖北省教育廳科研基金重點項目（D20101506）

胡婷婷（1990－）女，湖北荊州人，碩士研究生.研究方向：奇異積分方程數值計算．*通信聯系人.