線性空間映射解析相量法

常翠芝

武漢工程大學(xué)電氣信息學(xué)院，湖北 武漢 430205

線性空間映射解析相量法

常翠芝

武漢工程大學(xué)電氣信息學(xué)院，湖北 武漢 430205

從線性空間映射的角度對相量法進(jìn)行解析，并結(jié)合香農(nóng)觀點(diǎn)解析了相量法的本質(zhì)，分析了如何用一個復(fù)數(shù)來表征一個正弦曲線，指出了正弦空間和相量空間（復(fù)數(shù)空間）的一一映射關(guān)系，在此基礎(chǔ)上通過相量變換，將復(fù)雜的正弦函數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，簡化了正弦電路的微分方程的求解和正弦函數(shù)的計算過程．教學(xué)實(shí)踐證明，應(yīng)用這種解析方法加深了學(xué)生對相量法和相關(guān)概念的理解程度；更重要的是理解這種空間變換不僅有助于掌握相量法這個數(shù)學(xué)算法，更在于對創(chuàng)造性思維的啟發(fā)．

相量法；線性空間；映射

0 引言

相量法自1893年由德國人C．P．斯坦梅茨提出后，得到廣泛應(yīng)用．它的提出是電氣發(fā)展史上的一個里程碑，巨大地推動了電路理論的快速發(fā)展，對19世紀(jì)80至90年代交流電的普及起到了決定性作用，促使交流設(shè)備迅速商品化［1］．作為正弦交流線性電路與系統(tǒng)分析中的一個不可取代的算法,相量法已成為學(xué)習(xí)電類課程必須掌握的重要內(nèi)容．它避免了繁瑣的微分方程求解和時域中三角函數(shù)的計算，但是對于這個方法，很多教材闡述得不夠詳細(xì)，初學(xué)者很難理解其含義和本質(zhì)，容易一知半解，從而導(dǎo)致一些概念混淆不清，字母符號使用混亂，故相量法一直是電類基礎(chǔ)課教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)，那么如何讓學(xué)生理解這一方法并靈活應(yīng)用，并且從這一方法得到一些啟發(fā)，是教學(xué)中應(yīng)特別注意的問題．教學(xué)實(shí)踐證明從線性空間和映射的角度來解析相量法，有助于學(xué)生掌握此方法并理解其與正弦函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別．

1 兩個線性空間的映射

和直流電路相比，正弦交流電路最大的問題是繁復(fù)的計算．

1.1 問題的提出

在線性正弦交流電路中，基爾霍夫定律和復(fù)雜電路的基本分析方法仍然適用，所以分析起來和直流電路一樣，結(jié)合元件的伏安關(guān)系列方程組是不難的，但是計算或者求解并不輕松，因?yàn)殡娐返募钍钦倚问?，涉及到正弦函?shù)的加減甚至乘除計算，例如下面電路圖：

對于節(jié)點(diǎn)①以電流i1、i2和i3為變量列寫基爾霍夫電流定律KCL約束方程：－i1＋i2＋i3＝0.

若已知電流i1（t）＝5cos（314t＋60°），i2（t）＝－10sin（314t＋60°）．則

還是以上圖為例，在角頻率ω的正弦電源激勵下，含有R、L、C的線性電路達(dá)到正弦穩(wěn)態(tài)時各處的電壓、電流響應(yīng)稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)．應(yīng)用經(jīng)典法在分析求解時，根據(jù)基爾霍夫定律——KCL、KVL及電路的伏安關(guān)系，對網(wǎng)孔m1和m2列寫KVL方程：

結(jié)合KCL約束方程，根據(jù)線性電路的性質(zhì)和線性微分方程解的一般形式，則電路的某一正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（如電容電壓Uc（t））為y（t），可以將各個待求量化為如下一般形式：

式（4）中a0，a1，…，an與元件參數(shù)和電路結(jié)構(gòu)有關(guān)，f（t）與電路正弦激勵有關(guān)．

式（4）的特解ys（t）即為電路變量y（t）的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)．求解ys（t）的經(jīng)典方法是用待定系數(shù)法，根據(jù)線性電路的正弦性質(zhì)，即同一線性電路的各響應(yīng)和激勵的頻率相同，一般設(shè)ys（t）＝Bsin（ωt＋Φ）為與激勵相同頻率的正弦量，代入到式（4）中，通過運(yùn)算得到y(tǒng)s（t）［2］．

顯然，當(dāng)n＜3時利用待定系數(shù)法還是較容易求解的，但是對于n＞3的高階微分方程，求解的計算過程就很繁復(fù)了，而且容易出錯．

1.2 兩個線性空間及其映射

無論是對式（1）直接進(jìn)行正弦函數(shù)加減運(yùn)算，還是求解式（2）的除法運(yùn)算以及式（4）的微分方程求解，其計算都是繁雜的，這時就需要一種形式簡單又行之有效的計算方法，而相量法很好地解決了這個問題．但是很多初學(xué)者并不理解相量法的數(shù)學(xué)內(nèi)涵或者推理過程，在應(yīng)用過程中錯誤百出．

對于相量法本質(zhì)的理解，可以從香農(nóng)的經(jīng)典論文中的闡述“The fundamental problem of communication is that of reproducing at one point either exactly or approximately a message selected at another point”（意思是通信的基本問題就是把一處的信息精確地或者大致地在另外一處再現(xiàn)出來）［3－4］得到啟發(fā)，數(shù)學(xué)上把這種“再現(xiàn)”稱為變換或映射．這是一種空間變換的思想．

正弦量的信息量由周期T（或者頻率f）、有效值（或者最大值）及初相位三要素反映出來．在線性電路中，各響應(yīng)的頻率不變，即與激勵的頻率一致．對任意線性電路的分析求解，實(shí)際只有兩個要素未知，則解一定可以在一個二元空間內(nèi)表示．而復(fù)數(shù)剛好也是一個二維空間，根據(jù)線性空間定義，復(fù)數(shù)和正弦函數(shù)顯然是線性空間，故符合線性空間的同構(gòu)條件，即這兩個空間是一一映射的［5］．

兩個線性空間的映射如圖1中所示．在正弦空間兩個或者多個元素直接計算比較麻煩，那么利用空間映射的方法將參與運(yùn)算的元素投影（映射）到復(fù)數(shù)空間分別得到唯一對應(yīng)的像，在復(fù)數(shù)空間實(shí)現(xiàn)相關(guān)運(yùn)算，這個運(yùn)算過程與原空間（正弦空間）運(yùn)算相比要簡單得多，運(yùn)算所得結(jié)果再反投影（反映射）到正弦空間里．由于兩個空間是一一映射，反映射結(jié)果是唯一的，即在正弦空間的元素（原像）有且唯一，這正是要求解的結(jié)果．這樣就避免了直接在正弦空間計算的復(fù)雜過程了．由此可見相量法的本質(zhì)就是利用兩個空間的映射關(guān)系實(shí)現(xiàn)在復(fù)數(shù)空間運(yùn)算的方法，而相量就是表示正弦量的復(fù)數(shù)．

圖1 兩個線性空間的映射Fig.1 Mapping between two linear space

在復(fù)數(shù)空間，復(fù)數(shù)的表示式有4種：代數(shù)式、三角函數(shù)式、指數(shù)式及極坐標(biāo)式，這4種表示式根據(jù)歐拉公式可以相互轉(zhuǎn)化，而在復(fù)平面上任一復(fù)數(shù)可與一有向線段——向量（矢量）對應(yīng)，向量的長度對應(yīng)正弦函數(shù)的最大值，向量與橫軸的夾角與正弦函數(shù)的相位對應(yīng)［6－7］．

旋轉(zhuǎn)的向量與正弦函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示．圖2可以直觀的再現(xiàn)復(fù)數(shù)與正弦量的對應(yīng)關(guān)系．將一在復(fù)平面上的一個長度為Im、初始位置與橫軸（實(shí)軸）夾角為θ按ω角速度勻速旋轉(zhuǎn)的有向線段——向量與最大值為Im、初相位是θ、角頻率為ω的正弦波在任意時刻一一對應(yīng)，且旋轉(zhuǎn)的向量在縱軸（虛軸）的投影為：Imsin（ωt＋θ），包含了三個要素且正是正弦量的表達(dá)式．

圖2 旋轉(zhuǎn)的向量與正弦函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系Fig.2 The corresponding relationship between the rotating vector and the sine function

2 復(fù)數(shù)空間的表示及運(yùn)算

直流電路中介紹的各種對復(fù)雜線性電路的分析方法，在相量空間仍然適用．既然是在不同的空間表示，那么物理量的表示符號就不同，在時域（正弦）空間和復(fù)數(shù)（相量）空間，基爾霍夫定律和元件的伏安特性表示對應(yīng)如表1所示．

表1 兩空間的關(guān)系式對比Table 1 Contrast of formula in the two space

通過表1可以看出，在時域空間列寫的微分方程，在向量域就變成代數(shù)方程了，前面的圖例中，對應(yīng)的相量空間方程為：

那么對相量空間列寫的方程直接求解，求出的結(jié)果必然包含兩要素，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，再映射到時域，即求出瞬時值表達(dá)式．

在相量空間：i1(t)、i2(t)的有效值相量形式分別為1=2∠60°A、2=3∠30°A，兩相量之和

無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗也很好計算了，對式（2）求解則有Z=10∠30°/2∠90°=5∠-60°Ω．

特別值得注意的是，阻抗不是相量，而是普通的復(fù)數(shù)，即相量空間的兩個相量之比（如電壓相量與電流相量之比）不再是相量空間的相量，故其符號表示與相量符號不同．

3 結(jié)語

相量法作為一種數(shù)學(xué)處理方法，其本質(zhì)是不同的線性空間一一映射，文獻(xiàn)［3］和文獻(xiàn)［4］雖然也闡述了空間變換和映射，但是沒有進(jìn)一步說明兩個空間實(shí)際是一一映射的關(guān)系．相量法對學(xué)生的要求是熟練掌握其運(yùn)算規(guī)則，其實(shí)如果讓學(xué)生理解其思想的本質(zhì)，不僅有利于提高學(xué)生分析和解題的能力，更是對學(xué)生的思維提供一種創(chuàng)造性的啟發(fā)，同時聯(lián)想到拉普拉斯變換和Z變換，都是一種空間轉(zhuǎn)換并設(shè)法在另一空間實(shí)現(xiàn)簡單計算的數(shù)學(xué)算法，這對學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)實(shí)踐中提高解決問題的能力是一種極大的啟示．

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［3］陳希有，盛賢君，劉鳳春．相量與正弦量的數(shù)學(xué)變換原理［J］．電氣電子教學(xué)學(xué)報，2007，29（2）：36－39．

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LU Feng，YU Shu-juan，ZHOU Jing-quan．Analysis of phasor based on space transform［J］．Modern Electronics Technique，2009（15）：78－79，82．（in Chinese）

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［7］DORF R C，SVOBODA J A．Introduction to electric circuits［M］．5th edition．Hoboken，New Jersey，UAS：John Wiley＆Sons，Inc，2001．

Analyzing phasor method based on linear space mapping

CHANG Cui－zhi
School of Electrical and Information Engineering，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430205，China

We analyzed the phasor method based on linear mapping space combining with the views of Shannon to reveal its essence，meanwhile we explored the way to characterize a sine curve with a complex number，and proposed the one－to－one mapping relation between the sinusoidal space and phasor space．The cumbersome sinusoidal calculation was converted into the simple complex calculation，which simplifies solving differential equation of sinusoidal circuit and sine function；teaching practice proves that this analytic method improves the students＇understanding level to the phasor method and related concepts；more importantly，understanding the transformation between the two spaces not only helps the students master the phasor method as a mathematical algorithms，but also inspires their creative thinking．

phasor method；linear space；mapping

TM11

A

10.3969/j.issn.1674-2869.2015.05.014

1674-2869（2015）05-0070-04

本文編輯：苗變

2014－12－29

常翠芝（1975－），女，湖北鐘祥人，講師,碩士．研究方向：電力傳動及其控制技術(shù)等．