PSE方法研究平板邊界層中三波共振的非線性作用機(jī)制

張 麗

(天津大學(xué)力學(xué)系，天津 300072)

PSE方法研究平板邊界層中三波共振的非線性作用機(jī)制

張 麗*

(天津大學(xué)力學(xué)系，天津 300072)

用拋物化穩(wěn)定性方程(PSE)方法數(shù)值模擬了實(shí)驗(yàn)中三波共振中三維擾動(dòng)的非線性作用情況，得到的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在定量上比較相符。研究表明擾動(dòng)演化的定性行為與理論描述的結(jié)果是一致的，即二維波在初始階段和參數(shù)共振階段按照線性指數(shù)增長，三維波在初始階段同樣按照線性指數(shù)增長。在非線性作用比較強(qiáng)時(shí)，三維波快速增長起來，最終作用在二維波上，使其再次增長起來，從而引起轉(zhuǎn)捩。

三波共振;PSE方法;參數(shù)共振;非線性作用;轉(zhuǎn)捩

0 引言

不可壓縮邊界層轉(zhuǎn)捩的實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)二維擾動(dòng)的幅值增長到一定階段時(shí)，在下游會(huì)觀察到三維擾動(dòng)的產(chǎn)生，并且三維擾動(dòng)的增長率要遠(yuǎn)大于其線性理論預(yù)測的增長率。1962年Klebanoff［1］等人對(duì)平板邊界層的非線性擾動(dòng)演化及轉(zhuǎn)捩問題進(jìn)行了系統(tǒng)研究，發(fā)現(xiàn)了其流向的Λ渦結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示的K型三維擾動(dòng)。Saric［2］等人在 1984年用煙線實(shí)驗(yàn)研究了轉(zhuǎn)捩中快速增長的三維擾動(dòng)，在下游觀察到如圖1(b)所示的交錯(cuò)的Λ渦結(jié)構(gòu)，即C型和H型擾動(dòng)。

圖1 煙線演化示意圖Fig.1 The smoke line evolution

Kachanov和Levchenko［3］通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)在不可壓縮平板邊界層中，如果加入的二維波的初始幅值很小，就會(huì)出現(xiàn)C型轉(zhuǎn)捩，當(dāng)幅值稍微增大時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)H型轉(zhuǎn)捩，當(dāng)幅值更大時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)K型轉(zhuǎn)捩。在Kachanov實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上Corke和Mangano［4］用熱線感應(yīng)的實(shí)驗(yàn)方法對(duì)擾動(dòng)的初始幅值更小的C型和H型轉(zhuǎn)捩問題，并考慮了二維與三維擾動(dòng)的相位角，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，增大二維擾動(dòng)的初始幅值會(huì)使轉(zhuǎn)捩提前發(fā)生，并且不同的相位角會(huì)影響三維擾動(dòng)的增長速度。Zelman［5］和 Sayadi［6］等用數(shù)值模擬的方法對(duì)Kachanov實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析，得到了與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)定性上相符的結(jié)果。在Kachanov實(shí)驗(yàn)的啟發(fā)下，董亞妮和周恒［7］用直接數(shù)值模擬的方法驗(yàn)證了可壓縮流體中二次失穩(wěn)和三波共振機(jī)制的存在。三波共振的理論研究方面，Herbert［8-9］用二次失穩(wěn)理論，對(duì)三波共振中參數(shù)共振階段做了詳細(xì)的解釋。Mankbadi［10］等考慮了臨界層中擾動(dòng)的非線性作用這一方面來對(duì)參數(shù)共振階段進(jìn)行了分析，并說明二維平面波在參數(shù)共振階段一直遵循著線性指數(shù)增長。Mankbadi，Wu＆Lee［11］和Wu［12］用三層結(jié)構(gòu)理論研究了Blasius邊界層中上支界擾動(dòng)的三波共振情況，他們發(fā)現(xiàn)非線性作用主要發(fā)生在臨界層以及附近的‘?dāng)U散層’中，臨界層處的非線性作用以及粘性決定著擾動(dòng)的發(fā)展。

本文將研究三波共振中三維擾動(dòng)在邊界層中的非線性作用情況，觀察了三維擾動(dòng)及由于非線性作用產(chǎn)生的其他高次諧波的擾動(dòng)演化情況，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。我們采用了一種比較方便的PSE方法來研究上述問題，該方法相對(duì)于eN方法需要較多的計(jì)算，但是相比與直接數(shù)值模擬方法(DNS)節(jié)省很多的計(jì)算量，同時(shí)還可以考慮流動(dòng)的非平行性，解決擾動(dòng)的非線性演化過程，與現(xiàn)實(shí)中擾動(dòng)的演化情況相比是比較符合的。并且我們采用了一種新的求解流向波數(shù)α的方法，不用再對(duì)α進(jìn)行迭代求解，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間和計(jì)算量。因此本文用改進(jìn)后的PSE方法來研究邊界層中擾動(dòng)的演化過程，分析三維擾動(dòng)在Blasius邊界層中的非線性作用。

1 控制方程和數(shù)值方法

假設(shè)擾動(dòng)是時(shí)間和展向的周期函數(shù)，擾動(dòng)表示為:

將PSE方程寫成算子的形式:

式中fmn表示非線性項(xiàng)。

求解PSE方程最關(guān)鍵的是如何確定流向波數(shù)α，通長采用的方法是選取下列四個(gè)補(bǔ)充條件的其中之一:

式中上標(biāo)c表示復(fù)共軛，這些條件都是以基本擾動(dòng)的形狀沿流向不變，或者動(dòng)能沿流向不變?yōu)榍疤岬?。?duì)于線性PSE，在擾動(dòng)幅值比較小并且邊界層沿流向的變化不太快時(shí)，上述前提條件是可以滿足的。但是在非線性PSE中，如果擾動(dòng)的幅值比較大，非線性作用開始體現(xiàn)出來時(shí)，基本擾動(dòng)會(huì)有較大的變形;另一方面，在邊界層沿流向變化比較快時(shí)，即使是線性PSE，基本擾動(dòng)的變形也會(huì)比較快，所以上述補(bǔ)充條件的前提就不成立了。除此之外，使用以上補(bǔ)充條件時(shí)，需要對(duì)基本波數(shù)α進(jìn)行迭代求解，計(jì)算時(shí)間很長并且計(jì)算量比較大。

依據(jù)流動(dòng)穩(wěn)定性理論，我們建議了一種新的求解流向波數(shù)α的補(bǔ)充條件，即對(duì)某個(gè)流向位置利用:

來確定當(dāng)?shù)匚恢锰幍牧飨虿〝?shù)αmn，再由非線性拋物化穩(wěn)定性方程計(jì)算擾動(dòng)向下游的演化。我們這樣處理的原因是，線性算子L0反應(yīng)了當(dāng)?shù)仄叫辛骷僭O(shè)下擾動(dòng)波特性，而當(dāng)?shù)鼗静〝?shù)αmn應(yīng)該滿足當(dāng)?shù)仄叫辛骷僭O(shè)下擾動(dòng)波的特性，因此由L0來確定αmn。

本文采用的基本流是二維平板Blasius相似性解入口條件。流向x方向上采用Karniadakis等［14］建議的顯隱結(jié)合的三階計(jì)算格式進(jìn)行離散，法向y方向我們采用Malik［15］差分格式，有四階精度并且可以適用于變間距網(wǎng)格。流向方向網(wǎng)格選取等間距網(wǎng)格，為了保證壁面邊界層內(nèi)的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)足夠多，法向y方向上選取變間距網(wǎng)格。

2 數(shù)值結(jié)果

首先針對(duì)Kachanov和Levchenko［3］的實(shí)驗(yàn)，參考其擾動(dòng)參數(shù)(x*=600mm，雷諾數(shù)046，邊界層排移厚度，選取計(jì)算域入口的擾動(dòng)為一個(gè)二維波和一對(duì)三維波。

表1 入口處擾動(dòng)參數(shù)Table 1 The perturbation parameters of the entrance

依據(jù)實(shí)驗(yàn)中測量的擾動(dòng)演化曲線，我們提取了二維擾動(dòng)的初始幅值A(chǔ)2D，rms=5×10-3、三維波初始幅值A(chǔ)3D，rms=3×10-5，并用PSE方法計(jì)算了的擾動(dòng)演化情況，同時(shí)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。實(shí)驗(yàn)中法向測量點(diǎn)固定在y*/δ*=0.26位置處，其中δ*是當(dāng)?shù)剡吔鐚用x厚度。

圖2中，線條是數(shù)值結(jié)果，符號(hào)是實(shí)驗(yàn)結(jié)果。二維波幅值在初始階段按照線性指數(shù)增長，當(dāng)穿出中性曲線的中性點(diǎn)(αi=0)時(shí)，幅值開始衰減;由于初始階段幾乎沒有非線性作用，三維波的幅值會(huì)經(jīng)歷一段線性演化，隨后由于二維波幅值的增長，二維、三維波之間的三波共振使得三維波快速增長，但二維波在相當(dāng)一段距離內(nèi)仍保持自身的線性增長，因此它起著“催化劑”作用;在最后階段，二維波受到三維波的反作用幅值會(huì)再次增長起來。我們可以看出二維波幅值PSE與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比很符合。由于三維波的初始幅值很小，實(shí)驗(yàn)中初始階段的三維波演化情況很難測出，所以這一階段的三維波幅值演化可以忽略掉。同時(shí)還可以觀察到下游三維波幅值的增長情況與實(shí)驗(yàn)結(jié)果還是比較符合的。

圖2 幅值演化曲線比較Fig.2 Compared of the amplitude evolution curve

圖3 特征形狀函數(shù)比較Fig.3 Compared of the characteristic function

圖3顯示的是x*=600 mm處歸一化之后的擾動(dòng)的特征形狀函數(shù)隨法向位置的分布，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較。歸一化之后的二維波和三維波特征形狀函數(shù)分布與實(shí)驗(yàn)相比，符合的比較好。同時(shí)也說明了實(shí)驗(yàn)中測量的擾動(dòng)是T-S波。

由于非線性的作用，在擾動(dòng)演化過程中會(huì)產(chǎn)生其他頻率的波，我們觀察了幾種比較特殊的擾動(dòng)的幅值演化情況，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，如圖4所示。

在流向比較靠前的位置處就會(huì)出現(xiàn)(4，0)波和(3，±1)波，并且其幅值隨著流向會(huì)快速的增長起來，其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較相符。(5，±1)在流向比較靠下游的地方出現(xiàn)，幅值增長比較小，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較趨勢相同，數(shù)值上有所偏差。由于(6，0)的幅值很小，實(shí)驗(yàn)中測量時(shí)有一定的困難，因此，PSE結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果近似平行，數(shù)值上有一定的差距。因?yàn)槭艿綄?shí)驗(yàn)環(huán)境、實(shí)驗(yàn)技術(shù)、實(shí)驗(yàn)條件的影響，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或多或少與數(shù)值模擬結(jié)果有所不同，但總體定性上、定量上還是比較符合的。

圖4 高階擾動(dòng)幅值演化曲線比較Fig.4 Compared of high-order disturbance evolution curve

圖5給出了高次諧波歸一化之后的特征形狀函數(shù)分布情況，并將其與實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較。其中菱形符號(hào)表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，實(shí)線是PSE數(shù)值結(jié)果。x*=600 mm位置處擾動(dòng)已經(jīng)快速的增長起來，此時(shí)的非線性作用已經(jīng)很明顯，擾動(dòng)的特征形狀函數(shù)會(huì)有所變形?？紤]到(3，±1)波和(5，±1)波的幅值都比較小，測量中會(huì)存在一定的困難，PSE計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較，還是比較符合的。

圖5 高階擾動(dòng)特征形狀函數(shù)比較Fig.5 Compared of the high-order disturbance characteristic function

3 結(jié)論

同樣按照線性指數(shù)增長。在非線性作用比較強(qiáng)時(shí)，三維波快速增長起來，并給二維波一個(gè)反作用使得二維波再次增長起來，這與理論描述的結(jié)果是一致的。從而證實(shí)了三維擾動(dòng)的非線性作用機(jī)制。

［1］ Klebanoff P S，Tidstrom K D，Sargent L M.The three-dimensional nature of boundary-layer instability［J］.J.Fluid Mech.，1962，12:1-34.

［2］ Saric W S，Thomas A S W.Experiments on the subharmonic route to turbulence in boundary layers［J］.Turbulence and Chaotic Phenomena in Fluids，1984:117-122.

［3］ Kachanov，Yu S，Levchenko V Ya.The resonant interaction of disturbances at laminar-turbulent transition in a boundary layer［J］.J.Fluid Mech.，1984，138:209-247.

［4］ Corke T C，Mangano R A.Resonant growth of three-dimensional modes in transitioning Blasius boundary layers［J］.J.Fluid Mech.，1989，209:93-150.

［5］ Zelman M B，Maslennikova I I.Tollmien-Schlichting-wave resonant mechanism for subharmonic-type transition［J］.J.Fluid Mech.，1993，252:449-478.

［6］ Sayadi T，Hamman C W，Moin P.Direct numerical simulation of complete H-type and K-type transitions with implications for the dynamics of turbulent boundary layers［J］.J.Fluid Mech.，2013，724:480-509.

［7］ DongYani.A numerical study for the resonant triad interaction and secondary instability in a three-dimensional supersonic boundary layer［D］.［Master’s Thesis］.Tianjin:Tianjin University，2005.(in Chinese)

董亞妮.三維超音速邊界層中三波共振和二次失穩(wěn)機(jī)制的數(shù)值模擬研究［D］.［碩士學(xué)位論文］.天津:天津大學(xué)，2005.

［8］ Herbert T.Subharmonic three-dimensional disturbances in unstable plane shear flows［R］.AIAA-83-1759，1983.

［9］ Herbert T.Secondary instability of boundary layers［J］.Ann.Rev.Fluid Mech.，1988，20:487-526.

［10］Mankbadi R R.Critical-layer nonlinearity in the resonance growth of three-dimensional waves in boundary layer［R］.1990，NASA TM-103639.

［11］Mankbadi R R，Wu X，Lee S S.A critical-layer analysis of the resonant-triad in boundary-layer transition:nonlinear interactions［J］.J.Fluid Mech.，1993，256:85-106.

［12］Wu X.On critical-layer and diffusion-layer nonlinearity in the threedimensional stage of boundary-layer transition［J］.Proc.R.Soc.Lond.，1993，A433:95.

［13］Li Jia.The numerical simulation of transition for spanwise wavepacket disturbances in boundary layers and the prediction by the PSE methed［D］.［PhD Thesis］.Tianjin:Tianjin University，2012.(in Chinese)

李佳.邊界層中展向波包型擾動(dòng)轉(zhuǎn)捩的數(shù)值模擬及用PSE方法轉(zhuǎn)捩預(yù)測［D］.［博士畢業(yè)論文］.天津:天津大學(xué)，2012.

［14］Karniadkis G E，Israeli M，Orszag S A.High-order splitting methods for the incompressible Navier-Stokes equations［J］.J.Comput.Phy.，1991，97:414-443.

［15］ Zhou Hen，Zhao Gengfu.Hydrodynamic Stability［M］.Beijing: National Defence Industry Press，2004.(in Chinese)

周恒，趙耕夫.流動(dòng)穩(wěn)定性［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2004.

文章用PSE方法研究了三波共振中擾動(dòng)的演化情況，研究表明實(shí)驗(yàn)和PSE數(shù)值結(jié)果在定量上還是比較相符的。定性上的比較中，二維波在初始階段和參數(shù)共振階段按照線性指數(shù)增長，三維波在初始階段

The PSE approach to study the nonlinear evolution of three-dimensional disturbances in incompressible boundary layers on flat-plate

Zhang Li*
(School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 100072)

The study of the nonlinear evolution of three-dimensional disturbances in the boundary layers has a great theoretical research significance to the hydrodynamic stability.PSE method is adopted to study the subharmonic resonance in the experiment，and comparison between PSE results and experimental data is presented.The numerical results by PSE match the experiment results basically in quantitatively.In the qualitative comparison，the plane wave experiences a linear exponential growth in the beginning stage and parametric-resonance stage，and the subharmonic oblique waves also experience a linear exponential growth in the initial stage.However，when the nonlinear effects is relatively strong，the subharmonic oblique waves experience a super exponential growth that is faster than the exponential growth predicted by the linear theory，and stmulate the plane wave to make it increase again.This result is a consistent with the theoretical description.

subharmonic resonance;PSE approach;resonant-triad resonance;nonlinear evolution; transition

V211.3

A

10.7638/kqdlxxb-2014.0022

0258-1825(2015)04-0441-05

2014-04-14;

2014-05-26

張麗*(1990-)，女，碩士，流體力學(xué)專業(yè).E-mail:likecrazy0701@sina.com

張麗.PSE方法研究平板邊界層中三波共振的非線性作用機(jī)制［J］.空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2015，33(4):441-445.

10.7638/kqdlxxb-2014.0022 Zhang Li.The PSE approach to study the nonlinear evolution of three-dimensional disturbances in incompressible boundary layers on flat-plate［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2015，33(4):441-445.