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    讓解題思路自然流淌——淺談數(shù)學(xué)解題思維能力的培養(yǎng)

    2015-04-09 12:10:26趙建麗
    新課程(下) 2015年9期
    關(guān)鍵詞:通法題意橢圓

    趙建麗

    (山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2014 級研究生 東營墾利縣中等職業(yè)專業(yè)學(xué)校)

    在數(shù)學(xué)解題中,通常會出現(xiàn)解完題,學(xué)生高呼“太巧了”。其實這種現(xiàn)象不正常,會出現(xiàn)這種情況,是因為有些人喜歡故弄玄虛,弄一些技巧性強、方法奇妙的解法,以此顯示自己解法的高明。從數(shù)學(xué)思維的角度看,自然的想法才是學(xué)生能夠想到的方法,才能引起師生的共鳴。

    例如,(全國大綱卷2012 年17 題)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且2b2=3ac,求角A。

    解:由題意知2B=A+C,且A+B+C=180°,知∠B=60°,則A+C=120°.

    由2b2=3ac及正弦定理知2sin260°=3sinAsinC知sinAsinC=

    則cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC=cosAcosC

    得cosAcosC=0,則cosA=0或cosC=0。

    若cosA=0,則A=90°;

    若cosC=0,則C=90°,從而A=180°-90°-60°=30°。

    所以∠A=90°或∠A=30°

    通法一、化角的關(guān)系為邊的關(guān)系,運用方程思想和余弦定理求A。

    解:由題意知2B=A+C,且A+B+C=180°,知∠B=60°,

    通法二、化邊的關(guān)系為角的關(guān)系。

    解:由題意知2B=A+C,且A+B+C=180°,知∠B=60°,則A+C=120°.

    由2b2=3ac及正弦定理知2sin260°=3sinAsinC知sinAsinC=

    從而∠A=90°或∠A=30°。

    解三角形的問題,學(xué)生容易想到的是邊角之間關(guān)系的互化,無論是化為邊的關(guān)系,還是角的關(guān)系,都是可以解決的。要讓學(xué)生能夠想到,敢于去嘗試,學(xué)生才能掌握和應(yīng)用。

    事實上,教師炫耀自己解法的高明和技巧的高超只會讓學(xué)生望而卻步,容易讓學(xué)生誤以為自己很笨,失去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心。怎樣做到自然?拿到題目,應(yīng)該自己先做一做,不應(yīng)該馬上就看答案,照本宣科,這樣你是無法做到自然,也無法走進學(xué)生的思維世界。

    培養(yǎng)學(xué)生的解題思維能力,我認(rèn)為有以下幾種途徑:

    1.加強對概念的理解和應(yīng)用

    讓學(xué)生明白高中數(shù)學(xué)所有教學(xué)內(nèi)容最基本的是概念。概念是思維的基本形式,具有確定研究對象和任務(wù)的作用?!镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:教學(xué)中應(yīng)加強對基本概念和基本思想的理解和掌握,對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,幫助學(xué)生逐步加深理解。

    概念的由來能讓學(xué)生參與的,要創(chuàng)造條件讓學(xué)生去動手、去觀察、去發(fā)現(xiàn)和歸納總結(jié)。比如,在橢圓概念的教學(xué)中,我利用硬紙片、針和線做了一種道具,用針扎在硬紙的兩個點上,這兩個點就作為橢圓的焦點,弄上一段線,讓線的長度大于兩個定點之間的距離,讓學(xué)生親自操作,畫出了不同形狀的橢圓,學(xué)生很有心得體會;然后讓學(xué)生把線的長度縮短,和兩定點的距離一樣再去觀察,學(xué)生輕而易舉地就給出了橢圓的定義,使課堂教學(xué)取得了良好的教學(xué)效果,并且學(xué)生每見到“橢圓上一點P”時就能想到“P到兩焦點距離之和為定值”這一結(jié)論,并能靈活地轉(zhuǎn)化成式子。

    2.挖掘題目中的隱含條件

    數(shù)學(xué)解題中最首要的問題是讀懂題目,挖掘出隱含條件。所謂的隱含條件是指數(shù)學(xué)題目中那些若明若暗含而不露的已知條件,或者從題設(shè)中不斷發(fā)現(xiàn)并利用條件進行推理和變形而重新發(fā)現(xiàn)的條件。一般來說,隱含條件通常隱蔽在數(shù)學(xué)定義與性質(zhì)中;或者隱蔽在函數(shù)的定義域與值域之中;或者隱蔽在幾何圖形的特殊位置上;或者隱蔽在知識的相互聯(lián)系中。

    解題活動中,許多學(xué)生由于對隱含條件的關(guān)注不夠或不知道如何挖掘題目中的隱含條件,而使解題活動陷入困境,或?qū)е陆忸}失誤,或使思路復(fù)雜化。隱含條件的挖掘離不開有效的閱讀,從題干中的蛛絲馬跡分析出隱含條件,給解題帶來暢快淋漓之感。

    例如:如果a,b,c成等比數(shù)列,那么函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點個數(shù)為 ( )。

    A.0 B.1 C.2 D.1或2

    在此題中,條件“a,b,c成等比數(shù)列”都能轉(zhuǎn)化成b2=ac,而對于“a≠0”則往往分析不到,不能明確函數(shù)y=ax2+bx+c就是一個二次函數(shù)。判斷函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點個數(shù)只需驗證判別式即可。

    再比如:lga,lgb,lgc成等差數(shù)列是a,b,c成等比數(shù)列的( )。

    A.充分條件 B.必要條件

    C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

    在此題中,“l(fā)ga,lgb,lgc成等差數(shù)列”的等價轉(zhuǎn)化不僅僅是“2lgb=lga+lgc”,還有就是a,b,c>0。

    在做題中,有些題目的表述不那么直白,需要我們用一雙慧眼看出隱含在文字中的條件;根據(jù)解題的實際需要,有效轉(zhuǎn)化題目中的條件,整合有用的信息,確定正確的理解途徑,養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,就能破解復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題。

    3.要養(yǎng)成“三思而后行”的習(xí)慣

    一思:要我做什么?就是要對解決的問題進行思考,定位題目考查的知識點,提煉解決問題的基本途徑,即分析結(jié)論;

    二思:我要做什么?就是探討解決問題的基本途徑、步驟,共分為幾步,每一步解決什么問題,即分析思路;

    三思:給了我什么?即審視條件,把已知條件朝結(jié)論方向轉(zhuǎn)化和挖掘,促進學(xué)生在條件和結(jié)論之間建立聯(lián)系,及分析條件。

    要我做什么?求(f2);

    點評:此方法有具體的式子,學(xué)生容易接受。

    點評:此法較為抽象,但也是通法,要求程度稍好的同學(xué)掌握。

    解題應(yīng)該跟著感覺走,自然至上。自然的想法才是最真實的,是學(xué)生能夠想到的。所謂自然,就是盡量利用基本知識和基本技能,盡量反映解題的思維歷程,解題是一種思維性很強的活動,解題的目的在于啟迪心智,鍛煉思維,不僅僅是為了解題而解題,而應(yīng)該緊貼自己的思維實際,讓解題思路自然地流淌。

    方厚實.專題復(fù)習(xí)的“四查”“三思”“一練”,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬,2012(08).

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