基于MATLAB 的U 型滑道輸送鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

李英杰，洪 林，尹瑞華

(1.天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300384;2.天津商業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300134)

0 前言

鏈傳動(dòng)作為機(jī)械傳動(dòng)中的一種重要的運(yùn)動(dòng)傳遞方式，因其經(jīng)濟(jì)可靠以及良好的傳動(dòng)性能而廣泛應(yīng)用于運(yùn)輸、采礦、冶金、軍事等各種機(jī)械的傳動(dòng)系統(tǒng)中［1］。對用于低速重載輸送機(jī)一類裝備的鏈傳動(dòng)，因?yàn)槊總€(gè)鏈節(jié)上都帶有很重的負(fù)載，重力會(huì)產(chǎn)生很大的拉應(yīng)力，所以不允許松邊的存在［2］。本文通過對U 型滑道約束的輸送鏈模型進(jìn)行拆分求解，對各拆分的模型機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，重點(diǎn)分析輸送鏈過渡區(qū)域的傳動(dòng)性能，得出各個(gè)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)曲線。

1 U 型滑道輸送鏈等效物理模型

圖1為U 型滑道輸送鏈的等效物理模型，根據(jù)各個(gè)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，將U 型滑道輸送鏈的機(jī)構(gòu)模型拆分成三個(gè)子機(jī)構(gòu):主動(dòng)鏈輪嚙入?yún)^(qū)域、補(bǔ)償軌跡區(qū)域以及從動(dòng)鏈輪嚙出區(qū)域，這三個(gè)子機(jī)構(gòu)的自由度均為1，均是組合式串聯(lián)物理模型的附加機(jī)構(gòu)。先對運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的機(jī)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行一些假設(shè):(1)所有構(gòu)件均視為剛性體;(2)滑動(dòng)摩擦力和各個(gè)銷軸的鉸接點(diǎn)的非定向摩擦矩均忽略不計(jì);(3)鏈節(jié)的質(zhì)心在其所在鏈節(jié)兩端銷軸連線的中心處。

如圖1 所示，主動(dòng)鏈輪嚙入?yún)^(qū)域鏈節(jié)開始嚙合時(shí)，補(bǔ)償段區(qū)域開始釋放冗余量，然而當(dāng)主動(dòng)鏈輪嚙合鏈節(jié)運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，補(bǔ)償段區(qū)域?qū)a(chǎn)生的冗余量進(jìn)行儲(chǔ)存。

圖1 U 型滑道輸送鏈的等效物理模型Fig.1 Equivalent model of U-type slide conveyor

2 U 型滑道輸送鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

2.1 主動(dòng)鏈輪嚙入?yún)^(qū)域運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

將主動(dòng)鏈輪嚙入?yún)^(qū)域子機(jī)構(gòu)可以等效為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)的曲柄旋轉(zhuǎn)角度為π/2(銷軸在主動(dòng)輪上的運(yùn)動(dòng)周期為π/2)，等效后的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)物理模型如圖2。機(jī)構(gòu)中r1～r4分別為機(jī)架的長度、曲柄的長度、連桿(鏈節(jié))的長度以及搖桿的長度，且各桿件的長度、初始位置角度、曲柄的角速度ω2已經(jīng)給出。

圖2 主動(dòng)鏈輪嚙入?yún)^(qū)域的等效物理模型Fig.2 Equivalent model of active sprocket meshing area

建立該機(jī)構(gòu)的角位移閉環(huán)矢量方程［3］

將該角位移矢量方程分別在x 軸和y 軸上進(jìn)行分解

將式(2)對時(shí)間t 求取一階導(dǎo)數(shù)，并整理成矩陣形式，可以得到機(jī)構(gòu)的角速度方程

將式(3)分別對時(shí)間t 求取二階導(dǎo)數(shù)，并整理成矩陣形式，可以建立機(jī)構(gòu)的角加速度方程

2.2 位置補(bǔ)償區(qū)域運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

鏈節(jié)在補(bǔ)償段區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡比較特殊，將其等效成曲柄滑道機(jī)構(gòu)(如圖3)。曲柄滑道機(jī)構(gòu)是典型曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的一種變形，將搖桿改變成弧形滑塊，機(jī)架做成弧形滑槽，滑塊在弧形滑槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，滑槽的半徑等于搖桿的長度［4］。曲柄滑道機(jī)構(gòu)能形成比較不規(guī)則的軌跡，而此機(jī)構(gòu)正適用于補(bǔ)償段區(qū)域分析。

圖3 補(bǔ)償段區(qū)域的等效物理模型Fig.3 Equivalent model of compensation area

已知曲柄AB 的長度，連桿BC(鏈節(jié))的長度、滑塊C 的運(yùn)動(dòng)軌跡離散坐標(biāo)點(diǎn)(xci，yci)，曲柄AB 及滑塊C 的初始位置角度θ1和θ2。建立該機(jī)構(gòu)角位移閉環(huán)矢量方程

將該角位移矢量方程分別在x 軸和y 軸上進(jìn)行分解

將式(2)對時(shí)間t 求取一階導(dǎo)數(shù)，并整理成矩陣形式，可以得到機(jī)構(gòu)的角速度方程

將式(3)分別對時(shí)間t 求取二階導(dǎo)數(shù)，并整理成矩陣形式，可以建立機(jī)構(gòu)的角加速度方程

2.3 從動(dòng)鏈輪嚙出區(qū)域運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

與主動(dòng)鏈輪嚙入?yún)^(qū)域的等效模型類似，如圖4 所示，OP為曲柄(長度為R)，PQ為嚙合鏈節(jié)(長度為L)，QR為從動(dòng)鏈輪的半徑(長度為r)。

圖4 從動(dòng)鏈輪嚙出區(qū)域等效模型Fig.4 Equivalent model of passive sprocket existing area

對圖4 所示的等效物理模型建立閉環(huán)矢量方程

將式(9)分別在所建立的直角坐標(biāo)系投影得到兩分量形式

將式(10)對時(shí)間t 求取一階導(dǎo)數(shù)，并整理成矩陣形式得到該機(jī)構(gòu)各桿件的角速度

在上式中，曲柄的角速度為ω，角速度值可以由各時(shí)刻曲柄所處的位置角近似求得。

將式(10)對時(shí)間t 求取二階導(dǎo)數(shù)，并整理成矩陣形式得到該機(jī)構(gòu)各桿件的角加速度

3 基于MATLAB 的仿真結(jié)果

采用牛頓—辛普森方程求解機(jī)構(gòu)位置非線性方程函數(shù)文件進(jìn)行求解的方法，在MATLAB中建立M 文件將非線性方程組編程子程序，在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)循環(huán)調(diào)用牛頓—辛普森方程。主動(dòng)鏈輪以ω2=ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，從0°轉(zhuǎn)到90°后停止，可以依次求解并得到嚙合鏈節(jié)BC 的后節(jié)點(diǎn)90 個(gè)位置點(diǎn)的角位移結(jié)果，進(jìn)而求得所有的運(yùn)動(dòng)參數(shù)(角速度、角加速度)。求解補(bǔ)償段區(qū)域的運(yùn)動(dòng)參數(shù)需要知道滑塊C 的速度、加速度，由于已知滑塊C 的軌跡離散點(diǎn)坐標(biāo)，很容易解出滑塊C 的速度計(jì)加速度，求解方法即通過對已知滑塊C 的軌跡點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得到擬合曲線的數(shù)學(xué)方程描述，將得到的方程對自變量求取一階導(dǎo)數(shù)，可以得到滑塊C 的速度，而對方程求取二階導(dǎo)數(shù)時(shí)可以得到滑塊C 的加速度。繪制出的隨主動(dòng)鏈輪運(yùn)動(dòng)的各個(gè)機(jī)構(gòu)構(gòu)件仿真結(jié)果如圖5～7 所示。

圖5 主動(dòng)鏈輪嚙入?yún)^(qū)域仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of active sprocket meshing area

圖6 補(bǔ)償段區(qū)域仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of compensation area

圖7 從動(dòng)鏈輪嚙出區(qū)域仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of passive sprocket existing area

從角位移線圖中可以看出，搖桿3(銷軸C)的角位移曲線變化并不是很大，但是事實(shí)上并非如此。在角速度線圖中可以看到銷軸C 的角速度具有微弱的周期性波動(dòng)，卻比傳統(tǒng)型的鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)性能穩(wěn)定很多。

由滑塊C 的運(yùn)動(dòng)軌跡推導(dǎo)出的補(bǔ)償段區(qū)域內(nèi)各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以看出，無論是曲柄AB(前銷軸)還是嚙合鏈節(jié)BC 的角位移均變化較為平穩(wěn)，其角速度及角加速度波動(dòng)也不是很大，可以認(rèn)為鏈節(jié)可以在補(bǔ)償段區(qū)域內(nèi)能平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)。

4 結(jié)論

本文利用閉環(huán)矢量法建立U 型滑道輸送鏈的兩區(qū)域的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，采用牛頓—辛普森方程求解機(jī)構(gòu)位置非線性方程函數(shù)文件進(jìn)行求解的方法求解出各個(gè)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)的仿真結(jié)果顯示補(bǔ)償段區(qū)域內(nèi)的構(gòu)件的角位移變化平穩(wěn)，速度、加速度波動(dòng)較小，能實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，而在主動(dòng)鏈輪嚙入?yún)^(qū)域的構(gòu)件波動(dòng)相對較大，與傳統(tǒng)型鏈傳動(dòng)性能相比則有很大提高。本文運(yùn)動(dòng)分析的結(jié)果為U 型輸送鏈的動(dòng)力學(xué)分析及速度補(bǔ)償?shù)於ㄓ欣幕A(chǔ)。

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