對(duì)數(shù)學(xué)教科書中一個(gè)杠桿問題的商榷

王偉民

新版人教社九年級(jí)數(shù)學(xué)教科書下冊(cè)的第二十六章是“反比例函數(shù)”，在本章的第二節(jié)“26.2實(shí)際問題與反比例函數(shù)”中，教科書設(shè)置了多個(gè)反比例函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用（大部分內(nèi)容是反比例函數(shù)在物理問題中的應(yīng)用），其中一個(gè)是物理學(xué)里的杠桿問題。反比例函數(shù)在此問題中應(yīng)用的理論依據(jù)是物理學(xué)中杠桿的平衡條件，又叫杠桿原理。為引入杠桿原理，教科書在13面這樣敘述，“公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)：若杠桿上的兩物體與支點(diǎn)的距離與其重量成反比，則杠桿平衡。后來人們把它歸納為‘杠桿原理’。通俗地說，杠桿原理為：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂”[1]。為便于學(xué)生理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，課本在本頁還插入了杠桿示意圖，以及阿基米德的那句非常著名的名言——“給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)地球！”[1]。

筆者以為，這段內(nèi)容之中，存在兩點(diǎn)不妥之處。

圖1

一、杠桿原理內(nèi)容敘述欠妥

數(shù)學(xué)教科書將物理學(xué)中的“杠桿原理”內(nèi)容敘述為“若兩物體與支點(diǎn)的距離與其重量成反比，則杠桿平衡”，這與“杠桿原理”內(nèi)涵有很大的出入。

對(duì)杠桿而言，除作用線通過支點(diǎn)的力之外，若杠桿只受兩個(gè)力的作用，則這兩個(gè)力需要滿足一定的條件杠桿方能平衡，該條件便是杠桿原理，其內(nèi)容是我們上面所提的、數(shù)學(xué)教科書所謂的“通俗地說——?jiǎng)恿Α羷?dòng)力臂=阻力×阻力臂”。實(shí)際上，“通俗地說”之說就有點(diǎn)不合適，該等式是杠桿原理最為科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎?，而且非常的精煉，若換一種敘述方式，則為“受兩個(gè)力作用時(shí)，如果力與力臂成反比，則杠桿平衡”。杠桿原理既可以通過大量實(shí)驗(yàn)來總結(jié)，也可以運(yùn)用功的原理通過推理進(jìn)行邏輯論證。杠桿原理中牽扯兩個(gè)物理量，力和力臂，其中力臂的物理學(xué)定義是——支點(diǎn)到力的作用線的垂直距離，叫做力臂。很顯然，從數(shù)學(xué)的角度來看，力臂是點(diǎn)到直線的距離：“點(diǎn)”是指“支點(diǎn)”，“線”指的是“力的作用線（是過力的作用點(diǎn)沿力的方向畫出的直線）”，而非兩點(diǎn)之間的距離。在物理課學(xué)習(xí)中，學(xué)生最容易犯的錯(cuò)誤是，將力的作用點(diǎn)與支點(diǎn)間的距離誤判為力臂。而數(shù)學(xué)教科書恰恰犯了學(xué)生們易犯的錯(cuò)誤——“若兩物體與支點(diǎn)的距離與其重量成反比，則杠桿平衡”，這一說法就誤將力的作用點(diǎn)與支點(diǎn)間的線段長誤判為力臂了，這種觀點(diǎn)在力與直杠桿垂直時(shí)正確，否則，如果力的作用線與經(jīng)過支點(diǎn)和力的作用點(diǎn)的直線不垂直，該觀點(diǎn)將是錯(cuò)誤的。

如圖1，設(shè)彎曲輕質(zhì)杠桿AOB，OA=2OB，∠AOB=120°，從O點(diǎn)將其吊起，并讓OB保持水平，在A、B兩端分別放重力為G1和G2的兩物體，且G2=2G1，則，根據(jù)數(shù)學(xué)教科書中所謂的“杠桿原理”，杠桿應(yīng)該是平衡的——因?yàn)閮晌矬w的重量與它們到支點(diǎn)的距離成反比；而實(shí)際上，杠桿B端所受壓力G2的力臂是杠桿中OB的長度，但A端所受壓力G1的力臂卻不是杠桿OA的長度，而是圖1中支點(diǎn)O到力G1作用線的距離OC的長度，由條件易知，OC=OB，所以，圖1中的杠桿應(yīng)是一個(gè)等臂杠桿，只有在G2=G1的條件下才能平衡，若G2=2G1，則杠桿將會(huì)失去平衡而繞O點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。

為保證杠桿原理內(nèi)容的正確性，防止對(duì)學(xué)生產(chǎn)生科學(xué)性誤導(dǎo)，課本中的這段敘述可改為如下形式——“若兩物體的重力相對(duì)于支點(diǎn)的力臂與其重力大小成反比，則杠桿平衡，即，動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂”（注：杠桿原理學(xué)生在八年級(jí)物理課中已經(jīng)學(xué)習(xí)，力臂、力的作用線等概念的含義學(xué)生已經(jīng)掌握）。

二、引入的名言欠妥

應(yīng)該說，“給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)地球！”是一句流傳很廣、眾人皆知的名言，但該語句至少從科學(xué)性上看存在問題。

“給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)地球！”所蘊(yùn)含的科學(xué)道理是：對(duì)于杠桿，如果動(dòng)力臂與阻力臂的比值足夠大，我們可以用較小的力獲得任意大的力。這樣看來，如果運(yùn)用杠桿在地球上撬物體的話，只要杠桿足夠長，而且足夠結(jié)實(shí)，我們可以僅憑借一個(gè)人的力量用它來撬動(dòng)任意重量的物體，比如，撬動(dòng)石塊，撬動(dòng)高樓，乃至撬動(dòng)一座大山。那么，我們可否無止境地推廣下去，用該杠桿去“撬動(dòng)地球”呢？答案顯然是否定的。上面我們所提的石塊、高樓、大山這些物體，之所以需要“撬”才會(huì)“動(dòng)”，是因?yàn)樗鼈冇兄亓?，我們運(yùn)用杠桿的目的就是為了克服這些物體的重力，而重力是由于地球的吸引而使物體所受的力。在茫茫宇宙之中研究地球，已無重力可言，既然沒有了重力，杠桿顯然也就失去了“表演”的舞臺(tái)，況且由于受到太陽的吸引，地球在“飛快”地繞太陽公轉(zhuǎn)（平均速度達(dá)30km/s，是聲速的近百倍?。哪苁切枰扒恕辈艜?huì)“動(dòng)”？當(dāng)然，如果這里的“動(dòng)”指的是改變地球原有的運(yùn)動(dòng)速度的話，我們也沒有必要去勞神費(fèi)心地尋找那么長的杠桿（因?yàn)橛酶軛U來撬動(dòng)地球，需要在宇宙中先確定一個(gè)離地球較近的星球作為支點(diǎn)，人站在更遠(yuǎn)的星球上來施力“撬動(dòng)地球”，可以想象，這樣的杠桿該需要多長?。粋€(gè)人只須站在地球上往任意方向一跳，便可輕而易舉的改變地球的運(yùn)動(dòng)速度——這是因?yàn)槿讼蛞粋€(gè)方向跳起時(shí)，會(huì)給地球一個(gè)反方向的作用力，就像我們站在小船上往前跳，船會(huì)相對(duì)于水面向后“跑”一樣。當(dāng)然，由于地球的質(zhì)量太大了（與人的質(zhì)量相比），地球運(yùn)動(dòng)速度的改變量微乎其微，但，這與一個(gè)人站在別的星球上用長杠桿來撬動(dòng)地球?qū)⑹堑刃У摹麆?dòng)地球何須“撬”。

這樣看來，用名言“給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)地球！”來引入杠桿問題，僅從科學(xué)性來講，有點(diǎn)不太合適。

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（九年級(jí)下冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2014.【責(zé)任編輯 郭振玲】