張量與矩陣乘積的遞推算法及相關問題

邢鵬超， 姜健飛

(東華大學 理學院， 上海 201620)

張量與矩陣乘積的遞推算法及相關問題

邢鵬超， 姜健飛

(東華大學 理學院， 上海 201620)

在張量研究中乘法運算起著重要的作用，而由于張量的復雜性,由定義來計算張量的乘法十分不便.給出一種張量與矩陣相乘的遞推算法，并特別將此算法應用于討論四階張量的相關運算,從而得到二元四次型的一種合同標準形,并給出二維四階張量正定性的一個判定定理.

張量乘法； 張量的正定性； 遞推算法

這里

文獻[3]將四階張量看作一個從二階張量到二階張量的線性變換,從而張量的乘法即線性變換的乘法.但是通過對實際例子的研究發(fā)現,按文獻[2-3]定義的張量乘法,其張量正定性均與對應四次型的正定性不一致[4].

(1)

本文將考慮做正則變換X=TY(其中T為正則陣)將f(X)化為具有某種“簡單、規(guī)范、實用”形式的g(Y),并利用g(Y)來判定f(X)的正定性.由于用式(1)給出的乘法概念計算十分不便,故本文首先結合文獻[2, 5-6]的張量乘法定義，給出一種具有遞推形式的張量與矩陣相乘的簡化算法(如同行列式降階計算),再討論二元四次型的一種合同標準形以及二維四階超對稱張量正定性的判定定理.

1 張量與方陣相乘的遞推算法

證畢.

此定理給出了關于m階張量與方陣相乘的遞推關系式.由此關系式即可通過矩陣乘法來實現三、四階張量與方陣的乘法運算,從而簡化了直接由式(1)計算的繁瑣過程.

證畢.

由推論1.1給出的遞推公式計算得

又若直接由定義計算,則有

兩種結果一致,但直接由定義計算的過程要繁瑣得多,特別是無法一次性得到完整結果.

證明 (1)由定理1.1知

故得

從而

證畢.

由定理1.1及其推論,給出初等矩陣對n維四階張量作用的相關結果.

證明 (1) 應用定理1.1的推論1.2(1)給出的公式

(Ⅰ) 由Pu v=

同理可得其他兩式;

同理可得另一式;

(Ⅲ) 由

同理可得另兩式.

(2) 應用定理1.1的推論1.2(2)給出的公式,同(1)證法可得，此略.

證畢.

又在定理1.2(2)(Ⅲ)中取u=2,v=1,同樣可得：

2 二維四階張量的一種合同標準形

定理2.1 對給定二元四次型

(2)

證畢.

定理2.1表明任一個二元四次型均可以通過合同變換變?yōu)橐粋€“簡單、規(guī)范、實用”的擬標準形式(2),進而可以通過這樣的擬標準形來判定此二元四次型所對應的系數超對稱張量的正定性.

證明 (1)和(2)顯然成立.

證畢.

計算得定理2.1證明中的

計算得定理2.1證明中的

本文以“合同”關系為出發(fā)點,討論了二維四階張量的正定性問題.雖然尚未能得到一般n維四階張量正定性的相關結論，但文中的方法應能起到某種拋磚引玉的作用.

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Recursion Algorithm about Product Between Tensors and Matrices and Some Related Problems

XINGPeng-chao,JIANGJian-fei

(College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China)

The product plays an important role in the study of tensors. Because of the complexity of tensors, calculations starting from the tensor’s definition are inconvenient. A recursion algorithm about the product between tensors and matrices is proposed. Especially, this algorithm is applied to discuss the related operation of the fourth-order tensors. Then, a congruent standard form of binary-quartic-form is achieved, so as to provide a judging theorem for the positive of the order four dimension two tensors.

tensor product; tensor positive; recursion algorithm

1671-0444(2015)05-0711-07

2014-05-27

邢鵬超(1989—)，男，山東威海人，碩士研究生，研究方向為應用數學. E-mail: 393796781@163.com 姜健飛(聯系人)，男，副教授，E-mail: jjf@dhu.edu.cn

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