混雜系統(tǒng)故障診斷的粒子濾波與鍵合圖方法

林吉凱 帕孜來·馬合木提

(新疆大學電氣工程學院，新疆 烏魯木齊 830047)

0 引言

混雜系統(tǒng)是一類其所含元件同時包含了連續(xù)和離散狀態(tài)行為的系統(tǒng)，對其進行準確的狀態(tài)估計是設計其閉環(huán)控制系統(tǒng)和基于模型的故障診斷算法的關鍵?；祀s系統(tǒng)的建模和診斷方法有多種［1-3］，其中，鍵合圖對混雜系統(tǒng)建模有其獨特的優(yōu)勢，在機械及電氣系統(tǒng)中得到了廣泛的應用;粒子濾波算法在遞推非線性狀態(tài)估計領域顯示了其優(yōu)越性，廣泛應用于信號處理、經濟學和工程學等領域，故障診斷是其中一個重要方面。文獻［4］以混雜鍵合圖為基礎，提出基于功率的模式跟蹤方法，可有效識別系統(tǒng)故障，但對計算要求高。文獻［5］用粒子濾波實現了系統(tǒng)狀態(tài)和參數的在線估計，但系統(tǒng)模型的精確性有待提高。

1 基于故障診斷的粒子濾波算法

1.1 粒子濾波理論

令非線性隨機系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:

式中:xk∈Rn表示k 時刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量，其初始概率密度函數已知為p(x0);uk∈Rp表示k 時刻的輸入(控制)向量;zk∈Rq表示輸出向量;vk和wk分別為狀態(tài)噪聲和觀測噪聲;f(·)和g(·)分別表示狀態(tài)轉移函數和觀測函數。

假設vk，wk，xk相互獨立且vk和wk的分布已知，將系統(tǒng)狀態(tài)看作是馬爾科夫鏈的，即p(xk∣x0:k-1，z1:k-1，u1:k)=p(xk∣xk-1，uk)，粒子濾波就是通過系統(tǒng)的測量輸出zk來遞推構建狀態(tài)的后驗概率密度函數p(xk∣z1:k)。因此，粒子濾波包含兩個階段:預測和更新。預測階段利用式(1)中的狀態(tài)轉移函數來預測前一時刻狀態(tài)的概率密度，即先驗概率密度。更新階段利用最新的觀測值，通過貝葉斯遞推來修正先驗概率密度，得到后驗概率密度。這一過程可由以下三式說明:

其中，式(2)為k 時刻狀態(tài)xk的先驗概率密度，式(3)為后驗概率密度。

這樣，就可用離散加權來逼近時刻k 的后驗概率密度函數:

這里δ(·)是狄利克雷函數，wk(i)是第i 個粒子的權值(i=1，…，N)。權值都是非負的，且所有粒子權值和為1，即:具體權值計算方法可參見重要性采樣算法［6］。

粒子濾波的一個主要缺陷是粒子退化，即經多次迭代后，除一個粒子權值較大外，其他所有粒子權值均趨于零。這會導致大量時間浪費在傳播對后驗概率分布幾乎無影響的粒子上。因此，必需對粒子進行重采樣。粒子濾波達到理想近似效果所需要的最小粒子數可由有效采樣值來計算:

因此，通過比較Neff和設定的閾值Nthr∈［1，N］就可判別是否出現了粒子退化。當Neff＜Nthr時，需要進行重采樣。很多學者都提出了不同的重采樣算法，具體可參見文獻［7］～文獻［9］。

1.2 混雜系統(tǒng)故障診斷的粒子濾波算法

混雜系統(tǒng)用一個離散模式集合表示系統(tǒng)的運行模型或故障狀態(tài)，用一個連續(xù)變量集合模擬反應系統(tǒng)行為的連續(xù)變化值。一般來說，系統(tǒng)狀態(tài)指模式加連續(xù)變量，模式僅是狀態(tài)的離散部分。粒子濾波利用系統(tǒng)模型跟蹤連續(xù)狀態(tài)，并把估計狀態(tài)作為觀測函數來更新粒子權值。當粒子進入故障模式時，表明系統(tǒng)發(fā)生了故障，此時觀測函數將會增加這些粒子的權值。

令S 為系統(tǒng)離散故障和運行模式的有限集，sk∈S為k 時刻檢測到的系統(tǒng)模式，xk表示系統(tǒng)在k 時刻的多變量連續(xù)狀態(tài)，{zk}為基于測量模型p(zk∣xk，sk)得到的系統(tǒng)狀態(tài)觀測序列。系統(tǒng)的任何故障和運行模式的變化都會改變其動態(tài)性能，粒子濾波對混雜系統(tǒng)進行狀態(tài)估計和故障診斷就是利用后驗概率密度p(xk，sk∣z1:k)來估計其邊緣分布p(sk∣z1:k)。在混雜系統(tǒng)中，用{()，…，，)}表示系統(tǒng)狀態(tài)的N 個采樣或粒子，則式(6)可改寫為:

當N→∞時，式(9)會逼近真實的后驗概率密度。

根據上述粒子濾波理論，給出混雜系統(tǒng)故障診斷的粒子濾波算法，圖1 為算法的直觀形式［10］。

圖1 粒子濾波故障診斷算法Fig.1 Particle filtering fault diagnosis algorithm

②預測。當從模式sk-1到模式(j=1，…，M，M為系統(tǒng)模式數目)的轉移概率函數Tsk-1s(j)k不為零時，則在模式下，粒子。對每一模式計算重要性權值:

對模式sk中的所有粒子權值進行歸一化處理。

④重采樣。在模式sk下，根據權值大小，重采樣N個新的粒子，取代原來的粒子。令k=k+1 并轉步驟②。

2 三容水箱診斷鍵合圖模型

2.1 三容水箱結構及故障分析

圖2 給出了三容水箱的物理結構模型。該系統(tǒng)由三個串聯水箱、儲水槽、手動閥、電磁閥、水泵及控制器組成。每個水箱底部都裝有壓力傳感器(P1、P2、P3)來測量水箱液位，傳感器將測得的液位信號送入CPU，通過控制電磁閥的開閉達到控制水箱液位的目的。

圖2 三容水箱系統(tǒng)結構Fig.2 Structure of the three-tank system

多容水箱系統(tǒng)故障主要分為三類:元部件故障、傳感器故障和執(zhí)行器故障。對如圖2 所示的三容水箱系統(tǒng)來說，可能存在的故障有管道阻塞、水箱滲漏、電磁閥故障、控制器故障及壓力傳感器故障。據統(tǒng)計，在實際系統(tǒng)故障中，70% ～80%都是傳感器故障?？紤]到簡化模型的需要，并結合實際工業(yè)現場故障發(fā)生概率情況，本文僅考慮三個傳感器的故障。對其他故障，本文所提方法同樣適用，僅故障越多，系統(tǒng)模型就越復雜，粒子濾波需要跟蹤的系統(tǒng)模式也就越多。

2.2 水箱系統(tǒng)的鍵合圖模型

鍵合圖是一種圖形化的系統(tǒng)動力學建模方法，在系統(tǒng)的鍵合圖模型基礎上，可對系統(tǒng)故障進行定性和定量的分析［11］。根據鍵合圖理論，建立圖2 所示三容水箱的鍵合圖模型，如圖3 所示［12］。

圖3 三容水箱鍵合圖模型Fig.3 Bond graph model of three-tank system

根據模型近似原理，在鍵合圖模型中加入虛擬傳感器，經轉化得系統(tǒng)的診斷鍵合圖，如圖4 所示。

圖4 三容水箱診斷鍵合圖模型Fig.4 Diagnostic bond graph model of three-tank system

圖4 中，Mse 為外部頂點勢源，其值為勢傳感器的測量輸出me;Df1、Df2、Df3分別相當于實際系統(tǒng)中的三個壓力傳感器P1、P2、P3的測量值，傳感器的輸出為水箱液面高度:mei= hi(k)，i=1，2，3。根據圖4 所示的水箱診斷鍵合圖模型，可得系統(tǒng)的結構方程，如表1所示。

表1 診斷鍵合圖的結構方程Tab.1 Structural equations of diagnostic bond graph

對節(jié)點01組成的結構方程，由鍵合圖元的靜態(tài)函數關系可得:

式中:Df1為傳感器的測量值。這表明，影響傳感器P1輸出的參數為Sf、C1、me1、R1和R2。根據節(jié)點02和03的結構方程，可分別推出式(11)、(12)如下:

這表明，影響傳感器P2輸出的參數為R2、me1、me2、C2和R3，影響傳感器P3輸出的參數為R3、me2、me3、C3和R4。以上各式中，Ri表示管道的阻力，Ci表示水箱的水容量，Sf 表示水泵的流速，fi、ei(對應表1 中的f、e)分別為鍵合圖的流和勢變量。

3 傳感器故障仿真分析

3.1 故障模式

用粒子濾波方法跟蹤系統(tǒng)運行模式需借助系統(tǒng)的狀態(tài)方程，把式(10)、(11)、(12)改寫為:

以上三式中，αi∈ 0，[ ]1 為傳感器故障系數，αi=1表示傳感器無故障，αi=0 表示傳感器完全損壞。

本系統(tǒng)有三個傳感器，因此故障模式有23=8 種。表2 給出了系統(tǒng)所有模式(正常模式和故障模式)及判別標準。

表2 故障模式Tab.2 Fault modes

令系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)向量為x =［h1，h2，h3］T，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程可描述為［13］:

其中，q∈{m0，m1，m2，m3，m4，m5，m6，m7}表示系統(tǒng)的離散模式，u(k)表示電磁閥控制信號，v(k)表示狀態(tài)噪聲。

3.2 故障仿真分析

假設初始時三水箱液位相同:h1= h2= h3=45 cm，且α1=α2= α3=1。系統(tǒng)運行時，閥門全部打開。當系統(tǒng)運行到k =100 s 時，設置α2=0.75，系統(tǒng)進入模式1;當系統(tǒng)運行到k=200 s 時，設置α1=0.5，α3=0.6，系統(tǒng)進入模式5。圖5 給出了粒子濾波狀態(tài)估計結果，圖6 是水箱1 的液位變化。

圖5 系統(tǒng)狀態(tài)估計結果Fig.5 Result of system state estimation

圖6 水箱1 的液位變化Fig.6 Liquid level change of tank-1

從圖5 可以看出，系統(tǒng)約10 s 后進入穩(wěn)定狀態(tài);在100 s 時，狀態(tài)發(fā)生波動，但由于此時設定的閾值α2=0.75 接近正常狀態(tài)(0.8)，粒子濾波器在跟蹤約30 s后恢復正常狀態(tài);在200 s 時，由于傳感器發(fā)生了顯著故障，粒子濾波器很好地捕捉到了系統(tǒng)狀態(tài)變化。系統(tǒng)正常運行時，水箱液位應保持恒定，由圖6 可以看出，水箱1 的液位在100 s 和200 s 時發(fā)生變化，表明傳感器P1發(fā)生了故障。

4 結束語

混雜系統(tǒng)由于復雜的性質，在建模和故障診斷上存在很多挑戰(zhàn)。本文介紹了一種粒子濾波和鍵合圖相結合的混雜系統(tǒng)故障診斷方法，針對三容水箱傳感器故障，經理論分析和仿真實驗驗證了該方法的有效性。該方法結合了兩種理論的各自優(yōu)勢，對實現混雜系統(tǒng)的故障診斷有一定的借鑒意義。下一步的工作是將該方法應用到THJ-2 型高級過程控制系統(tǒng)實驗裝置中，實現其在實際系統(tǒng)中的應用。

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