三自由度并聯(lián)機構(gòu)性能分析與優(yōu)化

張曉菊，張春友，吳曉強，于立波

(1.河套學(xué)院機電工程系，內(nèi)蒙古巴彥淖爾015000; 2.內(nèi)蒙古民族大學(xué)機械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028000; 3.鄭州宇通客車股份有限公司，河南鄭州450000)

0 前言

空間三自由度并聯(lián)機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單，經(jīng)濟(jì)成本低，運動精度高等優(yōu)點。目前，并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計主要集中在工作空間、靈巧性、可操作度、各向同性、剛度等方面。近年來國內(nèi)外許多學(xué)者對性能指標(biāo)的研究越來越多，KUCUK等［1］采用遺傳算法對三自由度并聯(lián)機構(gòu)靈巧性和可操作度進(jìn)行了可行性設(shè)計研究;ZENG等［2］對三自由度并聯(lián)機構(gòu)3-PRUR進(jìn)行了各向同性、速度性能、承載能力等進(jìn)行了優(yōu)化分析; JOSHI等［3］對三自由度3UPU和3UPS-UP并聯(lián)機構(gòu)的工作空間和全域條件數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化比較分析;SICILIANO［4］基于可操作度對3-UPS-UP并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行了尺度綜合研究。

本文作者對三自由度 (兩轉(zhuǎn)一移)并聯(lián)機構(gòu)3-UPS-PU、4-UPS-PU的全域靈巧指標(biāo)和全域剛度進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計與分析，利用粒子群優(yōu)化算法對結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析，最終得到性能指標(biāo)在整個工作空間的最優(yōu)Pareto解。結(jié)果表明，4UPS-PU冗余并聯(lián)機構(gòu)比3UPS-PU具有較好的靈巧指標(biāo)和剛度指標(biāo)。

1 機構(gòu)模型的建立

1.1 3UPS-PU機構(gòu)模型的描述

并聯(lián)機構(gòu)3UPS-PU由動平臺、靜平臺及3條驅(qū)動分支和中間一條約束分支組成，如圖1所示。動平臺球鉸鉸點a1、a2、a3，a1a2a3為等邊三角形，靜平臺胡克鉸鉸點A1、A2、A3，A1A2A3也為等邊三角形，動靜平臺的外接圓半徑分別為r、R。由于中間支鏈的約束，對動平臺有3個運動約束;于是動平臺有3個自由度，即繞X軸和Y軸轉(zhuǎn)動和沿Z軸的移動。

圖13 -UPS-PU并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

參考坐標(biāo)系OXYZ固定于靜平臺，原點O位于等邊三角形的幾何中心，X指向A1，Y軸平行于A2A3，Z軸垂直向上;動坐標(biāo)系oxyz固接于動平臺，原點o位于a1a2a3構(gòu)成的等邊三角形的中心，x軸沿oa1方向，y軸平行于a2a3，z軸垂直于動平臺向上。初始位姿時，兩坐標(biāo)系軸線平行，動靜平臺之間的距離為d。

1.2 4UPS-PU機構(gòu)模型的描述

4UPS-PU空間3自由度并聯(lián)機構(gòu)由動靜平臺和連接動靜平臺的5個分支組成。靜平臺通過4個結(jié)構(gòu)完全相同的驅(qū)動支鏈UPS(虎克鉸-移動副-球副)以及1個中間含恰約束支鏈PU(移動副-虎克鉸)與動平臺連接。通過改變4個驅(qū)動桿的長度，機構(gòu)可以在一定的工作空間范圍內(nèi)實現(xiàn)二維轉(zhuǎn)動和一維移動。動平臺球鉸鉸點b1、b2、b3、b4，靜平臺虎克鉸鉸點B1、B2、B3、B4，動靜平臺的半徑分別為r、R。結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示。

圖2 4UPS-PU并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

在并聯(lián)機構(gòu)的動靜平臺上分別建立坐標(biāo)系，參考坐標(biāo)系OXYZ固定于靜平臺，坐標(biāo)系的中心為4個均勻分布的胡克鉸所在外接圓的圓心，其中，X軸指向B1，Z軸垂直向上，Y軸方向按右手定則給定。動坐標(biāo)系oxyz建立在動平臺，初始位置x軸與X軸方向相同，y軸與Y軸方向相同，z軸與Z軸方向相同，動靜平臺之間的距離為d。

2 機構(gòu)的運動學(xué)求解

2.1 3UPS-PU位置逆解和雅可比求解

如圖1所示，動平臺鉸點ai在動坐標(biāo)系下的位置矢量為

靜平臺球鉸鉸點Ai在參考坐標(biāo)系下的位置矢量為

動坐標(biāo)系原點o在參考坐標(biāo)系中的位置矢量為

動平臺鉸點ai相對于動坐標(biāo)系下的位置矢量在參考坐標(biāo)系下可以表示為

其中，利用組合變換RPY可得旋轉(zhuǎn)矩陣Q為

式中:sα=sinα，cα=cosα，其余類似。

并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動桿長矢量為

其中:li為驅(qū)動桿的長度;si為桿的單位向量。

對等式(6)求導(dǎo)，可得

其中:v為動平臺的速度;ω為動平臺的角速度。

等式(7)兩邊點乘si，可得

寫成矩陣的形式

則并聯(lián)部分的雅可比矩陣為

2.2 4UPS-PU位置逆解和雅可比求解

針對4UPS-PU并聯(lián)機構(gòu)，根據(jù)坐標(biāo)變換理論，有

其中:旋轉(zhuǎn)矩陣Q和動平臺參考點o的坐標(biāo)值同3UPS-PU機構(gòu)。

由幾何關(guān)系，可知桿長的矢量為

桿長的平方為

對等式 (14)兩邊求導(dǎo)數(shù)，整理可得

則并聯(lián)部分的雅可比矩陣為

2.3 串聯(lián)PU支鏈的雅可比矩陣求解

考慮中間被動約束支鏈，可以看成串聯(lián)機構(gòu)，等效成P-R-R，運動結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 中間PU支鏈運動簡圖

采用D-H法可得到從固定坐標(biāo)系到運動坐標(biāo)系的齊次變換矩陣T，

中間被動PU約束支鏈的D-H參數(shù)見表1。

表1 中間被動約束支鏈的D-H參數(shù)表

雅可比矩陣可以分解為

其中:Jli為線速度雅可比;Jai為角速度雅可比。若i為移動關(guān)節(jié)時，若為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時，

其中，bi=Q0…Qi-1b，［ri1］T=［x y z 1］T-T0…Ti-1r，b=［0 0 1］T，r=［0 0 0 1］T

則串聯(lián)部分的雅可比矩陣為

則并聯(lián)機構(gòu)總的雅可比矩陣為

3 性能指標(biāo)的建立

3.1 全域靈巧指標(biāo)

雅可比矩陣的條件數(shù)可以定義為

式中:J為雅可比矩陣;‖·‖為矩陣的譜范數(shù)。

條件數(shù)是不同位姿下性能指標(biāo)的局部反映，無法衡量機構(gòu)控制精度的好壞。GOSSELIN等［5］提出全域條件指標(biāo)，總體評價機構(gòu)在空間內(nèi)的整體性能，定義為雅可比矩陣條件數(shù)倒數(shù)的積分與工作空間體積的比值，即

其中:W為工作空間。

GPI∈(0，1］，GPI越大，說明機構(gòu)在整個工作空間內(nèi)的靈巧性和控制精度越高，機構(gòu)性能越佳。

3.2 全域剛度指標(biāo)

并聯(lián)機構(gòu)的靜剛度是指動平臺處的輸出剛度，剛度的驅(qū)動映射方程可以表示為

其中:τ為驅(qū)動副處的驅(qū)動力旋量;Δq為相應(yīng)關(guān)節(jié)的變形;k為剛度系數(shù)，設(shè)為常數(shù)，k=1 000。

則剛度矩陣可以表示為K

則機構(gòu)的局部剛度為

則全域剛度指標(biāo)［6］可以定義為

4 優(yōu)化建模

4.1 優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化 (Particle Swarm Optimization，PSO)又稱微粒群算法［7］，采用粒子群在確定空間中追隨最優(yōu)粒子進(jìn)行搜索，尋找個體極值pbest和全局極值gbest，最終達(dá)到目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)值的過程，參數(shù)配置見表2。

表2 粒子群優(yōu)化算法配置表

4.2 優(yōu)化模型的建立

3UPS-PU、4UPS-PU兩種并聯(lián)機構(gòu)的尺寸變量為動平臺半徑為r，靜平臺半徑為R，動靜平臺高度z，以及驅(qū)動支鏈lmax。由于lmax與性能指標(biāo)的計算無關(guān)，只是在確定工作空間范圍內(nèi)使用，lmax越大，工作空間必然越大，因此，lmax無須作為優(yōu)化尺寸參數(shù)，在機構(gòu)工作條件滿足的情況下盡可能增大時lmax來增大工作空間［8］。所以機構(gòu)優(yōu)化參數(shù)X=［r，R，z］

目標(biāo)函數(shù)F=［GPImax，GSImax］

4.3 優(yōu)化結(jié)果分析

在目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)過程中可以得到設(shè)計變量的變化曲線和性能指標(biāo)的變化曲線，如圖4、5、6所示。

圖4 Pareto解與設(shè)計變量的變化曲線

圖5 Pareto解與全域靈巧指標(biāo)的變化曲線

圖6 Pareto解與全域剛度指數(shù)的變化曲線

從圖4可以看出，在進(jìn)行粒子群優(yōu)化求解過程中，設(shè)計變量最終達(dá)到平衡，取得最優(yōu)Pareto解。圖5和6可以看出4UPS-PU冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)比3UPSPU并聯(lián)機構(gòu)具有較好的全域靈巧指標(biāo)和全域剛度指標(biāo)。

設(shè)計變量r、R對全域靈巧指標(biāo)和全域剛度指標(biāo)的影響圖譜［9-10］，如圖7所示。

圖7 設(shè)計變量r、R與性能指標(biāo)GPI、GSI的影響圖譜

基于粒子群優(yōu)化算法，分別搜索兩種并聯(lián)機構(gòu)的 最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)的Pareto解，見表3。

表3 兩種并聯(lián)機構(gòu)優(yōu)化結(jié)果比較

結(jié)合圖7和表3中可以看出，3UPS-PU并聯(lián)機構(gòu)和4UPS-PU冗余并聯(lián)機構(gòu)的全域靈巧指標(biāo)優(yōu)化后明顯提高，增大了約1.5倍，但全域剛度指標(biāo)增加甚少;4UPS-PU冗余并聯(lián)機構(gòu)的全域剛度比3UPS-PU并聯(lián)機構(gòu)明顯增強，說明冗余驅(qū)動可以提高機構(gòu)的剛度。

5 結(jié)論

(1)對兩種并聯(lián)機構(gòu)3UPS-PU、4UPS-PU進(jìn)行了運動學(xué)分析，建立運動學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型，考慮中間約束支鏈的影響，建立完整的雅可比矩陣;

(2)建立全域靈巧指標(biāo)、全域剛度指標(biāo)，采用粒子群優(yōu)化算法對兩種并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化比較，得到Pareto解與設(shè)計變量和目標(biāo)函數(shù)的變化曲線;

(3)4UPS-PU冗余并聯(lián)機構(gòu)相比3UPS-PU并聯(lián)機構(gòu)，具有較好的全域靈巧性能和全域剛度性能。

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