基于齒側(cè)間隙的非線性系統(tǒng)動力學(xué)建模及仿真

汪 雷，楊家軍，胡 偉，鄧家輝，黃 圣

(1 華中科技大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074； 2 荊門楚大機電有限公司，湖北 荊門 448000)

仿真分析

基于齒側(cè)間隙的非線性系統(tǒng)動力學(xué)建模及仿真

汪 雷1，楊家軍1，胡 偉1，鄧家輝2，黃 圣2

(1 華中科技大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074； 2 荊門楚大機電有限公司，湖北 荊門 448000)

對單級斜齒輪傳動機構(gòu)進(jìn)行了系統(tǒng)動力學(xué)建模與數(shù)值分析求解，針對齒側(cè)間隙非線性問題采用連續(xù)的雙曲正切函數(shù)來代替，把難于處理的非線性問題轉(zhuǎn)換成線性問題。新的求解方法提高了數(shù)值穩(wěn)定性，通過比較齒側(cè)間隙對齒輪傳動嚙合力的影響，分析齒輪傳動過程中外載下的位移響應(yīng)曲線，為提高齒輪傳動精度提供依據(jù)。

斜齒輪； 數(shù)值分析； 間隙非線性

斜齒輪作為機械傳動中的一種常用減速機構(gòu)，廣泛應(yīng)用于機械產(chǎn)品中。由于傳動過程中嚙合間隙的存在往往會產(chǎn)生振動噪聲，影響傳動精度，以往對間隙問題采用非線性分段函數(shù)表示，雖然可以表達(dá)間隙非線性問題，但是在數(shù)值求解過程中只有采用較小的步長來提高求解精度，不利于數(shù)值穩(wěn)定性，對于復(fù)雜的問題增加了求解時間，而采用雙曲正切函數(shù)來代替原分段間隙函數(shù)，能很好地解決上述的問題。本文最后給出了二級斜齒輪在給定齒側(cè)間隙情況下的響應(yīng)曲線，并比較了齒側(cè)間隙對嚙合力波動造成的影響。

1 齒側(cè)間隙模型

齒輪的齒側(cè)間隙是指相互嚙合的齒輪齒面接觸時，在非工作齒面之間形成的間隙。為補償安裝誤差以及熱變形，并保證齒輪的充分潤滑，所有相互嚙合的齒輪齒間必定存在空隙，。在齒輪的嚙合過程中存在三種不同的嚙合狀態(tài)，分別為無沖擊嚙合、單邊沖擊嚙合和雙邊沖擊嚙合[1]。

高速軸橫向與軸向的嚙合力

式中：βA為表示高速軸的嚙合角；bA為高速軸嚙合的齒側(cè)間隙；f(z)，f(y)為表示橫向與軸向的嚙合力；同理可得低速軸的嚙合力，只要把齒側(cè)間隙換成相應(yīng)的低速軸即可。

圖 1 齒側(cè)間隙模型

對于此類問題的處理，可以直接利用分段函數(shù)來代替齒輪的嚙合間隙，但在數(shù)值仿真過程中會帶來數(shù)值穩(wěn)定性的問題，所以必須采用較小的步長來代替，但同時會增加問題求解的時間。為了解決這類問題，文獻(xiàn)[2]提出利用多尺度法利用三次多項式來對間隙函數(shù)擬合。

為提高求解的精度，可將間隙擬合為七次多項式[2]。利用多項式對間隙函數(shù)進(jìn)行嚙合可以代替原來的分段函數(shù)，理論上多項式的階次越高，擬合的精度就越高，但分析問題也會越來越困難，同時會帶來多項式擺動問題。

因分段函數(shù)f是造成齒輪強非線性的主要因素之一，在求解過程中可以近似用一個連續(xù)函數(shù)代替，為了簡化計算

1)雙曲正切函數(shù)[3]

g1(x)=xh(σx)；

(1)

2)反正切函數(shù)

(2)

式(1),(2)的逼近精度與正則化因子σ的選擇有關(guān)：當(dāng)σ取較小數(shù)值時，可以減少計算時間，提高結(jié)果的收斂性；相反，σ取的數(shù)值較大時，可與逼近的目標(biāo)函數(shù)更好逼近；當(dāng)σ取值非常大時候(如106)，逼近結(jié)果會非常好，但會影響數(shù)值的不穩(wěn)定，尤其對于本文中的間隙非線性函數(shù)而言。當(dāng)σ=200時，擬合精度達(dá)到計算的要求[3]。圖2對間隙b取得0.1mm，對比以上2個函數(shù)與真實函數(shù)的嚙合。

圖 2 分段線性函數(shù)的近似平滑曲線

2 系統(tǒng)的動力學(xué)方程

不同于直齒輪，斜齒輪因嚙合角的存在而會產(chǎn)生軸向力的分量。基于此，斜齒輪的振動產(chǎn)生不同于直齒輪的振動形態(tài)，即彎曲—扭轉(zhuǎn)—擺動的耦合振動。而本文考慮高速級與低速級中間軸的扭轉(zhuǎn)剛度與軸向剛度的影響，從而高速級與低速級又同時相互耦合，在此基礎(chǔ)上建立了二級斜齒輪減速器的完全耦合模型。單級分析時忽略摩擦力等一些因素的影響，僅考慮軸承的支撐剛度與軸承阻尼的影響，以及傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形、嚙合阻尼、齒側(cè)的間隙等影響。

每個齒輪在空間中有4個自由度，且沿著軸向的彎曲振動、扭轉(zhuǎn)振動，沿著水平方向的扭擺振動、軸向振動(圖3)。本文采用集中參數(shù)法對單級斜齒輪動力學(xué)建模，采用三維空間的動力學(xué)模型[4]，整體的自由度數(shù)為8個。

上式中的下標(biāo)“1”、“2’分別代表齒輪1與齒輪2；字母“y”、“z”分別代表y，z軸的方向；ki(i=y,z)代表y，z方向的嚙合剛度；ci(i=y,z)代表y，z方向的嚙合阻尼；ci,j(i=1,2j=y,z)代表各軸承在y，z方向的支撐阻尼；ki,j(i=1,2j=y,z)代表軸承在y，z方向上的支撐剛度；mi,j(i=1,2j=y,z)為齒輪1，2沿著坐標(biāo)軸方向上的平移質(zhì)量；Ii,j(i=1,2j=y,z)為齒輪1、2在y，z方向上的轉(zhuǎn)動慣量。T1d為輸入軸的轉(zhuǎn)矩。

yA(t)=y1+θ1zR-(y2+θ2zR2)

zA(t)=z1-(y1+θ1zR1)tanβ-z2

+(y2-θ2zR2)tanβ

圖 3 單級齒輪傳動的原理圖

2 仿真參數(shù)

2.1 驅(qū)動力矩與阻力矩

齒輪系統(tǒng)的名義功率為8kW；輸入轉(zhuǎn)矩為Td1(單位為N·m)，在正常狀態(tài)下基本是恒定的，且

式中，n為高速級轉(zhuǎn)速，1000r/min。阻力矩

z1,z2為主從動輪的齒數(shù)，分別為75，20。

表1 軸系支撐軸承的剛度與阻尼值

表 2 齒輪傳動的尺寸參數(shù)

表3 嚙合剛度與嚙合阻尼

圖 4 高速級齒輪1的y向振動位移曲線

圖 5 高速級齒輪1的z向振動曲線

圖 6 高速級齒輪2的y向振動位移曲線

圖 7 高速級齒輪2的z向振動曲線

上面的圖形為對系統(tǒng)動力學(xué)方程利用simulink[5-6]進(jìn)行了仿真分析的隨著時間變化的仿真曲線，分別得到齒輪1,2沿著y,z方向振動的隨時間變化的響應(yīng)曲線，初始速度，初始位移全部選擇為0，表示齒輪從啟動到瞬態(tài)的情況，可以得到系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。從仿真的結(jié)果可以看出來在仿真的開始出現(xiàn)較大的波動，之后得到一個規(guī)律波動的“穩(wěn)態(tài)值”。此現(xiàn)象是由于系統(tǒng)的彈性支撐以及齒輪嚙合的彈性變形引起的。

圖 8 齒側(cè)間隙影響下嚙合力的變化曲線

圖 9 齒側(cè)間隙為0時嚙合力變化曲線

圖8與圖9對比了不考慮齒側(cè)間隙情況下與齒側(cè)間隙為2μm情況時的y向嚙合力分量的變化曲線，從上面的曲線可以得出由于齒側(cè)間隙的存在，在嚙合過程中產(chǎn)生的沖擊現(xiàn)象會帶來嚙合力的“毛刺”現(xiàn)象，會影響齒輪傳動精度，這種情況在實際工作中可以通過提高齒輪制造精度與安裝精度來避免。

4 結(jié)束語

本文采用simulink對單級斜齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真求解，對不容易處理的間隙非線性函數(shù)利用連續(xù)的雙曲正切函數(shù)來代替，這樣數(shù)值仿真上更加容易處理。雖然本文只是針對簡單的單級間隙非線性傳動系統(tǒng)的處理，這種方法同樣適用于諧波齒輪傳動，二級斜齒輪等傳動系統(tǒng)，為齒側(cè)間隙分析提供了一種有效方法。

[1] 王建軍,李潤方. 齒輪系統(tǒng)動力學(xué)：振動、沖擊、噪聲[M].第一版.北京: 科學(xué)出版社,1997.

[2] 李文良. 計及齒面摩擦的斜齒輪傳動動態(tài)特性研究[D].哈爾濱： 哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013.

[3]KimTC,RookTE,SinghR.Effectofsmootheningfunctionsonthefrequencyresponseofanoscillatorwithclearancenon-linearity[J].JournalofSoundandVibration, 2003, 263(03): 665-678.

[4] 王 慶. 齒輪系統(tǒng)的動態(tài)設(shè)計[M].北京：氣象出版社, 2014.

[5]KarrisST.Introductiontosimulinkwithengineeringapplication[M].OrchardPublications,2010.

[6] 張志涌. 精通matlabR2011a[M].第二版. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社,2011.

[責(zé)任編校： 張 眾]

Modeling and Simulation of Gear System based on the Nonlinear Clearance

WANG Lei1,YANG Jiajun1, HU Wei1, DENG Jiahui2, HUANG Sheng2

(SchoolofMechanicalSci.andEngin.,HuazhongUniv.ofSci.andTech.,Wuhan430074,China)

This article carried out the system dynamics modeling and numerical solution for single-stage helical gear transmission mechanism. Continuous hyperbolic tangent function was used for the backlash nonlinear problem; the difficulty of nonlinear problem was transformed into a linear problem. This new method improves the numerical stability, through comparing the influence of the backlash on the gear meshing force and analyzing the displacement response curve so as to provide the basis for improving the accuracy of gear transmission.

helical gear; numerical analysis; clearance of nonlinear

2015-04-20

汪 雷(1987-)，男，吉林四平人，華中科技大學(xué)碩士研究生，研究方向為機械振動，機械結(jié)構(gòu)的動態(tài)設(shè)計與

1003-4684(2015)04-0061-04

TH132.413

A