2014年高考中的多選填空題賞析

王云權(quán)+王勇

填空題是歷年高考創(chuàng)新改革題型的“試驗(yàn)田”，近年來相繼推出了一些能力立意、構(gòu)思精巧、情境別致，具有相當(dāng)深度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新題型，使高考數(shù)學(xué)卷充滿活力和魅力，其中多選填空題就是這樣的一種新題型.多選填空題就是在一個(gè)問題情景中或一個(gè)新定義下，給出多個(gè)相關(guān)命題，要求考生對(duì)每個(gè)命題判斷其真假，最終寫出滿足要求的所有命題的序號(hào)，少填、多填或錯(cuò)填均為零分，多選填空題不相信眼淚！下面采擷三道典型試題并予以深度解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

例1 （2014年安徽卷文15）若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件：

（?。┲本€l在點(diǎn)P（x0，y0）處與曲線C相切;（ⅱ）曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過”曲線C.

下列命題正確的是 .（寫出所有正確命題的序號(hào)）

①直線l：y=0在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y=x3;

②直線l：x=-1在點(diǎn)P（-1，0）處“切過”曲線C：y=（x+1）2;

③直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y=sinx;

④直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y=tanx;

⑤直線l：y=x-1在點(diǎn)P（1，0）處“切過”曲線C：y=lnx.

命題意圖 本題是有關(guān)導(dǎo)數(shù)幾何意義的新定義綜合問題，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、函數(shù)圖象、直線的點(diǎn)斜式方程等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想以及運(yùn)算求解能力.

解析 對(duì)于①，y′=3x2，y′|x=0=0，所以l：y=0是曲線C：y=x3在點(diǎn)P（0，0）處的切線，畫圖可知曲線C：y=x3在點(diǎn)P（0，0）附近位于直線l的兩側(cè)，①正確;對(duì)于②，y′=2（x+1），y′|x=-1=0，所以l：x=-1不是曲線C：y=（x+1）2在點(diǎn)P（-1，0）處的切線，②錯(cuò)誤;對(duì)于③，y′=cosx，y′|x=0=1，在點(diǎn)P（0，0）處的切線為l：y=x，畫圖可知曲線C：y=sinx在點(diǎn)P（0，0）附近位于直線l的兩側(cè)，③正確;對(duì)于④，y′=1cos2x，y′|x=0=1cos20=1在點(diǎn)P（0，0）處的切線為l：y=x，畫圖可知曲線C：y=tanx在點(diǎn)P（0，0）附近位于直線l的兩側(cè)，④正確;對(duì)于⑤，y′=1x，y′|x=1=1，在點(diǎn)P（1，0）處的切線為l：y=x-1，令h（x）=（x-1）-lnx（x>0），可得h′（x）=1-1x=x-1x，令h′（x）=0得x=1，當(dāng)0<x<1時(shí)，h′（x）<0，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時(shí)，h′（x）>0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）min=h（1）=0，故h（x）=（x-1）-lnx≥0，即x-1≥lnx，由此可知曲線C：y=lnx在點(diǎn)P（1，0）附近位于直線l的下側(cè)，⑤錯(cuò)誤.綜上可知，所有正確命題的序號(hào)為①③④.

點(diǎn)評(píng) 解決導(dǎo)數(shù)幾何意義的問題時(shí)要注意抓住切點(diǎn)的三重作用：①切點(diǎn)在曲線上;②切點(diǎn)在切線上;③切點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值等于切線的斜率.多選填空題一直是安徽高考數(shù)學(xué)卷的一大特色，這類題型涉及的知識(shí)面廣，知識(shí)挖掘有一定的深度，求解時(shí)往往一“處”不慎，滿盤皆輸.

例2 （2014年安徽卷理15）已知兩個(gè)不相等的非零向量a，b，兩組向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成，記S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值.則下列命題正確的是 .（寫出所有正確命題的序號(hào)）

①S有5個(gè)不同的值;

②若a⊥b，則Smin與a無關(guān);

③若a∥b，則Smin與b無關(guān);

④若b>4a，則Smin>0;

⑤若b=2a，Smin=8a2，則a與b的夾角為π4.

命題意圖 本題是向量運(yùn)算的綜合問題，主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、夾角公式、不等式的性質(zhì)，考查分類討論、函數(shù)與方程思想，屬于難題.

解析 若S的表達(dá)式中有0個(gè)a·b，則S=2a2+3b2，記為S1;若S的表達(dá)式中有2個(gè)a·b，則S=a2+2a·b+2b2，記為S2;若S的表達(dá)式中有4個(gè)a·b，則S=4a·b+b2，記為S3.所以S最多有3個(gè)不同的值，①錯(cuò)誤;因?yàn)閍，b是不相等的非零向量，

所以S1-S2=2a2+3b2-a2-2a·b+2b2=a2-2a·b+b2=a-b2>0S1>S2，

S1-S3=2a2+3b2-4a·b-b2=2a2-4a·b+2b2=2a-b2>0S1>S3，

S2-S3=a2+2a·b+2b2-4a·b-b2=a2-2a·b+b2=a-b2>0S2>S3，

所以S1>S2>S3，故Smin=S3=4a·b+b2，又a⊥ba·b=0，

所以Smin=b2與a無關(guān)，②正確;

因?yàn)閍∥b，則Smin=S3=b2+4ab或Smin=b2-4ab，顯然與b有關(guān)，③錯(cuò)誤;設(shè)a，b的夾角為θ，因?yàn)閎>4a，

則Smin=b2+4abcos θ≥b2-4ab=bb-4a>0，故Smin>0，④正確;

設(shè)a，b的夾角為θ，因?yàn)閎=2a，所以Smin=4a2+8a2cos θ=8a2，所以cos θ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=π3，⑤錯(cuò)誤.

綜上可知，所有正確命題的序號(hào)為②④.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積、不等式等知識(shí);考查了綜合分析能力、運(yùn)算推理能力;題目設(shè)計(jì)背景新穎，邏輯性強(qiáng);通過枚舉法得S僅有三個(gè)可能值是解題的突破口，運(yùn)算推理或恰當(dāng)放縮是辨別正誤的關(guān)鍵.

例3 （2014年四川卷理15文15）以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ（x）組成的集合：對(duì)于函數(shù)φ（x），存在一個(gè)正數(shù)M，使得函數(shù)φ（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M].例如，當(dāng)φ1（x）=x3，φ2（x）=sin x時(shí)，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B，現(xiàn)有如下命題：

①設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，則“f（x）∈A”的充要條件是“b∈R，a∈D，fa=b”;

②若函數(shù)f（x）∈B，則f（x）有最大值和最小值;

③若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）+g（x）B;

④若函數(shù)f（x）=alnx+2+xx2+1x>-2，a∈R有最大值，則f（x）∈B.

其中的真命題有 .（寫出所有真命題的序號(hào)）

命題意圖 本題考查抽象函數(shù)及函數(shù)的定義域和值域等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生對(duì)函數(shù)概念的理解能力及構(gòu)造反例的能力.

解析 對(duì)于①，根據(jù)題中定義，f（x）∈A函數(shù)y=f（x），x∈D的值域?yàn)镽，由函數(shù)值域的概念知，函數(shù)y=f（x），x∈D的值域?yàn)镽b∈R，a∈D，fa=b，所以①正確;對(duì)于②，舉反例：函數(shù)f（x）=12x的值域?yàn)椋?，1]包含于區(qū)間[-1，1]（相當(dāng)于存在M=1），所以f（x）∈B，但f（x）有最大值1，沒有最小值，所以②錯(cuò)誤;對(duì)于③，用反證法：假設(shè)f（x）+g（x）∈B，則存在一個(gè)正數(shù)M1，使得函數(shù)f（x）+g（x）的值域包含于區(qū)間[-M1，M1]，所以-M1≤f（x）+g（x）≤M1，由g（x）∈B知，存在一個(gè)正數(shù)M2，使得函數(shù)g（x）的值域包含于區(qū)間[-M2，M2]，所以-M2≤g（x）≤M2，亦有-M2≤-g（x）≤M2，兩式相加得-M1+M2≤f（x）≤M1+M2，于是f（x）∈B，這與已知“f（x）∈A”矛盾，故f（x）+g（x）B，即③正確;對(duì)于④，如果a>0，那么x→+∞，f（x）→+∞;如果a<0，那么x→-2，f（x）→+∞，所以f（x）有最大值，必須a=0，此時(shí)f（x）=xx2+1，在區(qū)間-2，+∞上，f（x）=xx2+1，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0;當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）=xx2+12≤x2x=12，當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)取等號(hào)，所以-12≤f（x）≤12，即f（x）的值域?yàn)?12，12，從而f（x）∈B，即④正確.綜上可知，所有真命題的序號(hào)為①③④.

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合、邏輯與函數(shù)語言的理解與表達(dá)，考查抽象的數(shù)學(xué)語言的閱讀理解與推理論證能力，其中還考查了極限法的巧妙應(yīng)用.

綜上所述，多選填空題一般文字表述較長(zhǎng)，問題新穎，所需要解決的問題較多，重點(diǎn)考查閱讀理解能力和獨(dú)立學(xué)習(xí)的潛能，考查分析問題和研究問題的能力以及創(chuàng)造性地解決問題的能力.多選填空題綜合性強(qiáng)、難度極大，是填空題中的壓軸題，是全卷得分率最低的題型，具有較強(qiáng)的區(qū)分和選拔功能.在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)題型訓(xùn)練，善于總結(jié)解題規(guī)律，高考時(shí)才能從容應(yīng)對(duì)，闖關(guān)成功.