簡(jiǎn)潔更需嚴(yán)謹(jǐn)

1 問(wèn)題提出

題目1 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b2x+1+a是奇函數(shù)，求a，b的值.

文[1]給出了如下的解答.

方法1：因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f（0）=0，f（-1）=-f（1），即b-12+a=0，b-121+a=-b-24+a，聯(lián)立兩式解得b=1，a=2.

方法2：因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f（0）=0，即b-12+a=0，所以b=1.從而f（x）=1-2x2x+1+a.又f（-x）=-f（x），得1-2-x2-x+1+a=-1-2x2x+1+a，整理得（2-a）（1-2x）=0，這個(gè)等式對(duì)一切x∈R成立，

所以有2-a=0，即a=2.

評(píng)析 文[1]指出方法1直接利用f（0）=0，f（-1）=-f（1），得到方程組來(lái)進(jìn)行求解，簡(jiǎn)化了計(jì)算.但筆者認(rèn)為，方法1看似簡(jiǎn)潔，實(shí)際上極不嚴(yán)謹(jǐn).

2 錯(cuò)誤分析與糾正

從f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)然能得到f（0）=0，f（-1）=-f（1），但反過(guò)來(lái)，若f（0）=0，f（-1）=-f（1），能得到f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)嗎？顯然不行.“f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)”是“f（0）=0，f（-1）=-f（1）”的充分不必要條件.所以若利用方法1求解，還沒(méi)有結(jié)束，需要檢驗(yàn)b=1，a=2時(shí)，f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).過(guò)程如下：

當(dāng)b=1，a=2時(shí)，f（x）=-2x+12x+1+2.

因?yàn)閒（x）+f（-x）=-2x+12x+1+2+-2-x+12-x+1+2=-2x+12x+1+2+-1+2x2+2x+1=0.

所以有f（-x）=-f（x）.從而f（x）是奇函數(shù).所以b=1，a=2.

至于方法2，同樣也需要檢驗(yàn).

當(dāng)然，題目1也可以采用定義法做，這樣看似繁瑣，卻可以避免檢驗(yàn)，也可鍛煉解題者處理帶字母的運(yùn)算能力.具體過(guò)程如下：

因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以a≥0，且對(duì)于任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），從而f（x）+f（-x）=-2x+b2x+1+a+-2-x+b2-x+1+a=0，整理得：（2b-a）22x+（2ab-4）2x+（2b-a）=0，對(duì)于任意的x∈R成立.所以2b-a=0

2ab-4=0，又因?yàn)閍≥0，所以得b=1，a=2.

3 類似錯(cuò)誤的延續(xù)

3.1 一次隨堂聽(tīng)課中的問(wèn)題

在一次推門聽(tīng)課中，上課教師這樣評(píng)價(jià)了學(xué)生的解題過(guò)程.

題目2 已知f（x）=x3+ax2+3x-9，若f（x）在x=-3時(shí)取得極值，求a的值.

學(xué)生說(shuō)，先求導(dǎo)f′（x）=3x2+2ax+3，因?yàn)閒（x）在x=-3時(shí)取得極值，所以f′（-3）=0，即30+6a=0.從而得a=-5.教師對(duì)學(xué)生的回答評(píng)價(jià)是：“很好，很簡(jiǎn)潔.”然后就繼續(xù)處理另一個(gè)問(wèn)題了.

評(píng)析 由于“f（x）在x=-3時(shí)取得極值”是“f′（-3）=0”充分不必要條件，因此上述解答，也未結(jié)束.還需要檢驗(yàn)在x=-3左右的導(dǎo)數(shù)值是否異號(hào).此題學(xué)生所犯的錯(cuò)誤與文[1]中對(duì)題目1的解法錯(cuò)誤的本質(zhì)是相同的，但教師的評(píng)價(jià)，無(wú)疑會(huì)助長(zhǎng)學(xué)生處理問(wèn)題的不嚴(yán)謹(jǐn).

3.2 教材中的一處商榷

教材[2]，[3]中對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，筆者認(rèn)為就有不嚴(yán)謹(jǐn)之處.先摘錄如下（為了方便說(shuō)明，筆者給每個(gè)方程加了序號(hào)）：

以經(jīng)過(guò)橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.

設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c（c>0），那么焦點(diǎn)坐標(biāo)F1，F(xiàn)2分別為（-c，0）和（c，0）.又設(shè)M到F1，F(xiàn)2的距離的和為2a.

由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

因?yàn)閨MF1|=（x+c）2+y2，|MF2|=（x-c）2+y2，

所以

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a. （1）

為化簡(jiǎn)這個(gè)方程，將左邊的一個(gè)根式移到右邊，得

（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2，（2）

將這個(gè)方程兩邊平方，得

（x+c）2+y2=

4a2-4a（x-c）2+y2+（x-c）2+y2，（3）

整理得

a2-cx=a（x-c）2+y2， （4）

上式兩邊再平方，得

a4-2a2cx+c2x2=

a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2， （5）

整理得

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），（6）

兩邊同除以a2（a2-c2），得

x2a2+y2a2-c2=1. （7）

之后，教材中通過(guò)引入字母b，就給出了橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.

評(píng)析 事實(shí)上，這樣的公式過(guò)程并沒(méi)有結(jié)束.方程（7）與原方程（1）是否同解，并未給出解釋.而在方程的變形過(guò)程中經(jīng)歷了兩次平方處理，這顯然有可能破壞了方程的同解性.所以還需要進(jìn)一步說(shuō)明兩次平方前后的方程是否同解.可作如下的補(bǔ)充：

先說(shuō)明方程（4）與（5）是否同解.方程（5）同解于方程.

a2-cx=a（x-c）2+y2和a2-cx=-a（x-c）2+y2.

由方程（5）的同解方程（6）可知|x|≤a.又因?yàn)閍>c>0，所以a2-cx>0，說(shuō)明上式的第二個(gè)等式為矛盾等式.因此方程（4）與（5）同解.類似的，可以說(shuō)明方程（2）與（3）也同解（本文從略）.當(dāng)然也可根據(jù)學(xué)情說(shuō)明檢驗(yàn)從略，但是絕不能一字不題，就過(guò)去了.否則會(huì)為學(xué)生在以后求解無(wú)理方程時(shí)，不驗(yàn)根導(dǎo)致錯(cuò)誤，埋下錯(cuò)根.

4 關(guān)于錯(cuò)解的思考

從報(bào)刊雜志、教師的課堂評(píng)價(jià)到教材都出現(xiàn)了這些看似簡(jiǎn)潔，實(shí)則不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)腻e(cuò)誤.引起了筆者深入的思考.

41 錯(cuò)誤的原因

首先是對(duì)答案的急功近利的追逐.題目1與題目2的錯(cuò)解中，結(jié)果是正確的，但這也只是碰巧.若將題目1改為“若f（x）=lg（2x1+x+a）（a∈R）是奇函數(shù)，求a的值.”或“已知函數(shù)f（x）=-2x+b2x+1+a是奇函數(shù)，求a+b的值”.若按題目1的錯(cuò)解處理方法，改后的第一個(gè)題目就只能得到一個(gè)錯(cuò)解，而后一個(gè)題目又會(huì)出現(xiàn)增解.若將題目2改為“已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1時(shí)有極值10，求a的值”，若按照處理題目2時(shí)，那位教師和他的學(xué)生們采用的方法，就會(huì)導(dǎo)致增解，產(chǎn)生錯(cuò)誤.對(duì)答案的一味追逐，無(wú)疑助長(zhǎng)解題者偶爾做“對(duì)”的欣喜，結(jié)果對(duì)了就行，恕不知，錯(cuò)誤就掩蓋在正確的結(jié)果中，下次按同樣的方法去解，答案正確與否，就很難說(shuō)了.

其次是對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的不求甚解，乃至一知半解.教什么永遠(yuǎn)比怎樣教更重要，數(shù)學(xué)教師帶著對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的誤解，如何能教好學(xué)生.題目1與題目2錯(cuò)解的實(shí)質(zhì)是一樣的，即在推理的過(guò)程中，把上條件是下條件的充分不必要條件誤認(rèn)為是充要條件了.

最后是嚴(yán)謹(jǐn)性和可接受性的矛盾.編寫(xiě)教材的專家學(xué)者當(dāng)然知道，給學(xué)生展現(xiàn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程是欠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，可能是出于?duì)學(xué)生可接受性的考慮.但筆者認(rèn)為，即便如此，也應(yīng)注明“檢驗(yàn)從略”.

4.2 類似錯(cuò)誤的糾正策略

第一，要有數(shù)學(xué)學(xué)科意識(shí).數(shù)學(xué)學(xué)科有別于其他學(xué)科，數(shù)學(xué)要求步步有據(jù)，這才能保證結(jié)果是正確的，無(wú)容置疑的.不論是學(xué)生，還是教師只有具有這種數(shù)學(xué)學(xué)科的理性精神，才可能學(xué)到真數(shù)學(xué)，而不是一個(gè)所謂的正確答案.

第二，要理解真數(shù)學(xué).解題時(shí)，理解每一個(gè)相關(guān)概念，原理.用正確的方法和原理來(lái)指導(dǎo)解題才是學(xué)到了真數(shù)學(xué).當(dāng)然這里不是反對(duì)猜想、特殊化等解題方法，但是非理性必須得給出理性的解釋.

第三，要積累一些錯(cuò)誤解法的反例，通過(guò)反例教學(xué)增強(qiáng)學(xué)生的“免疫力”.正例的作用很重要，反例的作用有時(shí)會(huì)更為有效，通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明一些錯(cuò)誤的解法，往往具有較好的效果.

有時(shí)，看似簡(jiǎn)潔的解法，卻掩蓋了嚴(yán)重的邏輯漏洞.嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特征，我們?cè)谔幚頂?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須步步有據(jù)，絕不能含含糊糊過(guò)去.

參考文獻(xiàn)

[1] 劉祥.基本初等函數(shù)（I）[J].數(shù)學(xué)通訊，2013，（1-2）（上）：86-87.

[2] 單墫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（選修2-1）[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

[3] 劉邵學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（選修2-1）[M].人民教育出版社.2007.

作者簡(jiǎn)介 仝建，男，1980年生，安徽靈璧人，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)課堂教學(xué)理論與實(shí)踐研究.