直線(xiàn)和橢圓相切狀態(tài)下的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)

莊志剛+楊云顯

橢圓中的性質(zhì)很多，大多是針對(duì)焦半徑和焦點(diǎn)弦的某種形式出現(xiàn)的定值問(wèn)題的研究.對(duì)于直線(xiàn)和橢圓相交或相切狀態(tài)下的簡(jiǎn)單適用的結(jié)果不多.筆者曾寫(xiě)過(guò)一篇關(guān)于“直線(xiàn)和橢圓相交狀態(tài)下的一個(gè)通用性質(zhì)”[1]的文章，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程下焦點(diǎn)三角形的面積和坐標(biāo)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行了一點(diǎn)初步的研究.近來(lái)通過(guò)直線(xiàn)和橢圓相切狀態(tài)下的有關(guān)計(jì)算，得到下面結(jié)論，期待能對(duì)實(shí)踐應(yīng)用有所幫助.

如果先以中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)橢圓為載體進(jìn)行研究，可以得到如下結(jié)論：

圖1

性質(zhì)1 如圖1，若P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上異于長(zhǎng)軸、短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點(diǎn)，如果兩焦半徑PF1，PF2的斜率存在且分別為k1，k2，設(shè)過(guò)P（x0，y0）的橢圓的切線(xiàn)l的斜率為k，則1k（1k1+1k2）為定值，且定值為-2λ.

為了證明上面結(jié)論，先不妨證明以下結(jié)論.

結(jié)論1 若P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點(diǎn)，設(shè)兩焦半徑PF1，PF2的斜率存在且分別為k1，k2，則（1k1+1k2）=2x0y0.

證明 設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）（其中c=a2-b2），

則1k1=x0+cy0，1k2=x0-cy0，所以1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0.

得到這個(gè)結(jié)果的過(guò)程比較容易，從這個(gè)結(jié)果可以看出，過(guò)焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)所得兩條焦半徑（斜率都存在）的斜率的倒數(shù)和與點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)有關(guān).

結(jié)論2 設(shè)P（x0，y0）為橢圓x2λb2+y2b2=1（b>0，λ>1）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，l為過(guò)P（x0，y0）的橢圓的切線(xiàn)，則其斜率k與點(diǎn)P坐標(biāo)有關(guān)，且k=-x0λy0.

證明 λ>1，曲線(xiàn)表示以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，

設(shè)過(guò)P（x0，y0）的直線(xiàn)斜率為k，則l的方程為y-y0=k（x-x0）.

聯(lián)立方程組：x2λb2+y2b2=1，

y-y0=k（x-x0），

消去y得：

（1+λk2）x2+2（λky0-λk2x0）x+（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0. （1）

因?yàn)閘為過(guò)P（x0，y0）的橢圓的切線(xiàn)，

所以有Δ=4（λky0-λk2x0）2-4（1+λk2）（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0

整理得：

λ（λb2-x20）k2+2λx0y0k+

λ（b2-y20）=0.（2）

又因?yàn)镻（x0，y0）在橢圓上，所以x20λb2+y20b2=1.

所以λb2-x20=λy20，b2-y20=x20λ.

將結(jié)果代入（2）式，得到λ2y20k2+2λx0y0k+x20=0，

也即（λy0k+x0）2=0，所以k=-x0λy0.

可以看出：過(guò)焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)所做橢圓的切線(xiàn)的斜率與坐標(biāo)有關(guān)，也與a2，b2的比值有關(guān)系.

在結(jié)論1和結(jié)論2的支持下，我們來(lái)證明性質(zhì)1就不難了.

因?yàn)閍>b>0，a2b2=λ，所以橢圓方程即x2λb2+y2b2=1，

P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上異于長(zhǎng)軸、短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，

所以由結(jié)論2，過(guò)P所做橢圓的切線(xiàn)的斜率k=-x0λy0，所以1k=-λy0x0.

焦半徑PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，所以由結(jié)論1得：1k1+1k2=2x0y0，

由上面的結(jié)果，容易得到：1k1k1+1k2=-λy0x02x0y0=-2λ，性質(zhì)1得到證明.

有些與直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系有關(guān)的題目中，經(jīng)常進(jìn)行一些類(lèi)似的定量計(jì)算，如2013年高考山東卷理科數(shù)學(xué)試題22題第三問(wèn)，就考查了如下問(wèn)題：

橢圓C：x24+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P（x0，y0）為其上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做斜率為k的直線(xiàn)l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn).設(shè)PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明：1kk1+1kk2為定值，并求出這個(gè)定值.

可以看出，這是以上性質(zhì)的特殊情形，單從結(jié)論的角度，不難得到：a2=4，b2=1，λ=a2b2=4，所以1k（1k1+1k2）=-2λ=-8.計(jì)算過(guò)程參照定理的證明，不難得到結(jié)果.

如果橢圓是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)橢圓，模仿以上結(jié)論，進(jìn)行以上步驟的計(jì)算研究，不難得到上面定理的另一種形式下的結(jié)論： 圖2

性質(zhì)2 如圖2，若P（x0，y0）為橢圓y2a2+x2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上異于長(zhǎng)軸、短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點(diǎn)，如果兩焦半徑PF1，PF2的斜率存在且分別為k1，k2，設(shè)過(guò)P（x0，y0）的橢圓的切線(xiàn)l的斜率為k，則k（k1+k2）為定值，且定值為-2λ.

定理2的算式部分形式與定理1稍有區(qū)別，但最后的結(jié)果完全一樣.證明過(guò)程與定理1的證明類(lèi)似，從略.

綜合性質(zhì)1和性質(zhì)2，可以看出，它們的共同特點(diǎn)是：結(jié)果形式簡(jiǎn)單，關(guān)系直接明確，易于理解掌握，便于實(shí)踐應(yīng)用.

圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，老師們經(jīng)常會(huì)遇到大量的涉及直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的定量運(yùn)算的題目，解答這些題目的過(guò)程中，多加用心反思和對(duì)比，也許就會(huì)發(fā)現(xiàn)一些隱藏其中的有用的規(guī)律，規(guī)律的探索過(guò)程和成就感也是數(shù)學(xué)美的重要方面吧.

參考文獻(xiàn)

[1] 楊云顯，孟艷雙.直線(xiàn)和橢圓相交狀態(tài)下的一個(gè)通用性質(zhì)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（6）：21-22.

作者簡(jiǎn)介 莊志剛，男，山東青島人，1966年9月生，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)，曾獲全國(guó)教研工作先進(jìn)個(gè)人，在各類(lèi)刊物發(fā)表十幾篇論文;楊云顯，男，山東即墨人，1971年6月生人，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)，曾獲青島市教學(xué)能手，在各類(lèi)刊物發(fā)表多篇論文.